【数学】2019届一轮复习人教A版 排列的综合应用学案

2019届一轮复习人教A版排列的综合应用学案
考试目标：1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)
[自主预习·探新知]
1．排列数公式
A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
＝
n！
(n－m)！
(n，m∈N*，m≤n)
A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)
另外，我们规定0！＝1.
2．排列应用题的最基本的解法
(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．
(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．
3．解简单的排列应用题的基本思想
[基础自测]
1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为()
A．6B．8
C．9 D．12
C[由A2n＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]
2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.
【导学号：95032035】48[从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出
三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．]
3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．
24[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝24种．]
4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．
186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．]
[合作探究·攻重难]
无限制条件的排列问题
多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【导学号：95032036】[思路探究](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，
因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
[规律方法]
1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．
2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．
[跟踪训练]
1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．
720[问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.]
排队问题
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置．
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起．
(4)全体排成一行，男、女各不相邻．
(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．
(6)排成前后二排，前排3人，后排4人.
【导学号：95032037】[思路探究]分析题意，确定限制条件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素
[解](1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择．有A13种，其余6人全排列，有A66种．由分步乘法计数原理得A13A66
＝2 160种．
(2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A16种，余下的6个位置全排列有A66种，但应剔除乙在最右边的排法数A15A55种．则符合条件的排法共有A16A66－A15A55＝3 720种．
(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A33种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A55种排法，共有A33A55＝720种．
(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有A33A44＝144种．
(5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此有A77＝N×A33，
∴N＝A77
A33＝840种．
(6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A77＝5 040种．
注意：解(6)时易出现A33A44的错误，其主要原因是排列的概念理解不深刻．[规律方法]
1．排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列．对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住．2．元素相邻和不相邻问题的解题策略
[跟踪训练]
2．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间，乙必在两端；
(2)甲不在左端，乙不在右端；
(3)男、女生分别排在一起；
(4)男女相间；
(5)男生不全相邻．
[解](1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有：
2×7×A77＝70 560种
(2)按甲在不在右端分类讨论．
甲站右端的有：A88种；甲不在右端的有：7×7×A77种；
共有：A88＋7×7×A77＝A77×(8＋49)＝287 280种．
(3)(捆绑法)A22·A44·A55＝5 760种．
(4)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880种排法．
(5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A99－A44·A66＝345 600种．
数字排列问题
1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？
[提示]偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个
位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?
[提示]在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．
用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)六位奇数？
(2)个位数字不是5的六位数？
(3)不大于4310的四位偶数.
【导学号：95032038】[思路探究]这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解](1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．
法二：从特殊元素入手(直接法)
0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法
6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44
＝288(个)．
(2)法一：排除法
0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．
故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．
法二：直接法
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：
第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．
第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．
故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．
(3)用直接法
①当千位上排1,3时，有A12·A13·A24个．
②当千位上排2时，有A12·A24个．
③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个；形如41××的有A13·A12个，形如43××的只有4 310和4 302这两个数．
故共有A12·A13·A24＋A12·A24＋2A13＋A12·A13＋2＝110(个)．
1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()
A．36B．120
C．720 D．240
C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.] 2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()
A．240种B．360种
C．480种D．720种
C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A55＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]
3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．
144[先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．]
4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．
24[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．]
5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？
[解]法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：
第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；
第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．
由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．
法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．
由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．。