河北省唐山市第一中学数列的概念单元测试题含答案 百度文库

一、数列的概念选择题
1．若数列的前4项分别是
1111,,,2345
--，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n
--
B ．(1)n n -
C ．1
(1)1
n n +-+
D ．(1)1
n n -+
2．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =
（ ） A ．1
B ．3
C ．2
D ．3-
3．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=
∈≥，且()2cos
3
n n n a b n N π
*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120
B ．174
C ．204-
D ．
373
2
4．已知数列{}n a 的前n 项和2
23n S n n =-，则10a ＝（ ）
A ．35
B ．40
C ．45
D ．50
5．已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n
，则该数列第2019项是（ ） A ．
1019892 B ．
10
2019
2 C ．
11
1989
2 D ．
11
2019
2 6．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足*
112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则（ ）
A ．63243a a a ≤-
B ．2736+a a a a ≤+
C ．7662)4(a a a a ≥--
D ．2367a a a a +≥+
7．已知数列{}n a ，若(
)12*
N
n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n
a 为“凸数列”.已知数列{}
n
b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5
B ．5-
C ．0
D ．1-
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
1n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ）
A ．2n a n =
B ．3,1
2,2
n n a n n =⎧=⎨
≥⎩ C ．21n a n =+
D ．3n a n =
9．3……，则 ） A ．第8项
B ．第9项
C ．第10项
D ．第11项
10．的一个通项公式是（ ）
A
．n a =
B
．n a =C
．n a =D
．n a =11．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则n
a n
的最小值为（ ） A ．21
B ．10
C ．
212 D ．
172
12．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511
B ．513
C ．1025
D ．1024
13．在数列{}n a 中，12a =，1
1
1n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1-
B ．
12
C ．1
D ．2
14．数列{}n a 满足12a =，111
1
n n n a a a ++-=+，则2019a =（ ） A ．3-
B ．12-
C ．
13
D ．2
15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1
n S n N n =∈，，则2a =（ ） A ．12
-
B ．16
-
C ．
16 D ．
12
16．已知数列{}n a 满足：11a =，145n n a a +=+，则n a =（ ） A ．8523
3n
⨯- B ．1
852
3
3n -⨯- C ．8543
3
n
⨯-
D ．1
854
3
3
n -⨯- 17．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．201920212S F =+
B ．201920211S F =-
C ．201920202S F =+
D ．201920201S F =-
18．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，
n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除
后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（ ） A ．1348
B ．1358
C ．1347
D ．1357
19．在数列{}n a 中，11a =，()*
1
22,21
n n a n n N a -=≥∈-，则3
a =（ ）
A ．6
B ．2
C ．
23 D ．
211
20．
已知数列,21,
n -21是这个数列的（ ）
A ．第10项
B ．第11项
C ．第12项
D ．第21项
二、多选题
21．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列
数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数
C ．202020182022
3a a a =+
D ．123a a a +++…20202022a a +=
22．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 23．已知数列{}n a 满足112a =-，11
1n n
a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）
A ．2-
B ．
2
3
C ．
32
D ．3
24．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}
F n ，则(){}
F n 的通项公式为（ ）
A ．(1)1()2
n n F n -+=
B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F
F ==
C ．
(
)n n
F n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝
⎭⎦ D
．(
)1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦
25．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，
3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =
B ．733S =
C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 26．设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B ．若2
n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列
C ．若()11n
n S =--，则{}n a 是等比数列
D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
27．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >
D ．若67S S >则56S S >.
28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15
11
0,20,a a a 则（ ）
A ．80a <
B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值
C ．49S S =
D ．满足0n S >的n 的最大值为12
29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且32019
11
111
a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <
30．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
31．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大
B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大
C ．310
S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
32．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{
}n
a n
是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列
33．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥
时，)
2
11n a =
-，则关于数列
{}n a 说法正确的是（ ）
A ．28a =
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．数列{}n a 为周期数列
D ．2
2n a n n =+
34．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ）
A ．a 6＞0
B ．24
37
d -
<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13
D ．数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项
35．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，
6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）
A ．320n a n =-
B ．325n a n =-+
C ．当4n =时，n T 取最小值
D ．当6n =时，n T 取最小值
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一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式. 【详解】
设所求数列为{}n a ，可得出()11
1
111
a
+-=
+，()21
2
121
a
+-=
+，()31
3
131
a
+-=
+，()41
4
141
a
+-=
+，
因此，该数列的一个通项公式为()1
11
n n
a n +-=
+.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.
2．C
解析：C 【分析】
根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得
2019a 的值.
【详解】
数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】
本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.
3．B
解析：B 【分析】
将题干中的等式化简变形得2
11n n a n a n --⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由
此计算出(
)32313k k k b b b k N *
--++∈，进而可得出数列{}n
b 的前18项和.
【详解】
)
1
,2
n
a n N n
*
-
-=∈≥，将此等式变形得
2
1
1
n
n
a n
a n
-
-
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
由累乘法得
222
3
2
12
121
1211
1
23
n
n
n
a a
a n
a a
a a a n n
-
-
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
()
2
cos
3
n n
n
a b n N
π
*
=∈，2
2
cos
3
n
n
b n
π
∴=，
()()
222 32313
42
32cos231cos29cos2
33 k k k
b b b k k k k k k
π
ππππ--
⎛⎫⎛⎫
∴++=--+--+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭5
9
2
k
=-，
因此，数列{}n b的前18项和为()
5
9123456692115174
2
⨯+++++-⨯=⨯-=.
故选：B.
【点睛】
本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313
k k k
b b b
--
++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
4．A
解析：A
【分析】
利用()
n n n
a S S n
1
2
－
＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.
【详解】
2
23
n
S n n
=-,
n2
∴≥时，1
n n n
a S S
-
=-
22
(23[2(1)3(1)]
n n n n
）
=-----=45
n
1
n=时满足11
a S
＝∴=45
n
a n，∴
10
a＝35
故选：A.
【点睛】
本题考查利用n a与n S的关系求通项. 已知n S求n a的三个步骤:
(1)先利用11
a S
＝求出
1
a.
(2)用1
n-替换n S中的n得到一个新的关系，利用()
n n n
a S S n
1
2
－
＝－便可求出当n2
≥
时n a的表达式．
(3)对1
n=时的结果进行检验，看是否符合n2
≥时n a的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1
n=与n2
≥两段来写．
．
5．C
解析：C 【分析】
由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号
里的第995项. 【详解】
由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11
21
2m -， 所以第12个括号里的第995项是11
1989
2. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
6．C
解析：C 【分析】
由条件可得出11n n n n a a a a -+-≤-，然后可得
3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-，即可推出选项C 正确.
【详解】
因为*
112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，
所以12133n n n n S S S S -+-≤--，所以113n n n n a a a a +-≤++ 所以11n n n n a a a a -+-≤-，
所以3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-
所以()6232435465764a a a a a a a a a a a a -=-+-+-+-≤- 故选：C 【点睛】
本题主要考查的是数列的前n 项和n S 与n a 的关系，解答的关键是由条件得到
11n n n n a a a a -+-≤-，属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】
()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-===
∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，
故选：B. 【点睛】
本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.
8．B
解析：B 【分析】 根据11,1
,2
n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；
【详解】
解：因为2
1n S n n =++①，
当1n =时，2
11113S =++=，即13a =
当2n ≥时，()()2
1111n S n n -=-+-+②，
①减②得，()()2
2
11112n n n n n n a ⎡⎤++--+-+=⎦
=⎣
所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩
故选：B 【点睛】
本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据根号下的数字规律,可知为等差数列.利用等差数列性质求得通项公式,
即可判断为第几项. 【详解】
根据数列中的项,
…
由前几项可知,根式下的数列是以5为首项, 4为公差的等差数列
则根式下的数字组成的等差数列通项公式为()51441n a n n =+-⨯=+
而=
所以4541n =+ 解得11n = 故选:D 【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的求法及简单应用,属于基础题.
10．C
解析：C 【分析】
根据数列项的规律即可得到结论． 【详解】
因为数列3，7，11，15⋯的一个通项公式为41n -，
，⋯的一个通项公式是n a = 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键．
11．C
解析：C 【分析】
由累加法求出2
33n a n n =+-，所以
331n a n n n
，设33
()1f n n n
=
+-，由此能导出5n =或6时()f n 有最小值，借此能得到
n
a n
的最小值. 【详解】
解：()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+
22[12(1)]3333n n n =++⋯+-+=+-
所以
331n a n n
n
设33
()1f n n n
=
+-，由对勾函数的性质可知， ()
f n 在(上单调递减，在
)
+∞上单调递减，
又因为n ∈+N ，所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为
56536321,55662
a a ===， 所以n a n
的最小值为621
62a =.
【点睛】
本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.
12．B
解析：B 【分析】
根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】
因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，
所以
11
21
n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，
所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以9
1021513a =+=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足
()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方
法进行求解.
13．B
解析：B 【分析】
通过递推公式求出234,,a a a 可得数列{}n a 是周期数列，根据周期即可得答案. 【详解】 解：211111=1=22a a =-
-，3211121a a =-=-=-，43
1
1112a a =-=+=， 则数列{}n a 周期数列，满足3n n a a -=，4n ≥
8521
2
a a a ∴===
， 故选：B. 【点睛】
本题考查数列的周期性，考查递推公式的应用，是基础题.
14．B
解析：B 【分析】
由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可.
由1111
n n n a a a ++-=
+，可得111n
n n a a a ++=-，
由12a =，可得23a =-，312
a =-
，41
3a =，52a =，
由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4， 所以201931
2
a a ==-. 故选：B.
15．A
解析：A 【分析】
令1n =得11a =，令2n =得2121
2
S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n =
，所以111
11
a S ===， 因为21212S a a =+=，所以211
122
a =-=-. 故选：A
16．D
解析：D 【分析】 取特殊值即可求解. 【详解】
当1n =时，11a =，显然AC 不正确，
当2n =时，21459a a =+=，显然B 不符合，D 符合 故选：D
17．B
解析：B 【分析】
利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=++++
+++，可得
21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.
【详解】
由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++
1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++
=
123211n n n n F F F F F F ---=++++
+++，
所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，
故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出
21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.
18．C
解析：C 【分析】
由题意可知，得数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，又
202067331=⨯+，由此可得答案 【详解】
解：由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,⋅⋅⋅，
所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=， 因为202067331=⨯+，
所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+= 故选：C
19．C
解析：C 【分析】
利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】
()*
1
22,21
n n a n n N a -=
≥∈-，1
1a =，212221
a a ∴=
=-，3222
213a a =
=-. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.
20．B
解析：B 【分析】
根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】
令2121n -=，解得n =11是这个数列的第11项. 故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.
二、多选题 21．AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，，，，故A 正确；
对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加
解析：AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；
对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，
32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，
各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.
22．ABD 【分析】
根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】
依题意可知，，，， ，，，，故正确；
，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不
解析：ABD 【分析】
根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，
342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正
确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，
，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
累加可知D 正确. 【详解】
依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，
312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以
712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；
由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，
可得
13572019a a a a a ++++
+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，
故C 不正确；
2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，
，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
所以
2222
2
12342019
a a a a a ++++
+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，
所以
222
122019
20202019
a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.
23．BD 【分析】
根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．
因为数列满足，， ； ； ；
数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要
解析：BD 【分析】
根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】
因为数列{}n a 满足112a =-，111n n
a a +=-，
212131()
2
a ∴=
=--；
32
1
31a a =
=-； 41311
12
a a a =
=-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-
，2
3
，3； 故选：BD ． 【点睛】
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．
24．BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……， 显然，，，，，所以且，即B 满足条件； 由， 所以 所以数列
【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，
，
()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ⎤+-
=--⎥⎣⎦
所以数列(
)()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
是以
12+
为首项，12
+为公比的等比数列， 所以(
)(
)1n
F n n +-=⎝⎭
11515()n F F n n -
+=++， 令
1
n
n n F b
-=
⎝⎭
，则11n n b +=
+，
所以1
n n b b +=-
， 所以n b
⎧⎪
⎨⎪⎪⎩
⎭的等比数列，
所以1
n n b -
+， 所以
()11
15n n n n
F n --⎤
⎤⎛⎫
+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎣⎦
； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
25．ABCD
由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】
对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，， 可得：.故是斐波那契数列中的第
解析：ABCD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】
对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.
对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2
121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-
2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；
故选：ABCD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.
26．BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列
解析：BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，
12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;
选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈是等差数
列，故对; 故选：BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.
27．BC 【分析】
根据等差数列的前项和性质判断． 【详解】
A 错：；
B 对：对称轴为7；
C 对：，又，；
D 错：，但不能得出是否为负，因此不一定有． 故选：BC ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列
解析：BC 【分析】
根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】
A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；
B 对：n S 对称轴为
n =7；
C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；
D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()
2
n n n a a S +=
，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 28．ACD
由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D. 【详解】
设等差数列的公差为，则，解得， ，，且，
对于A ，，故A 正确； 对于B ，的对称
解析：ACD 【分析】
由题可得16a d =-，0d <，21322
n d d S n n =
-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022
n d d
S n n =->，解出即可判断D. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，
10a >，0d ∴<，且()21113+
222
n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，
81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；
对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为13
2
n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；
对于C ，4131648261822d d S d d d =
⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；
对于D ，令213022
n d d
S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：由于等差数列()2111+
222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫==+- ⎪⎝
⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.
29．AC 【分析】
将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质
即可判断正确选项
【详解】
由，可得，令，
，
所以是奇函数，且在上单调递减，所以，
所以当数列为等差数列时，；
解析：AC
【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212
a a e e -+-≤++，构造函数()1112x f x e =
-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项
【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112
x f x e =-+， ()()1111101111
x
x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++， 所以()1112
x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********
a a S +=≥； 当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()
2021202110110T a =>.
故选：AC
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 30．AD
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为，所以 ，
因为，所以，
所以等差数列公差，
所以是递减数列，
故最大，选项A
解析：AD
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为67S S <，所以7670S S a -=> ，
因为78S S >，所以8780S S a -=<，
所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，
所以{}n a 是递减数列，
故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；
10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，
所以310S S ≠，故选项C 不正确；
当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；
故选：AD
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.
31．AD
【分析】
由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C 错误.
【详解】
由已知得：,
结合等差数列的性质可知，,该等差
解析：AD
【分析】
由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误.
【详解】
由已知得：780,0a a ><,
结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列，
∴A 正确，B 错误，D 正确，
310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=, 这在已知条件中是没有的，故C 错误.
故选:AD.
【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.
32．AD
【分析】
根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.
【详解】
， ，所以是递增数列，故①正确，
，当时，数列不是递增数列，故②不正确，
，当时，不是递增数列，故③不正确，
，因
解析：AD
【分析】
根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.
【详解】
0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，
()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d
-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，
1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n
不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确， 故选：AD
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.
33．ABD
【分析】
由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.
【详解】
得，
∴，
即数列是首项为，公差为1的等差数列，
∴，
∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，
解析：ABD
【分析】
由已知递推式可得数列
2
=，公差为1的等差数列，结合选项
可得结果.【详解】
)211
n
a=-
得)2
11
n
a+=，
1
=，
即数列
2
=，公差为1的等差数列，
2(1)11
n n
=+-⨯=+，
∴22
n
a n n
=+，得
2
8
a=，由二次函数的性质得数列{}n a为递增数列，
所以易知ABD正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.
34．ABCD
【分析】
S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn＜0 解析：ABCD
【分析】
S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝
a1+2d＝12，可得
24
7
-＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得S n＜0时，n的最小值
为13．数列n
n
S
a
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
中，n≤6时，n
n
S
a＞0.7≤n≤12时，
n
n
S
a＜0．n≥13时，
n
n
S
a＞0．进而判断出D是否正确．
【详解】
∵S12＞0，a7＜0，∴
()
67
12
2
a a
+
＞0，a1+6d＜0．
∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，
又∵a3＝a1+2d＝12，∴
24
7
-＜d＜﹣3．a1＞0．
S13＝
()
113
13
2
a a
+
＝13a7＜0．
∴S n＜0时，n的最小值为13．
数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0． 对于：7≤n ≤12时，n n
S a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：n n
S a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，n n
S a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确．
故选：ABCD ．
【点评】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
35．AC
【分析】
由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值．
【详解】
解：在递增的等差数列中，
由，得，
又，联立解得，，
则，．
．
故正确，错误；
可得数列的
解析：AC
【分析】
由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．
【详解】
解：在递增的等差数列{}n a 中，
由5105a a +=，得695a a +=，
又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963
a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-．
173(1)320n a n n ∴=-+-=-．
故A 正确，B 错误；
12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---
可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．
∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．
故选：AC ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。