江西省上高二中2022届高三8月月考理科数学试题及答案

2022届上高二中高三8月月考卷（理科数学）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项最符合题意。

） 1.设集合{}1,0,1,2A =-，{}0,1B =，则()
A C
B A =（ ） A. {}1,2- B. []0,1 C. 1,0,1,2 D. []1,2-
2. 下列有关命题的说法正确的是( )
A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．
B. 若p q ∨为真命题，则,p q 均为真命题.
C. 命题“存在R x ∈，使得210x x ++<” 的否定是：“对任意R x ∈，均有210x x ++<”．
D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．
3.“sin 0x =”是“cos 1x =-”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4.已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x x π∀∈+
>，则下列判断正确的是（ ） A. p q ∨是假命题
B. p q ∧是真命题
C. ()p q ∨⌝是假命题
D. ()p q ∧⌝是真命题
5.已知命题p ：[]0,x π∀∈，使得sin x a <，命题q ：01,32x ⎛⎫∃∈
⎪⎝⎭，11a x +>，若p q ∧为真命题，则a 的取值范围是（ ） A. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()0,3 C. ()1,3 D. 41,
3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 6.对于实数m b a ,,，下列说法：①若b a >，则22bm am >；②若b a >，则||||b b a a >；③若0,0>>>m a b ，则
b
a m
b m a >++；④若0>>b a ，且|ln ||ln |b a =，则),22[2+∞∈+b a ，其中正确的命题的个数（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7.若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (,2)-∞-
B. (,2)-∞-
C. (6,)-+∞
D. (,6)-∞- 8.已知x ，y 满足不等式组320,230,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
若kx y -的最小值是54-，则实数k 的值是（ ）
A. 5
8-或512 B. 14或58
C. 58-或14
D. 512或14 9.设012m <<，则
1412m m +-的最小值为（ ） A. 32 B. 910 C. 34
D. 95 10.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:C 2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,4)P --
的直线2,2:42x l y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
(t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点.若,,PM MN PN 成等比数列，则实数a 的值是（ ）
A. 1
B. 1或－4
C. 4
D. 1-
11．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2b a >> D ．2a b >>
12．已知1a >，若存在[)1,x ∈+∞，使不等式()3ln 1ln a x a x a <+成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．()1,+∞
B ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．()2,+∞
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题纸的对应位置上。

） 13.集合{}6,,,A x y z =，{}1,,,B xy yz xz =，若A B =⊆N ，则x y z ++=________
14．不等式2212x a a x ->--对一切R x ∈都成立，则实数a 的取值范围是______.
15．已知关于x 的不等式1223x x m x -++≤-在[]0,1x ∈上有解，则实数m 的取值范围为______．
16．若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y
+的最小值为___________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分10分)已知()()0,0f x x a x b a b =-++>>.
（1）当2a =，1b =时，解不等式()9f x ≥；
（2）若()f x 的最小值为2，求
1112a b
++的最小值.
18．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）求直线l 被曲线C 截得的弦长.
19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式220ax x a x a --+≤；
20．(本小题满分12分)已知a 、b 、c 为正数，且满足1a b c ++=.证明：
（1）1
1
1
9
2b c a c a b ++≥+++；
（2）3
33
1a b c bc ac ab ++≥.
21．(本小题满分12分)如图，已知在四棱锥P ABCD -中，
底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB 上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，32
2PO =．
（1）证明：AC DE ⊥；
37638？若存在，求出E 点位置，若不存在，请说明理由．
（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --的余弦值为
22．(本小题满分12分)已知函数()221g x ax x b =-++，,a b ∈R ，且关于x 的不等式()0g x <的解集为{}|13x x -<<，设()()g x f x x
=. （1）若存在[]01,3x ∈，使不等式()002f x x m -≥成立，求实数m 的取值范围；
（2）若方程()2213021
x x f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.
2022届上高二中高三8月月考卷（理科数学）
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.D
5.C
6.B
7.A
8.C
9.C 10.A
11．A 12．C
11.由题意，31333323log 92lo 12g 4log 9log 4log 4log 1log 4a =+=+
=++， 所以3322log 421log 4a -=+-+()333log log 1g 4144
lo =+-， 因为3log 41>，所以()333414log log 01log 4>+-，即2a >.
所以2213512512169b a a >==++,即21313b >， 所以2b >.
再来比较,a b 的大小：
因为20a ->，
所以222512135144122511693a a a a a a ---++⨯-=⨯-⨯22212144122516913a a a ---<⨯-⨯+⨯221691216931a a --=-⨯⨯()2216912301a a --=-<， 所以51213a a a <+，即1313b a <， 所以b a <.
综上所述，2a b >>.
12．因为1a >，所以()()3ln 1ln 3ln 1ln a x a x a x a a x a <+⇔<+. 即：()3311x
x a x a x <+⇔>+
因为存在[)1,x ∈+∞使不等式()3ln 1ln a x a x a <+成立， 所以min min 3333112x a x x ⎛⎫
⎛⎫>=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 即：a 的取值范围是3,2
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭.
13.6 14.1
,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 15．3,2 16．2
16.因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得2
11()xy y x -=，
又因为224(1
1
1
1
11()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥=，当且仅当1
4xy xy =
，即22x y ==
21
1
x y +≥.
故答案为:2
17．（1）(][),45,-∞-⋃+∞；（2
）1
2.
（1）当2a =，1b =时， ()219f x x x =-++≥，
所以1219x x ≤-⎧⎨-+≥⎩或1239x -<≤⎧⎨≥⎩或2
219x x >
⎧⎨-≥⎩，解得：4x ≤-或5x ≥，
故解集为(][),45,-∞-⋃+∞；
（2）由0,0a b >>， 所以()f x x a x b x b x a a b a b =-++≥+-+=+=+，
若()f x 的最小值为2，则2a b +=，所以(1)3a b ++=，
1111113113131()((1))()((12312321232322b a a b a b a b a b ++=+++=++≥+==+++ 所以1
1
12a b ++
的最小值为1
2.
18．（1）30x y +-=，2240x y x +-=；（2
（1）由直线l
的参数方程12{2x y =+=( t 为参数)可得其普通方程为：30x y +-=；
由曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=.
（2）由（1）得曲线C ：()2224x y -+=，圆心()2,0到直线l 的距离为：2
d ==，
所以直线l 被曲线C 截得的弦长为：= 19．由220ax x a x a --+≤，得()2210ax a x a -++≤，即 ()
2210ax a x a -++≤ ， 所以()()10ax x a --≤，
当1a <-时，1a a > ，不等式化为()10x x a a ⎛⎫--≥ ⎪⎝
⎭，解得x a ≤或 1x a ≥； 当1a =-时，
1a a = ，不等式化为()210x +≥，解集R ； 当10a -<<时，1a a < ，不等式化为()10x x a a ⎛⎫--≥ ⎪⎝
⎭，解得1x a ≤或 x a ≥； 当0a =时，不等式化为0x -≤，解得0x ≥
当01a <<时，1a a > ，不等式化为()10x x a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝
⎭，解得1≤≤a x a ； 当1a =时，不等式化为()210x -≤，解集为{}1；
当1a >时，1a a < ，不等式化为()10x x a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝
⎭，解得1≤≤x a a ； 综上：当1a <-时，1a a > ()10x x a a ⎛⎫--≥ ⎪⎝
⎭，解集为(]1,,a a ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭； 当1a =-时，解集为R ；
当10a -<<时，解集为[)1,,a a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦；
当0a =时，解集为[)0,+∞；
当01a <<时，解集为1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
； 当1a =时，解集为{}1；
当1a >时，解集为1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 20．证明：（1）∵a 、b 、c 为正数，1a b c ++=，
∵
1111111(222)()2a b c b c a c a b b c a c a b ++=++++++++++ 1111[()()()]()2a b b c a c b c a c a b
=++++++++++
193322
≥⨯， ∵11192
b c a c a b ++≥+++； （当且仅当13
a b c ===时取等）
（2）由332a b ab bc ac c +≥=；332b c bc ac ab a
+≥；
332a c ac bc ab b
+≥=， 将上述三个不等式相加得：333a b c ab bc ac bc ac ab c a b
++≥++，
又2ab bc b c a +≥,2bc ac c a b +≥=,2ab ac a c b +≥， 同理，将上述三个不等式相加得：
ab bc ac a b c c a b ++≥++， 而1a b c ++=，∵333
1a b c bc ac ab
++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立. 21.（1）证明：因为四边形ABCD 为等腰梯形，且AC BD ⊥ 所以OBC 为等腰直角三角形
因为3BC =，所以OC OB ==
因为3PC =，PO =
222=PC PO OC + 所以PO AC ⊥
又因为BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ，BD
PO O = 所以AC ⊥平面PBD
因为DE ⊂平面PBD 所以AC DE ⊥
（2）因为3PB =，PO =，2OB =所以222=PB PO OB +，即BO PO ⊥
因为PO AC ⊥，AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AC BD O =
所以PO ⊥平面ABCD
如图，以O 为原点，OB ，OC ，OP 分别为,,x y z ，轴建立空间直角坐标系， 由（1）知3232OC OB OD ===， 故(000)O ，，，32(00)2B ，，，32(00)2C ，，，2(00)2D -，，，32
(00)2P ，，，
2
32022DC →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，3232022BC →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，3232,0,22BP →⎛⎫
=
-
⎪ ⎪⎝⎭
假设在棱PB 上存在一点E 满足题意，设BE BP λ→→=，
[]01λ∈，． 所以3232321,222EC BC BE λλ
→→→⎛⎫
=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭
()，
设平面EDC 的一个法向量为(,,)m x y z →=，
则00DC m EC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即232
2232
3232
(1)0
222x y x y z λλ⎧
+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，
令1y =，解得3
43x z λλ=-
⎧⎪-⎨=⎪⎩，故43(3,1,)
m λλ
→-=-
易得平面BDC 的一个法向量为(001)n →=，，
设二面角B DC E --为θ，可知二面角为锐二面角243376
cos cos ,38
4310()m n m n m n λ
λθλλ
→→→→→→
-⋅====
-+
解得23λ=， 所以存在满足题意的点E ，位置在靠近P 点PB 的三等分点处
22．（1）(,232⎤-∞--⎦；（2）3
,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.
解：（1）∵不等式()2210g x ax x b =-++<的解集为{}|13x x -<<， ∵121,3x x =-=是方程2210ax x b -++=的两个根，
∵1212221·3x x a b x x a ⎧+==⎪⎪⎨+⎪==-⎪⎩
，解得14a b =⎧⎨=-⎩， ∵()223g x x x =--. ∵()32f x x x
=--. ∵存在[]01,3x ∈，使不等式()002f x x m -≥成立， 等价于32x m x
---≥在[]1,3x ∈上有解，
而3332222x x x x x x ⎛
⎫---=-+-≤--=
- ⎪⎝
⎭， 当且仅当3x x
=，即x = ∵m 的取值范围为(,2⎤-∞-⎦；
（2）原方程可化为()()2213221230x x k k --+-+-=，
令21x t -=，则()0,t ∈+∞，则()232230t k t k -++-=有两个不同的实数解12,t t ， 其中1201,1t t <<>，或1201,1t t <<=，
记()()23223h t t k t k =-++-，
则()()0230140
h k h k ⎧=->⎪⎨=--<⎪⎩①，解得32k >， 或()()023*********h k h k k ⎧⎪=->⎪=--=⎨⎪+⎪<<⎩
②，不等式组②无实数解， ∵实数k 的取值范围为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.。