贵州省洛万高三数学上学期8月月考试题理新人教A版

高三上学期8月月考理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数∑=-=
2007
1
)(n n x x f 的最小值为（ ）
A ． 1103×1104
B ． 1104×1105
C ． 2006×2007
D ． 2005×2006
【答案】A
2．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()
U N M ⋂=ð（ ）
A ．
{}1,3
B ．
{}1,5
C ．
{}3,5
D ．
{}4,5
【答案】C
3．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个 【答案】B
4．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋3a (x <0)，
a x (x ≥0)(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，1 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D ．⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23 【答案】B
5．若f (x)是幂函数，且满足f (4)3f (2)=，则1
f()2
= . A ． 3
B ．-3
C ．13
D ．13
-
【答案】C
6．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝2，则不等式f (log 4x )>2的解集为( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)
B ．(2，＋∞)
C ．⎝
⎛
⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞)
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，22 【答案】A
7．若函数x
a x x x f )
)(1()(+-=为奇函数，则a 的值为（ ）
A ． 2
B ． 1
C ． -1
D ． 0
【答案】B 8．设函数
是定义在R 上周期为3的奇函数，若，则有
A .且
B ．
或
C ．
D.
【答案】B
9．函数()()x
x x f 2
1ln -+=的零点所在的大致区间是 A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，3）
D ．（3，4）
【答案】B
10．函数2
2
1ln )(x x x f -
=的大致图像是（ ）
【答案】B
11．函数y =的定义域为（ ）
A )43,21(-
B ]43,21[-
C ),43[]21,(+∞⋃-∞
D ),0()0,2
1
(+∞⋃- 【答案】B
12．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”，
例如函数2y x =，[1,2]x ∈与函数2y x =，[2,1]x ∈--即为“同族函数”。

下面4个函数中，能够被用来构造“同族函数”的是 ( ） A ．sin y x = B ．y x =
C ．2x y =
D ．2log y x =
【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知集合A ＝{x |1≤log 2x ≤2}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．
【答案】(－∞，－2] 14．函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 . 【答案】)2,0(-
15．设)(x f 是R 上的奇函数，且(+2)f x =()f x -,当01x ≤≤时，()=f x x ,则(7.5)f 等于__________
【答案】0.5-
16．若3
log 14a <，则实数a 的取值范围是 。

【答案】),1()4
3
,0(+∞⋃
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知集合A ＝{x ∈R|ax 2
－3x ＋2＝0，a ∈R}． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； (3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．
【答案】(1)A 是空集，即方程ax 2
－3x ＋2＝0无解，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≠0，Δ＝ －3 2
－8a <0，∴a >98， 即实数a 的取值范围是(9
8
，＋∞)．
(2)当a ＝0时，方程只有一解，方程的解为x ＝2
3
；
当a ≠0时，应有Δ＝0，
∴a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43
，
∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和4
3
．
(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结
果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥9
8
}．
18．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a 、b 、c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝17
4
．
(1)求a 、b 、c 的值；
(2)试判断函数f (x )在(0，1
2
)上的单调性并说明理由；
(3)试求函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值．
【答案】(1)∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0. 即－ax －b x ＋c ＋ax ＋b x
＋c ＝0，∴c ＝0.
由f (1)＝52，f (2)＝17
4，
得a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，解得a ＝2，b ＝1
2．
∴a ＝2，b ＝1
2
，c ＝0.
(2)由(1)知，f (x )＝2x ＋12x ，∴f ′(x )＝2－1
2x
2．
当x ∈(0，12)时，0<2x 2<1
2，则12x
2>2.
∴f ′(x )<0.∴函数f (x )在(0，1
2
)上为减函数．
(3)由f ′(x )＝2－12x 2＝0，x >0，得x ＝1
2
．
∵当x >12时，1
2x
2<2，∴f ′(x )>0，
即函数f (x )在(1
2，＋∞)上为增函数．
又由(2)知x ＝1
2
处是函数的最小值点，
即函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f (1
2
)＝2.
19．记函数f (x )＝
2－
x ＋3
x ＋1
的定义域为A ，g (x )＝lg(x －a －1)(2a －x ) (a <1)的定义域为B .
(1)求A ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)由2－x ＋3x ＋1≥0，得x －1
x ＋1
≥0.
解上式得x <－1或x ≥1，
即A ＝(－∞，－1)∪1，＋∞)． (2)由(x －a －1)(2a －x )>0， 得(x －a －1)(x －2a )<0. 由a <1，得a ＋1>2a .
所以g (x )的定义域B ＝(2a ，a ＋1)．
又因为B ⊆A ，则可得2a ≥1或a ＋1≤－1，
即a ≥1
2
或a ≤－2.
因为a <1，所以1
2
≤a <1或a ≤－2.
故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是
(－∞，－2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1． 20．某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量
成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方要成正比例，其关系如图2.（注：利润与投资量的单位：万元）
(1）分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
(2）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
【答案】（1）设投资x 万元，A 产品的利润为)(x f 万元，B 产品的利润为)(x g 万元， 依题意可设x k x g x k x f 21)(,)(==. 由图1，得,2.0)1(=f 即5
1
2.01==k . 由图2，得,6.1)4(=g 即54,6.1422=
∴=⨯k k
故())0(5
4),0(51)(≥=≥=
x x x g x x x f . (1）设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10-x 万元，设企业利润为y 万元，
由（1）得).100(25
451)()10(≤≤++-
=+-=x x x x g x f y 100,5
14
)2(51254512≤≤+--=++-=x x x x y ，
∴当2=x ，即4=x 时，8.25
14
max ==y . 因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元。

21．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数)(x v 的表达式；
(Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）)()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
【答案】（Ⅰ）由题意当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，
显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩
⎨⎧=+=+60200200b a b a ，
解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=320031b a
故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,
60x x x
(Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-<≤.20020,2003
1,200,60x x x x x
当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；
当20020≤≤x 时，()()()310000
220031200312
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立． 所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值
3
10000
．
综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值
33333
10000
≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
22．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x
，其中常数a ，b 满足a ·b ≠0. (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；
(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．
【答案】(1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)
∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0,3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数．
(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x
>0，
当a <0，b >0时，(32)x >－a 2b ，则x >log 1.5(－a
2b )；
当a >0，b <0时，(32)x <－a 2b ，则x <log 1.5(－a
2b
)．。