人教新课标版数学高二B版选修2-1知能演练 平面的法向量与平面的向量表示

1.若n ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作平面α法向量的是( ) A ．(0，－3，1) B ．(2，0，1) C ．(－2，－3，1) D ．(－2，3，－1) 答案：D
2.若平面α与β的法向量分别是a ＝(1，0，－2)，b ＝(－1，0，2)，则平面α与平面β的关系是( )
A ．平行
B ．垂直
C ．相交但不垂直
D ．无法判断
解析：选A.∵a ＝－b ，∴a ∥b .∴α∥β.
3.平面α，β的法向量分别为m ＝(1，2，－2)，n ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k 等于________．
解析：由α⊥β知，m ·n ＝0. ∴－2－8－2k ＝0解得k ＝－5.
答案：－5
4.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________．
解析：设单位法向量n 0＝(x ，y ，z )，AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)．由n 0·AB →
＝
0且n 0·AC →
＝0得
⎩⎪⎨⎪
⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，
y －x ＝0，z －x ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33，y ＝33，z ＝33或⎝ ⎛x ＝－33，
y ＝－3
3
，z ＝－33.
答案：⎝⎛
⎭⎫33
，33，
33或⎝⎛⎭⎫－33，－33，－3
3
1.若直线l 的方向向量为a ＝(－1，0，－2)，平面α的法向量为u ＝(4，0，8)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α D ．l 与α斜交 解析：选B.∵u ＝－4a ，∴u ∥a ，∴l ⊥α，故选B.
2.已知平面α上的两个向量a ＝(2，3，1)，b ＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为( ) A ．(1，－1，1) B ．(2，－1，1) C ．(－2，1，1) D ．(－1，1，－1) 解析：选C.显然a 与b 不平行，
设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·n ＝0，
b ·n ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.
令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1， ∴n ＝(－2，1，1)． 3.
如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面A 1ACC 1的一个法向量可以是( )
A.BC →
B.A 1B 1→
C.BB 1→
D.BD →
解析：选D.∵A 1A ⊥BD ，AC ⊥BD ，A 1A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∴BD →
为平面A 1ACC 1的一个法向量．
4.已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，1
2，2，则m ＝________．
解析：∵l ∥α，∴l 的方向向量与平面α的法向量垂直，即2×1＋m ×1
2＋1×2＝0，∴m
＝－8.
答案：－8
5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，则AE →与平面A 1D 1F 的关系为________．
解析：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A (1，0，0)，E (1，1，12)，D 1(0，0，1)，F (0，1
2
，0)，A 1(1，0，1)．
AE →＝(0，1，12)，D 1F →＝(0，12
，－1)，A 1D 1→
＝(－1，0，0)．
∴AE →·D 1F →
＝(0，1，12)·(0，12，－1)＝12－12
＝0，
AE →·A 1D 1→
＝0， ∴AE →⊥D 1F →，AE →⊥A 1D 1→
.又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE →
⊥平面A 1D 1F .
答案：AE →
⊥平面A 1D 1F
6.
如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1
2
，
求平面SCD 的一个法向量．
解：∵AD 、AB 、AS 是三条两两垂直的线段，
∴以A 为原点，以AD →、AB →、AS →
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系，则A (0，
0，0)，D ⎝⎛⎭
⎫1
2，0，0，C (1，1，0)， S (0，0，1)，CD →＝⎝⎛⎭
⎫－12，－1，0，SC →
＝(1，1，－1)， 设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则n ⊥CD →，n ⊥SC →.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧－12x －y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴y ＝－12x ，z ＝12
x .
令x ＝2，得n ＝(2，－1，1)，
即平面SCD 的一个法向量为(2，－1，1)．
7.已知平面α过点A (1，－1，2)，法向量为n ＝(2，－1，2)，则下列点在α内的是( ) A ．(2，3，3) B ．(3，－3，4) C ．(－1，1，0) D ．(－2，0，1) 解析：选A.α的法向量与α共面的向量垂直，∵(2，3，3)－(1，－1，2)＝(1，4，1)且(1，4，1)·(2，－1，2)＝0，
∴点(2，3，3)在α内，故选A.
8.(2012·杭州高二检测)直角三角形ABC 的直角边AB 在平面α内，其中∠B 为直角，顶点C 在α外，且C 在α内的射影为C 1(C 1不在AB 上)，则△ABC 1是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上都有可能
解析：选A.由三垂线定理可知BC 1⊥AB ，∴△ABC 1为直角三角形． 9.
如图所示，已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．
解析：∵PA ⊥平面ABCD ，则AQ 是PQ 在面ABCD 内的射影，由PQ ⊥QD ，得AQ ⊥QD ，
则△AQD 为直角三角形，
设BQ ＝x ，则CQ ＝a －x ，
所以AQ 2＝1＋x 2，QD 2＝1＋(a －x )2，
那么a 2＝1＋x 2＋1＋(a －x )2，整理得x 2－ax ＋1＝0. 由题意，该方程有两个相等的实根，故Δ＝0，即a 2＝4， 又a >0，∴a ＝2.
答案：2
10.在四棱锥P -ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，∠PBA ＝60°，底面ABCD 是直角梯
形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝1
2
AD .
求证：平面PCD ⊥平面PAC .
证明：如图，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则A (0，0，0)，C (1，1，0)，D (2，0，
0)，P (0，0，3)，且AC →＝(1，1，0)，PC →＝(1，1，－3)，CD →
＝(1，－1，0)．
设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则PC →
·n ＝x ＋y －3z ＝0， CD →
·n ＝x －y ＝0，
令x ＝1，则y ＝1，z ＝233，即n ＝(1，1，23
3)．
同理得平面PAC 的一个法向量为m ＝(1，－1，0)． 则m ·n ＝1×1＋1×(－1)＋23
3×0＝0，
所以m ⊥n .
故平面PCD ⊥平面PAC . 11.
(创新题)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，
AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，问在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，
若存在，求|AF →
|；若不存在，说明理由．
解：以B 为原点，BA 、BC 、BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则C (0，2a ，0)，C 1(0，2a ，3a )， B 1(0，0，3a )，D ⎝⎛
⎭
⎫22a ，22a ，3a ，
假设存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF →⊥B 1F →，CF →⊥B 1D →
， 设AF ＝b ，则F (2a ，0，b )， CF →
＝(2a ，－2a ，b )， B 1F →
＝(2a ，0，b －3a )，
B 1D →
＝⎝⎛⎭
⎫22a ，22a ，0，
∵CF →·B 1D →＝a 2－a 2＝0，∴CF →⊥B 1D →， 令B 1F →·CF →
＝2a 2＋b (b －3a )＝0，得b ＝a 或b ＝2a .
∴当|AF →|＝a 或|AF →
|＝2a 时，CF ⊥平面B 1DF .。