七年级数学有理数的乘方知识精讲 试题

七年级数学有理数的乘方
【本讲主要内容】
有理数的乘方〔乘方、科学记数法、近似数和有效数字〕
1. 理解乘方的意义，并会计算；
2. 能正确使用科学记数法及近似数有效数字的取舍；
3. 理解并掌握有理数的混合运算律，能进展纯熟运算。

【知识掌握】
【知识点精析】
1. 乘方的意义：求n 个一样因数的积的运算，叫做乘方。

即把＝。

注意：〔1〕乘方是一种运算；〔2〕因数一样；〔3〕积的运算；〔4〕分数乘方时，应将分数用括号括起来，如，要注意与式的不同，因此，要特别注意：当底数是分数时，这个分数一定要加括号，不加括号的底数不是分数乘方。

计算带分数的乘方一般应化为假分数。

另外还要注意：4)5(-与45-的区别：〔1〕读法上的区别：
4)5(-读作5-的4次方；45-读作5的4次方的相反数，或者负的5的4次方；〔2〕结果的区别：4)5(-＝625，而
62554-=-；〔3〕底数不同：4)5(-的底数是5-，而45-的底数是5。

2. 乘方运算的符号规律：
〔1〕负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
〔2〕正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；
〔3〕理解乘方运算的符号规律时要结合两点知识内容：乘方运算与乘法运算的关系，
乘方运算中积的符号确实定规律。

3. 有理数的混合运算顺序：
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
〔1〕先乘方，再乘除，最后做加减；
〔2〕同级运算，从左到右进展；
〔3〕假如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进展运算。

例：计算以下各式：
〔1〕--------10523132318
054
32
(.)[()]|.|÷； 〔2〕[()()]121243811634
453-+--×÷； 〔3〕-+---31203133122232003×÷×÷..()()()。

解析：〔1〕小题按“＋〞“－〞号分为四段，再分别计算每一段；〔2〕小题可灵敏运用乘法的分配律；〔3〕小题中把小数化成分数计算较为简便。

解：〔1〕原式=----+--11
632271814
()()||×× =----=-+-=116325181252181138
()×× 〔2〕原式=----+-[()()()]1212438641166434
645×××÷ =++-=-=-=-=-()()1
21242444815
452420154524152015
384358×××× 〔3〕原式=-+--9362510319
271×××÷()()
=-+=-216534015
说明：有理数的混合运算中应注意以下问题：〔1〕要注意运算顺序；〔2〕要灵敏运用运算律进展简便运算，不要搞错符号，特别是乘方符号；〔3〕要灵敏进展分数、小数互化。

4. 大于10的数的科学记数法：
〔1〕科学记数法：把一个大于10的数写成n a 10⨯的形式〔其中a 是整数位数只有一位的数，n 是正整数〕，这种记数的方法就是科学记数法。

〔2〕用科学记数法时应注意：
①不能改变原数的大小；
②表示成n a 10⨯的形式；
③10||1<≤a 且n 是正整数；
④负数也可以用科学记数法表示，“－〞照写，其它与正数一样。

例：把以下各数用科学记数法表示：
〔1〕679000； 〔2〕30000； 〔3〕
；〔4〕61083.0⨯；〔5〕06.987- 解：〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕56103.81083.0⨯=⨯
〔5〕2108706.906.987⨯-=-
说明：〔3〕题中10的指数是原数的整数位数3减1，而不是所有数位4减1。

〔4〕题中61083.0⨯不是用科学记数法表示的，因为它的a<1。

5. 近似数与有效数字
〔1〕近似数：在实际问题中由四舍五入得到的数或者大约估计的数都是近似数。

取近
似数，应看要求准确到的数位的下一位数字，然后按四舍五入的总原那么取近似值，而不看其它数位上的数。

如：2.598准确到非常位是。

〔2〕准确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数准确到哪一位。

准确度是指准确程度，如9.45准确到百分位，那么百分位就是准确度。

准确度表示方式有两种：准确到哪一位或者保存几个有效数字。

〔3〕有效数字：从一个数左边第一个非0数字起，到四舍五入那个数字止，所有数字都是这个数的有效数字。

说明：从左起第一个不是零的数字左边的零不是有效数字，而从这个数往右的零不管在中间还是末尾都是有效数字如：0.0250有三个有效数字2，5，0。

确定有效数字应注意：
〔1〕有效数字是指从左起第一个不是零的数字起，到准确到的数位止的所有数字。

〔2〕以〔科学记数法〕形式写成的数的有效数字与数的有效数字完全一样。

如：有2个有效数字：2，5。

例：以下由四舍五入得到近似数，各准确到哪一位，各有哪几个有效数字？
〔1〕43.8〔2〕0.0
【解题方法指导】
例1. 计算：
〔1〕〔2〕〔3〕
〔4〕〔5〕〔6〕
分析：此题意在考察对与的意义的理解，要注意二者的区别与联络。

解：〔1〕；
〔2〕-=-=-555556254()×××；
〔3〕--=----=--=()[()()()]()2727272783438343
3 〔4〕 〔5〕-=-=-45445165
2×； 〔6〕
说明：
与二者的区别及互相关系： 〔1〕区别：底数为，表示个相乘的积；底数为，表示个相乘的积的相反数，如：；而。

〔2〕关系：当为偶数时，
与互为相反数，当为奇数时，与相等。

如：－34＝－81，()-=3814；(－2)3＝－8，－23＝－8。

另：与的区别
表示个相乘的积，而表示个相乘的积再除以的商。

如：
，
例2. 计算：
〔1〕
〔2〕
分析：此题是乘、除、乘方混合运算。

运算时一要注意运算顺序：先乘方、后乘除、二要注意每一步运算中符号确实定。

解：〔1〕
〔2〕
例3. 以下由四舍五入得到的近似数，各准确到哪一位？各有哪几个有效数字？
〔1〕38200〔2〕0.040〔3〕20.05000〔4〕4×104
分析：对于一个四舍五入得到的近似数，假如是整数，如38200，就准确到个位；假如有一位小数，就准确到非常位；两位小数，就准确到百分位；像0.040有三位小数就准确到千分位；像20.05000就准确到十万分位；而4×104＝40000，只有一个有效数字4，那么准确到万位。

有效数字的个数应按照定义计算。

解：〔1〕38200准确到个位，有五个有效数字3、8、2、0、0。

〔2〕0.040准确到千分位〔即准确到0.001〕有两个有效数字4、0。

〔3〕20.05000准确到十万分位〔即准确到0.00001〕，有七个有效数字2、0、0、5、0、0、0。

〔4〕4×104准确到万位，有一个有效数字4。

说明：〔1〕一个近似数的位数与准确度有关，不能随意添上或者去掉末位的零。

如20.05000的有效数字是2、0、0、5、0、0、0七个。

而20.05的有效数字是2、0、0、5四
个。

因为20.05000准确到0.00001，而20.05准确到0.01，准确度不一样，有效数字也不同，所以右边的三个0不能随意去掉。

〔2〕对有效数字，如0.040，4左边的两个0不是有效数字，4右边的0是有效数字。

〔3〕近似数40000与4×104有区别，40000表示准确到个位，有五个有效数字4、0、0、0、0，而4×104表示准确到万位，有1个有效数字4。

例4. 以下由四舍五入得到的近似数，各准确到哪一位？各有几个有效数字？
×105
分析：因为这四个数都是近似数，所以
〔1〕的有效数字是2个：7、0，0不是个位，而是“万〞位；
〔2〕的有效数字是3个：9、0、3，3不是百分位，而是“百〞位；
〔3〕的有效数字是2个：1、8，8不是非常位，而是“千万〞位；
〔4〕的有效数字是3个：6、4、0，0不是百分位，而是“千〞位。

解：〔1〕70万. 准确到万位，有2个有效数字7、0；
〔2〕9.03万.准确到百位，有3个有效数字9、0、3；
〔3〕1.8亿.准确到千万位，有2个有效数字1、8；
×105.准确到千位，有3个有效数字6、4、0。

说明：较大的数取近似值时，常用×万，×亿等等来表示，这里的“×〞表示这个近似数的有效数字，而它准确到的位数不一定是“万〞或者“亿〞。

对于不纯熟的学生，应当写出原数之后再判断准确到哪一位，例如9.03万＝90300，因为“3〞在百位上，所以9.03万准确到百位。

例5. 用四舍五入法，按括号里的要求对以下各数取近似值。

〔1〕1.5982〔准确到0.01〕〔2〕0.03049〔保存两个有效数字〕
〔3〕3.3074〔准确到个位〕〔4〕81.661〔保存三个有效数字〕
分析：四舍五入是指要准确到的那一位后面紧跟的一位，假如比5小那么舍，假如比5大或者等于5那么进1，与再后面各位数字的大小无关。

〔1〕1.5982要准确到0.01即百分位，只看它后面的一位即千分位的数字，是9＞5，应当进1，所以近似值为1.60。

〔2〕0.03049保存两个有效数字，3左边的0不算，从3开场，两个有效数字是3、0，再看第三个数字是4＜5，应当舍，所以近似值为0.030。

〔3〕、〔4〕同上。

解：≈≈
≈≈
说明：1.60与0.030的最后一个0都不能随意去掉。

1.60是表示准确到0.01，而1.6表示准确到0.1。

对0.030，最后一个0也是表示准确度的，表示准确到千分位，而0.03只准确到百分位。

【考点打破】
【考点指要】
有理数的乘方运算是历届中考命题热点之一，常常和其他知识综合出现，有时也单独命题，主要以选择题和填空题出现。

【典型例题分析】
例1. 用四舍五入法，按括号里的要求对以下各数取近似值，并说出它的准确度〔或者有效数字〕。

〔1〕26074〔准确到千位〕 〔2〕7049〔保存2个有效数字〕
〔3〕26074000000〔准确到亿位〕 〔4〕704.9〔保存3个有效数字〕
分析：根据题目的要求：
〔1〕26074≈26000；
〔2〕7049≈7000
〔3〕26074000000≈26100000000
≈705
〔1〕、〔2〕、〔3〕题的近似值中看不出它们的准确度，所以必须用科学记数法表示。

解：〔1〕26074＝2.6074×104≈×104，准确到千位，有两个有效数字2、6。

×103≈×103，准确到百位，有两个有效数字7、0。

×1010≈×1010，准确到亿位，有三个有效数字2、6、1。

≈705，准确到个位，有三个有效数字7、0、5。

说明：求整数的近似数时，应注意以下两点：
〔1〕近似数的位数一般都与数的位数一样；
〔2〕当近似数不是准确到个位，或者有效数字的个数小于整数的位数时，一般用科学记数法表示这个近似数。

因为形如a ×10n 〔110≤<a ，n 为正整数〕的数可以表达出整数的准确度。

例2. 指出以下各问题中的准确数和近似数，以及近似数各准确到哪一位？各有几个有效数字？
〔1〕某厂1998年的产值约为1500万元，约是1978年的12倍；
〔2〕某校初一〔2〕班有学生52人，平均身高约为1.57米，平均体重约为50.5千克；
〔3〕我国人口约12亿人；
〔4〕一次数学测验，初一〔1〕班平均分约为88.6分，初一〔2〕班约为89.0分。

分析：对于四舍五入得到的近似数，假如是整数，就准确到个位；假设有1位小数，就准确到非常位，如近似数89.0就准确到非常位。

假设去掉末位的“0〞成为89，那么准确到个位了，这就不是原来的准确度了，故近似数末位的零不能去掉。

解：〔1〕1998和1978是准确数。

近似数1500万元，准确到万位，有四个有效数字；近似数12准确到个位，有两个有效数字。

〔2〕52是准确数。

近似数1.57准确到百分位，有3个有效数字；近似数50.5准确到非常位，有3个有效数字。

〔3〕近似数12亿准确到亿位，有两个有效数字。

〔4〕近似数88.6和89.0都准确到非常位，都有3个有效数字。

说明：在大量的实际数学问题中，都会遇到近似数的问题。

使用近似数，就有一个近似程度的问题，也就是准确度的问题。

一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数准确到哪一位。

这时，从左边第一个不是0的数字起，到准确到的数位〔这个数位上的数字假设是0也得算〕止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

例3. 计算：－17＋17÷〔－1〕17－52×〔－0.2〕3
分析：此算式以加、减分段, 应分为三段：－17, 17÷〔－1〕17, 52×〔－0.2〕3。

这三段可以同时进展计算，先算乘方，再算乘除。

式中的－化为-1
5
参加计算较为简便。

解：原式=-+---17171251125
÷×()()
=-+---=-+=-17171
5
341
533
45
()()
说明：做有理数混合运算时，假如算式中不含有中括号、大括号，那么计算时一般用“加〞、“减〞号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进展计算，有利于进步计算的速度和正确率。

例4. 计算：[()][()()]135149
11625
2
2
×÷×---
分析：此题运算顺序是：
第一步，计算()()--49116和；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法。

解：原式=-[][()]8559562523
×÷×
=-=-=-=-=-()()()()89136481127
64812764321
13
23
÷÷×
说明：由此例题可以看出，括号在确定运算顺序上的作用，所以计算题也需认真审题。

例5. 计算：
33
41
40452532012586÷×÷×()(.)()()()-++-⎡⎣⎢⎤
⎦⎥--⎧⎨⎩⎫
⎬⎭
-
分析：含有括号的混合运算，一般按小、中、大括号的顺序进展运算，括号里面仍然是先进展第三级运算，再进展第二级运算，最后进展第一级运算。

解：原式=-++⎡⎣⎢⎤⎦⎥--⎧⎨⎩⎫⎬⎭
334
14
0425453201÷×
÷×()(.)() =-+--=---=--=-[.]().()..15255
320
1255
3
207520125
÷÷
【综合测试】
1. 计算。

〔1〕； 〔2〕 ；
〔3〕； 〔4〕
〔5〕 〔6〕
〔7〕 〔8〕 〔9〕 〔10〕
〔11〕
〔12〕
〔13〕
〔14〕
2. 用科学记数法表示以下各数。

〔1〕503000；〔2〕200000；〔3〕〔4〕
3. 由四舍五入得到的近似数0.600的有效数字是〔〕
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4. 用四舍五入法取近似值，3.1415926准确到百分位的近似值是_________，准确到千分位近似值是________。

5. 用四舍五入法取近似值，0.01249准确到0.001的近似数是_________，保存三个有效数字的近似数是___________。

6. 用四舍五入法取近似值，396.7准确到十位的近似数是______________；保存两个有效数字的近似数是____________。

7. 用四舍五入法得到的近似值0.380准确到_____位，48.68万准确到___位。

综合测试答案
1.计算。

〔1〕32 〔2〕〔3〕〔4〕
〔5〕28 〔6〕4.1 〔7〕41
4
〔8〕6
2
3
〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕14 7
〔13〕〔14〕983
2. 用科学记数法表示以下各数。

〔1〕〔2〕
〔3〕〔4〕
3. C
6. ×102
7. 千分，百
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。