江苏省2014年高考数学重点高频考点讲解集合和函数二 (教师版)

题型一
1．若不等式2x ax 10≥＋＋对于一切1
x (0,]2
∈恒成立，则a 的最小值是( ) A ．0 B ．－2 C ．5
2
- D ．－3
【答案】C 【解析】
试题分析： 2
x ax 10≥＋＋即2x 1a x -≥-，所以，只需a 不小于2x 1
x
--的最大值.
而
2x 111()x x x x x -=--=-+-，1x x +在1x (0,]2∈是减函数，其最小值在1
x 2=时取到为15
2=22
+， 所以，2x 1x
--的最大值为52-，即a 的最小值为52-，选C.
考点：函数的单调性与最值 题型二
2．函数),(4sin )(3
22
R b a bx x a x f ∈++=，若2013)2014
1
(lg
=f ，则(lg 2014)f =（ ） A ．2018 B ．－2009 C ．2013 D ．－2013 【答案】C 【解析】
试题分析：因为函数
),(4sin )(3
22
R b a bx x a x f ∈++=为偶函数，
1
2013(lg
)(lg 2014)(lg 2014)2014
f f f ==-=． 考点：函数的奇偶性．
3已知函数231
()log log 2,(
)42013
f x a x b x f =++=，则(2013)f =（ ） (A)0 (B)2 (C)－2 (D)4 【答案】A. 【解析】
试题分析：设()()2F x f x =-，则2
3111
()log log F a b x x x
=+=2(log a x -+ 3log )()b x F x =-，所以1
(2013)(
)(42)22013
F F =-=--=-， (2013)(2013+2=0.f F =）选A.
考点：函数的奇偶性、周期性 题型三
4．已知函数(
)2014sin (01)
(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则
a ＋
b ＋
c 的取值范围是（ ）
A ．（1，2014）
B ．（1，2015）
C ．（2，2015）
D ． 【答案】C 【解析】
【解析】
试题分析：∵对任意0)
()(,2
12121<--≠x x x f x f x x 都有
,∴()f x 为减函数，∴
0121283log 1
a a a a <<⎧⎪
≥⎨
⎪-+≥⎩
， ∴
15
28
a ≤≤. 考点：1.函数单调性的定义；2.分段函数的单调性.
6．已知()f x 是偶函数，且()f x 在[)+∞,0上是增函数，如果(1)(2)f ax f x +≤-在1
[,1]2
x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．[2,1]-
B ．[5,0]-
C ．[5,1]-
D ．[2,0]- 【答案】D 【解析】
试题分析：∵()f x 是偶函数，且()f x 在[)+∞,0上是增函数， ∴1|1||2|,[,1]2
ax x x +≤-∈，
∴当1x =时，111a -≤+≤，∴20a -≤≤， 当0x =时，313
1222
a -
≤+≤，∴51a -≤≤， 综上可得a 的取值范围为[2,0]-.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.恒成立问题. 题型四
7．如果函数f(x)是定义在(-3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，函数 f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx ＜0的解集是（ ）
A. 2π 3⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--，
∪(0，1)∪ 3 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛， B. 1 2π⎪⎭
⎫
⎝⎛--，
∪(0，1)∪ 3 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛， C.(- 3，- 1)∪(0，1)∪(1，3) D. 2π 3⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--，∪(0，1)∪(1，3) 【答案】B 【解析】
试题分析：因为f(x)是定义在(-3，3)上的奇函数，所以f(x)图像关于原点对称。

由图像可知，当0
1x 或31x --时，()0f x ，当10x -或13x 时()0f x 。

当
2
2
x
π
π
-
时，cos 0x ，当3
2
x
π
--
或
32
x
π
时，cos 0x 。

所以f(x)cos x
＜0时 1 2π⎪⎭
⎫
⎝⎛--，
∪(0，1)∪ 3 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛，。

考点：奇函数的性质，余弦函数图像和不等式问题 题型五
8．函数21
()211x x f x x x ⎧<=⎨-⎩
，，≥，若方程()f x a =有两个不相等的实数解，则a 的取值范围
是________． 【答案】12a < 【解析】
试题分析：由题意知,当1x <时,函数()2x f x =为单调递增函数,且函数的值域为()0,2,当
1x 时,函数()21f x x =-亦为单调递增函数,且函数的值域为[)1,+∞,所以若使方程
()f x a =有两个不相等的实数解,则221x a
x a
⎧=⎨
-=⎩,即()[)[)0,21,1,2a ∈+∞=.故正确答案为
12a <.
考点：1.分段函数;2.解方程.
9．已知函数1333,1
()log ,01x x f x x x ⎧-≥⎪
=⎨<<⎪⎩
，则满足不等式1()()9f m f ≤的实数m 的取值范围
为 ． 【答案】31
[,log 5]9
【解析】 试
题
分
析
：
1311()log 299
f ==，即
()2
f m ≤。

22111
1log 5log 5
33235m m m m m m m ≥≥≥⎧⎧⎧⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎨
≤-≤≤⎩⎩⎩，或
130101111log 299m m m m m <<⎧<<⎧⎪⎪
⇒⇒≤⎨⎨
≤≥⎪⎪⎩⎩
，综上可得13log m 考点：分段函数值域问题，函数单调性
10．已知函数12
21(1)
()25(1)
x x f x x x x -⎧+≥=⎨--+<⎩，若函数()y f x m =-有三个不同的零点，则实数
m 的取值范围是 . 【答案】()2,6 【解析】
试题分析：函数12
21(1)
()25(1)
x x f x x x x -⎧+≥=⎨--+<⎩的图象如图所示，
因为函数()y f x m =-有三个不同的零点，所以26m <<. 考点：函数的图象和函数的零根. 题型六
11．已知二次函数a ax x x f -+-=2)(2在区间[]0,1上有最大值2，求实数a 的值 【答案】1a =-或3a = 【解析】
试题分析：由已知二次函数()f x 开口方向向下,其对称轴为x a =,所以函数()f x 在区间
(],a -∞上单调递增,在[),a +∞上单调递减,又函数()f x 在区间[]0,1上的最大值受到a 与区
间端点值0、1大小关系的制约,故需要对a 的取值范围针对于0、1进行分类讨论,即当0a 时,函数的最大值为()02f =;当01a <<时,函数的最大值为()2f a =;当1a >时,函数的最大值为()12f =,从而求出实数a 的值.
试题解析：由a a a x x f -+--=2
2)()(，得函数)(x f 的对称轴为：x a =， 1分
①当0<a 时，()f x 在]1,0[上递减，
2)0(=∴f ，即2,2-=∴=-a a ； 4分
②当1>a 时，()f x 在]1,0[上递增，
2)1(=∴f ，即3=a ； 7分
x =1
y =6
③当01a ≤≤时，()f x 在],0[a 递增，在]1,[a 上递减，
2)(=∴a f ，即22=-a a ，解得：12-=或a 与01a ≤≤矛盾；
综上：a =－2或3=a 10分 考点：二次函数的最值
12．函数()y f x =在(1,1)-上是减函数，且为奇函数，满足2(1)(2)0f a a f a --+->，试a 求的范围．
【答案】 【解析】
试题分析：由于函数()y f x =在（－1，1）上是减函数，且为奇函数.所以由
2(1)(2)0f a a f a --+->可得. 2(1)(2)f a a f a -->--.即2(1)(2)f a a f a -->-+.
所以可得2212
111121a a a a a a ⎧--<-+⎪
-<--<⎨⎪-<-+<⎩
.
可解得1a <<
试题解析：由题意，0)2()1(2>-+--a f a a f ，即)2()1(2-->--a f a a f ， 而又函数)(x f y =为奇函数，所以
)2()1(2
a f a a f ->--．又函数)(x f y =在（-1，1）上是减函数，有2211112112a a a a a a ⎧-<--<⎪-<-<⎨⎪--<-
⎩1012
13
a a a a ⎧-<<<<⎪⇒<<⎨⎪<⎩或31<<⇒a ．所以，a 的取
值范围是．
考点：1.函数的单调性.2.函数的奇偶性.3.不等式组的解法.4.二次不等式的解法. 13．已知函数()22,x
x
f x k k R -=+⋅∈.
(I)若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；
(II)若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()2x
f x ->成立，求实数k 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）1k =-. （Ⅱ）0k >.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据()22,x x f x k k R -=+⋅∈是奇函数，()(),R f x f x x -=-∈，得到恒等式2(1)(1)20x k k +++⋅=对一切R x ∈恒成立，不难得到1k =-. （Ⅱ）由已知得到212x k -<对0x ≥恒成立，从而只需2min 1(2)x k -<,
问题转化成求22x y =在[)0,+∞上的最小值，利用函数的单调性易得2min (2)1x =.
试题解析：（Ⅰ）因为()22,x x f x k k R -=+⋅∈是奇函数，所以()(),R f x f x x -=-∈，2分 即22(22),x x x x k k --+⋅=-+⋅所以2(1)(1)20x k k +++⋅=对一切R x ∈恒成立， 所以1k =-. 6分 （Ⅱ）因为[)0,x ∈+∞，均有()2,x f x ->即222x x x k --+⋅>成立， 所以212x k -<对0x ≥恒成立， 8分 所以2min 1(2)x k -<,
因为22x y =在[)0,+∞上单调递增，所以2min (2)1x =，
所以0k >. 12分 考点：函数的奇偶性，函数的单调性、最值.
14．已知函数()f x 是定义域为R 的单调减函数，且是奇函数，当0>x 时，()23
x f x x
=- （1）求()f x 的解析式；（2）解关于t 的不等式2
2
(2)(25)0f t t f t -+-<
【答案】（1）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<+=>-=-0
23
00
23)(x x
x x x x f x x
；（2）),3
5
()1,(+∞⋃--∞．
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，)(x f 是定义域为R 的奇函数，所以0)0(=f ；当0>x 时，
()23
x f x x
=
-，则可根据奇函数的性质求出0<x 时的解析式；（2）由)(x f 是奇函数，可将原不等式化为
)25()2(22t f t t f -<-∴，再根据函数是减函数的性质，可得到不等式22252t t t ->-，
从中求出t 的取值范围．
试题解析：(1) 定义域为R 的函数)(x f 是奇函数，∴0)0(=f ； 当0<x 时，0>-x ，∴x x
x f ---=
-23
)(，又 函数)(x f 是奇函数，∴)()(x f x f -=- x x
x f -+=
∴23
)( 综上所述⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<+=>-=-0
23
00
023)(x x
x x x x f x x
； （2）由0)52()2(2
2
<-+-t f t t f ，得)52()2(2
2
--<-t f t t f
)(x f 是奇函数，)25()2(22t f t t f -<-∴
又)(x f 是减函数，22252t t t ->-∴，即05232
>--t t ，解得3
5
>
t 或1-<t ，所以t 的取值范围是),3
5()1,(+∞⋃--∞．
考点：本题考查的知识点是函数的奇偶性和单调性，以及函数的奇偶性和单调性在解决函数问题中的应用．
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