2020-2021学年浙江省杭州二中高一上期末数学试卷
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【最新】浙江省杭州二中高一上期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则满足 的集合 的个数是（）
A．2B．3C．4D．9
2．函数 的零点所在的区间为（）
A． B． C． D．
3．已知 为坐标原点，向量 , ,且 ,则点 的坐标为（）
的增区间即 ，由题意可得 ，解得 ，再由定义域得 ， ，得 的取值范围 ，故选D.
考点：对数函数的单调性、复合函数的单调性.
【思路点晴】本题主要考查复合函数的单调性．同增异减是判断复合函数的单调性的依据． 可得函数 在定义域内是减函数，这也是本题的难点，由题中函数在给定区间上是减函数可知需求 的增区间，这样本题转化成集合间的关系问题，进而可得结论．题的难点在于知识的转化．本题属于中等题.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，以及数形结合思想的应用，属于简单题.
8．D
【解析】
试题分析： ，由题可知函数为单调函数， ， ，解得 .故选D.
考点：一次函数的单调性、对数函数的单调性.
9．A
【解析】
试题分析：由题意得 ， ，
， ，
，故选A.
考点：诱导公式、正弦函数的单调性.
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是 ，
故选B．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．
3．C
【解析】
试题分析：可设 ，则 ，由已知得 ， ，由 得 得 .故选C.
考点：向量的坐标运算.
4．B
【分析】
当 时，函数 满足 ，得 ，画出 ，再根据对称性可得结果.
【详解】
试题分析：由 得 ，由 得
，可得 ， ， ， .故选C.
考点：诱导公式.
【思路点晴】本题考查了诱导公式的应用，知识点简单，但难在对给定条件的理解；如何将两个条件转化成构成形式一样的形式，是难点，同一个等式中既有角，也有三角函数值，在我们的学习和练习中很少出现，采用整体替换的方法可得到 ，再利用二倍角公式即可求出所求的值.本题对学生理解能力的考查比较着重，本题属于难题.
6．A
【解析】
试题分析：当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，故选A.
考点：诱导公式.
7．A
【解析】
分析： ， 关于 对称，可得 ，由直线 及 的距离小于 可得 .
详解：因为曲线
在区间 上截直线 及 所得的弦长相等且不为 ，
可知 ， 关于 对称，
所以 ，又弦长不为 ，
直线 及 的距离小于 ，
∴ ．故选A.
【思路点晴】本题属于常见题，主要考查了三角函数的诱导公式和正弦函数的单调性，通过函数图象的变换得到 的解析式后，如何利用正弦函数单调性比较三个三角函数值的大小是本题的难点，通过诱导公式将 ， ， 转化到同一个单调区间内，再利用单调比较即可．将数看到弧度，使本题的难度增加了．本题属于难题.
10．C
【解析】
当 时，函数 满足 ，得 ，
画出函数 的图象，如图中黑色的图象，
函数 与 的图象关于 轴对称，
得到红色颜色的图象，故答案为B．
【点睛】
两个函数图象的对称性：（1）函数 的图象与 的图象关于 轴对称；（2）函数 的图象与 的图象关于 轴对称；（3）函数 的图象与 的图象关于原点对称.
5．D
【解析】
试题分析： 在定义域内是减函数，所以 的减区间是
11．
【解析】
试题分析：因为是幂函数，所以 ，得 ， ， .
考点：幂函数的定义.
12．
【解析】
试题分析： 得 ， .
考点：弧度的定义、扇形面积公式.
13．50
【解析】
试题分析：由 得 .
， ， .
考点：同角三角函数的基本关系.
14．（1）(3)（4）
【解析】
试题分析：(1) 的最小正周期为 ；（2） ，所以对称中心为 ；（3）零点问题可转化成： 的交点问题，由图象可知交点个数为 ；(4)当 时，结论不成立.故选（1）(3)（4）.
（1）求函数 的解析式；
（2）若方程 在 内有两个不同的解,求实数 的取值范围．
19．设 为 的重心，过 作直线 分别交线段 (不与端点重合)于 ．若 ．
（1）求 的值；
（2）求 的取值范围．
20．已知函数 .
（1）若函数 为偶函数，求 的值；
（2）若 ，求函数 的单调递增区间；
（3）当 时，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
12．已知弧长为 的弧所对的圆心角为 ，则这条弧所在的扇形面积为_______ ．
13．已知 , ．若 可表示成 的形式（ 为正整数），则 _____________．
14．下列命题：(1) 最小正周期为π；(2)函数 的图象的对称中心是 ；(3) 在（ ）上有3个零点；（4）若 ,则 ．其中错误的是_____________．
A． ， B． ， C． ， D． ，
8．己知函数 在 内恒为正值，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
9．已知函数 的图像是由 向右平移 得到，则下列结论正确的是（）
A． B．
C．பைடு நூலகம்D．
10．若 ， ， ，且 ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知幂函数 的图象过点 ，则 _______．
15．在锐角 中， ， （其中 ），函数 的最小值为 ，则 的最小值为___________．
16．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则 的取值范围为____________．
三、解答题
17．已知集合 ， ．
（1）分别求A∩B，A∪B；
（2）已知集合 ，若C⊆A，求实数a的取值范围．
18．已知点 , 是函数 图象上的任意两点,且角 的终边经过点 ,若 时, 的最小值为 ．
A． B． C． D．
4．若当 时，函数 始终满足 ，则函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．已知函数 在 单调递减，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
6． 时， 的值为（）
A．－1B．1C．±1D．与 取值有关
7．曲线 在区间 上截直线 及 所得的弦长相等且不为 ，则下列对 ， 的描述正确的是（）．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由题分析可得 中一定有元素 ，符合题意的 有这样四个： ， ， ， ，故选C.
考点：集合的并集.
2．B
【分析】
判断函数 单调递增，求出f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=3＞0，即可判断．
【详解】
∵函数 单调递增，
∴f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=7＞0，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则满足 的集合 的个数是（）
A．2B．3C．4D．9
2．函数 的零点所在的区间为（）
A． B． C． D．
3．已知 为坐标原点，向量 , ,且 ,则点 的坐标为（）
的增区间即 ，由题意可得 ，解得 ，再由定义域得 ， ，得 的取值范围 ，故选D.
考点：对数函数的单调性、复合函数的单调性.
【思路点晴】本题主要考查复合函数的单调性．同增异减是判断复合函数的单调性的依据． 可得函数 在定义域内是减函数，这也是本题的难点，由题中函数在给定区间上是减函数可知需求 的增区间，这样本题转化成集合间的关系问题，进而可得结论．题的难点在于知识的转化．本题属于中等题.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，以及数形结合思想的应用，属于简单题.
8．D
【解析】
试题分析： ，由题可知函数为单调函数， ， ，解得 .故选D.
考点：一次函数的单调性、对数函数的单调性.
9．A
【解析】
试题分析：由题意得 ， ，
， ，
，故选A.
考点：诱导公式、正弦函数的单调性.
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是 ，
故选B．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．
3．C
【解析】
试题分析：可设 ，则 ，由已知得 ， ，由 得 得 .故选C.
考点：向量的坐标运算.
4．B
【分析】
当 时，函数 满足 ，得 ，画出 ，再根据对称性可得结果.
【详解】
试题分析：由 得 ，由 得
，可得 ， ， ， .故选C.
考点：诱导公式.
【思路点晴】本题考查了诱导公式的应用，知识点简单，但难在对给定条件的理解；如何将两个条件转化成构成形式一样的形式，是难点，同一个等式中既有角，也有三角函数值，在我们的学习和练习中很少出现，采用整体替换的方法可得到 ，再利用二倍角公式即可求出所求的值.本题对学生理解能力的考查比较着重，本题属于难题.
6．A
【解析】
试题分析：当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，故选A.
考点：诱导公式.
7．A
【解析】
分析： ， 关于 对称，可得 ，由直线 及 的距离小于 可得 .
详解：因为曲线
在区间 上截直线 及 所得的弦长相等且不为 ，
可知 ， 关于 对称，
所以 ，又弦长不为 ，
直线 及 的距离小于 ，
∴ ．故选A.
【思路点晴】本题属于常见题，主要考查了三角函数的诱导公式和正弦函数的单调性，通过函数图象的变换得到 的解析式后，如何利用正弦函数单调性比较三个三角函数值的大小是本题的难点，通过诱导公式将 ， ， 转化到同一个单调区间内，再利用单调比较即可．将数看到弧度，使本题的难度增加了．本题属于难题.
10．C
【解析】
当 时，函数 满足 ，得 ，
画出函数 的图象，如图中黑色的图象，
函数 与 的图象关于 轴对称，
得到红色颜色的图象，故答案为B．
【点睛】
两个函数图象的对称性：（1）函数 的图象与 的图象关于 轴对称；（2）函数 的图象与 的图象关于 轴对称；（3）函数 的图象与 的图象关于原点对称.
5．D
【解析】
试题分析： 在定义域内是减函数，所以 的减区间是
11．
【解析】
试题分析：因为是幂函数，所以 ，得 ， ， .
考点：幂函数的定义.
12．
【解析】
试题分析： 得 ， .
考点：弧度的定义、扇形面积公式.
13．50
【解析】
试题分析：由 得 .
， ， .
考点：同角三角函数的基本关系.
14．（1）(3)（4）
【解析】
试题分析：(1) 的最小正周期为 ；（2） ，所以对称中心为 ；（3）零点问题可转化成： 的交点问题，由图象可知交点个数为 ；(4)当 时，结论不成立.故选（1）(3)（4）.
（1）求函数 的解析式；
（2）若方程 在 内有两个不同的解,求实数 的取值范围．
19．设 为 的重心，过 作直线 分别交线段 (不与端点重合)于 ．若 ．
（1）求 的值；
（2）求 的取值范围．
20．已知函数 .
（1）若函数 为偶函数，求 的值；
（2）若 ，求函数 的单调递增区间；
（3）当 时，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
12．已知弧长为 的弧所对的圆心角为 ，则这条弧所在的扇形面积为_______ ．
13．已知 , ．若 可表示成 的形式（ 为正整数），则 _____________．
14．下列命题：(1) 最小正周期为π；(2)函数 的图象的对称中心是 ；(3) 在（ ）上有3个零点；（4）若 ,则 ．其中错误的是_____________．
A． ， B． ， C． ， D． ，
8．己知函数 在 内恒为正值，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
9．已知函数 的图像是由 向右平移 得到，则下列结论正确的是（）
A． B．
C．பைடு நூலகம்D．
10．若 ， ， ，且 ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知幂函数 的图象过点 ，则 _______．
15．在锐角 中， ， （其中 ），函数 的最小值为 ，则 的最小值为___________．
16．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则 的取值范围为____________．
三、解答题
17．已知集合 ， ．
（1）分别求A∩B，A∪B；
（2）已知集合 ，若C⊆A，求实数a的取值范围．
18．已知点 , 是函数 图象上的任意两点,且角 的终边经过点 ,若 时, 的最小值为 ．
A． B． C． D．
4．若当 时，函数 始终满足 ，则函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．已知函数 在 单调递减，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
6． 时， 的值为（）
A．－1B．1C．±1D．与 取值有关
7．曲线 在区间 上截直线 及 所得的弦长相等且不为 ，则下列对 ， 的描述正确的是（）．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由题分析可得 中一定有元素 ，符合题意的 有这样四个： ， ， ， ，故选C.
考点：集合的并集.
2．B
【分析】
判断函数 单调递增，求出f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=3＞0，即可判断．
【详解】
∵函数 单调递增，
∴f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=7＞0，