河南省灵宝市第五高级中学人教版数学必修五1.2 解三角形的应用举例 课件4
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3.在△ABC 中，求证：c(acosB－bcosA)＝a2－b2.
第三十二页，编辑于星期日：十五点 五分。
4．在△ABC 中，BC＝ 5，AC＝3，sin C＝2sin A. (1)求 AB 的值； (2)求 sin2A－4π的值．
5.在△ABC 中，a，b，c 分别为内角A、B、C 的对边 ，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC．
第二十一页，编辑于星期日：十五点 五分。
第二十二页，编辑于星期日：十五点 五分。
第二十三页，编辑于星期日：十五点 五分。
答：三角形的面积为
3 3 或3- 3 .
2
2
第二十四页，编辑于星期日：十五点 五分。
1.三角形面积公式：
2.确定三角形的形状 利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为
第十五页，编辑于星期日：十五点 五分。
前一种解法正确.
后一种解法遗漏了一种情况；
因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即
2A+2B=180°，A+B=90°.
第十六页，编辑于星期日：十五点 五分。
第十七页，编辑于星期日：十五点 五分。
所以此三角形为直角三角形. 思考:能否直接用角推导,而不转化为边呢?
第五页，编辑于星期日：十五点 五分。
第六页，编辑于星期日：十五点 五分。
(3)根据余弦定理的推论，得
第七页，编辑于星期日：十五点 五分。
例2 如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改 造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1㎡）
由正弦定理求出B；由A＋B＋ C＝180°，求出角C；再利用 正弦定理或余弦定理求c，可 有两解、一解或无解
第二十八页，编辑于星期日：十五点 五分。
若cos(A＋B)>0，则角C是钝角； ❖ 若cos(A＋B)<0，则角C是锐角； ❖ 若cos(A＋B)＝0，则角C是直角．
❖ 有时已知中有边角混杂的式子，可以利用正弦定 理和余弦定理，把所给的条件进行边角转化，以 达到化异为同的效果．
若sinB＋sinC＝1
（1）试判断△ABC 的形状 （2）求sinB＋sinC 的最大值
组卷网
第三十三页，编辑于星期日：十五点 五分。
第十八页，编辑于星期日：十五点 五分。
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或 只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定 三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理 甚至可以两者混用.
第十九页，编辑于星期日：十五点 五分。
第二十页，编辑于星期日：十五点 五分。
边”.
第二十五页，编辑于星期日：十五点 五分。
❖ 2．三角形形状的判断
❖ 判断三角形的形状是解三角形问题中常见题型，其 关键是实现边角互相转化，主要方法有两种：
❖ 方法一：化角为边，利用正弦定理、余弦定理把 所给条件中的角都转化为边，通过恒等变形，寻 找边的关系，从而判断三角形的形状．
❖ 方法二：化边为角，利用正弦定理、余弦定理把 所给的条件中的边都化为角，通过三角变换，寻 求角的值或角的关系．常见结论有：
第二十九页，编辑于星期日：十五点 五分。
练习
1．在△ABC 中，a＝6，c＝4，B＝30°，则△ABC 的面
积是( )
A．12
B．6
C．12 3
D．8 3
2．在△ABC 中，c＝ 3，b＝1，B＝30°，则△ABC 的
面积为( )
A. 23或 3
B.
23或
3 4
C.
3或
3 4
D. 3
第三十页，编辑于星期日：十五点 五分。
3
．在△ABC
________.
中
，
若
A
＝
6
0
°
，
b
＝
1
6
，
S
△
A
B
C
＝
6
4
，
则
c
＝
4．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 sin A＝tanB，a＝b(1＋cosA)，求证：A＝C.
5. △ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a，b，c，且ccooss CB＝
－2ab＋c.求： (1)角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积．
第二十六页，编辑于星期日：十五点 五分。
3．解三角形问题的几种类型
在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一 个为边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下 几种情况
第二十七页，编辑于星期B，C)
两边和夹角( 如a，b，C)
三边(a，b， c)
A
c
b
ha
B
aD C
思考：如何用已知边和角表示三角形 的面积？
第三页，编辑于星期日：十五点 五分。
2.已知边角求三角形面积:
ha＝bsinC＝csinB
hb=csinA＝asinC
B
hc=asinB＝bsinA
A
ha
c
b
aD C
第四页，编辑于星期日：十五点 五分。
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的 问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用 解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求 出需要的元素，就可以求出三角形的面积.
第十页，编辑于星期日：十五点 五分。
证明：（1）根据正弦定理，可设
第十一页，编辑于星期日：十五点 五分。
（2）根据余弦定理 右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-
c2)
=a2+b2+c2=左边.
第十二页，编辑于星期日：十五点 五分。
探究三 判断三角形的形状
例4 判断满足下列条件的三角形形状， （1）acosA = bcosB
学科网
分析：本题可转化为已知
三角形的三边，求角的问
题，再利用三角形的面积 A
公式求解。
C B
第八页，编辑于星期日：十五点 五分。
解： 设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论， ，得
第九页，编辑于星期日：十五点 五分。
探究二 三角形边角关系应用
例3 在△ABC中，求证 ：
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证 明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正 弦定理和余弦定理来证明.
三角形中的几何计算
灵宝五高高一数学组
第一页，编辑于星期日：十五点 五分。
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角 形的面积公式的简单推导和应用; 2.三角形各种类型的判定方法.
zxxk
第二页，编辑于星期日：十五点 五分。
探究一 三角形面积公式
1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？
两边和其中 一边的对角( 如a，b，A)
应用定理 正弦定理
余弦定理 正弦定理
余弦定理
正弦定理 余弦定理
一般解法
由A＋B＋C＝180°，求角A； 由正弦定理求出b与c，在有解 时只有一解
由余弦定理求第三边c；由正 弦定理求出一边所对的角；再 由A＋B＋C＝180°求出另一 角，在有解时只有一解
由余弦定理求出A、B；再利用 A＋B＋C＝180°，求出角C， 在有解时只有一解
第三十一页，编辑于星期日：十五点 五分。
1．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，B ＝π3，cos A＝45，b＝ 3.
(1)求 sin C 的值． (2)求△ABC 的面积．
2. △ABC 中，角 A、B、C 对应边分别为 a、b、c.
求证：a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边 ”.
第十三页，编辑于星期日：十五点 五分。
第十四页，编辑于星期日：十五点 五分。
另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB, 所以sin2A=sin2B, 即2A=2B, 所以A=B 根据边的关系易得是等腰三角形
思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错误？为 什么？
第三十二页，编辑于星期日：十五点 五分。
4．在△ABC 中，BC＝ 5，AC＝3，sin C＝2sin A. (1)求 AB 的值； (2)求 sin2A－4π的值．
5.在△ABC 中，a，b，c 分别为内角A、B、C 的对边 ，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC．
第二十一页，编辑于星期日：十五点 五分。
第二十二页，编辑于星期日：十五点 五分。
第二十三页，编辑于星期日：十五点 五分。
答：三角形的面积为
3 3 或3- 3 .
2
2
第二十四页，编辑于星期日：十五点 五分。
1.三角形面积公式：
2.确定三角形的形状 利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为
第十五页，编辑于星期日：十五点 五分。
前一种解法正确.
后一种解法遗漏了一种情况；
因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即
2A+2B=180°，A+B=90°.
第十六页，编辑于星期日：十五点 五分。
第十七页，编辑于星期日：十五点 五分。
所以此三角形为直角三角形. 思考:能否直接用角推导,而不转化为边呢?
第五页，编辑于星期日：十五点 五分。
第六页，编辑于星期日：十五点 五分。
(3)根据余弦定理的推论，得
第七页，编辑于星期日：十五点 五分。
例2 如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改 造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1㎡）
由正弦定理求出B；由A＋B＋ C＝180°，求出角C；再利用 正弦定理或余弦定理求c，可 有两解、一解或无解
第二十八页，编辑于星期日：十五点 五分。
若cos(A＋B)>0，则角C是钝角； ❖ 若cos(A＋B)<0，则角C是锐角； ❖ 若cos(A＋B)＝0，则角C是直角．
❖ 有时已知中有边角混杂的式子，可以利用正弦定 理和余弦定理，把所给的条件进行边角转化，以 达到化异为同的效果．
若sinB＋sinC＝1
（1）试判断△ABC 的形状 （2）求sinB＋sinC 的最大值
组卷网
第三十三页，编辑于星期日：十五点 五分。
第十八页，编辑于星期日：十五点 五分。
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或 只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定 三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理 甚至可以两者混用.
第十九页，编辑于星期日：十五点 五分。
第二十页，编辑于星期日：十五点 五分。
边”.
第二十五页，编辑于星期日：十五点 五分。
❖ 2．三角形形状的判断
❖ 判断三角形的形状是解三角形问题中常见题型，其 关键是实现边角互相转化，主要方法有两种：
❖ 方法一：化角为边，利用正弦定理、余弦定理把 所给条件中的角都转化为边，通过恒等变形，寻 找边的关系，从而判断三角形的形状．
❖ 方法二：化边为角，利用正弦定理、余弦定理把 所给的条件中的边都化为角，通过三角变换，寻 求角的值或角的关系．常见结论有：
第二十九页，编辑于星期日：十五点 五分。
练习
1．在△ABC 中，a＝6，c＝4，B＝30°，则△ABC 的面
积是( )
A．12
B．6
C．12 3
D．8 3
2．在△ABC 中，c＝ 3，b＝1，B＝30°，则△ABC 的
面积为( )
A. 23或 3
B.
23或
3 4
C.
3或
3 4
D. 3
第三十页，编辑于星期日：十五点 五分。
3
．在△ABC
________.
中
，
若
A
＝
6
0
°
，
b
＝
1
6
，
S
△
A
B
C
＝
6
4
，
则
c
＝
4．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 sin A＝tanB，a＝b(1＋cosA)，求证：A＝C.
5. △ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a，b，c，且ccooss CB＝
－2ab＋c.求： (1)角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积．
第二十六页，编辑于星期日：十五点 五分。
3．解三角形问题的几种类型
在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一 个为边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下 几种情况
第二十七页，编辑于星期B，C)
两边和夹角( 如a，b，C)
三边(a，b， c)
A
c
b
ha
B
aD C
思考：如何用已知边和角表示三角形 的面积？
第三页，编辑于星期日：十五点 五分。
2.已知边角求三角形面积:
ha＝bsinC＝csinB
hb=csinA＝asinC
B
hc=asinB＝bsinA
A
ha
c
b
aD C
第四页，编辑于星期日：十五点 五分。
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的 问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用 解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求 出需要的元素，就可以求出三角形的面积.
第十页，编辑于星期日：十五点 五分。
证明：（1）根据正弦定理，可设
第十一页，编辑于星期日：十五点 五分。
（2）根据余弦定理 右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-
c2)
=a2+b2+c2=左边.
第十二页，编辑于星期日：十五点 五分。
探究三 判断三角形的形状
例4 判断满足下列条件的三角形形状， （1）acosA = bcosB
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分析：本题可转化为已知
三角形的三边，求角的问
题，再利用三角形的面积 A
公式求解。
C B
第八页，编辑于星期日：十五点 五分。
解： 设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论， ，得
第九页，编辑于星期日：十五点 五分。
探究二 三角形边角关系应用
例3 在△ABC中，求证 ：
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证 明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正 弦定理和余弦定理来证明.
三角形中的几何计算
灵宝五高高一数学组
第一页，编辑于星期日：十五点 五分。
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角 形的面积公式的简单推导和应用; 2.三角形各种类型的判定方法.
zxxk
第二页，编辑于星期日：十五点 五分。
探究一 三角形面积公式
1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？
两边和其中 一边的对角( 如a，b，A)
应用定理 正弦定理
余弦定理 正弦定理
余弦定理
正弦定理 余弦定理
一般解法
由A＋B＋C＝180°，求角A； 由正弦定理求出b与c，在有解 时只有一解
由余弦定理求第三边c；由正 弦定理求出一边所对的角；再 由A＋B＋C＝180°求出另一 角，在有解时只有一解
由余弦定理求出A、B；再利用 A＋B＋C＝180°，求出角C， 在有解时只有一解
第三十一页，编辑于星期日：十五点 五分。
1．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，B ＝π3，cos A＝45，b＝ 3.
(1)求 sin C 的值． (2)求△ABC 的面积．
2. △ABC 中，角 A、B、C 对应边分别为 a、b、c.
求证：a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边 ”.
第十三页，编辑于星期日：十五点 五分。
第十四页，编辑于星期日：十五点 五分。
另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB, 所以sin2A=sin2B, 即2A=2B, 所以A=B 根据边的关系易得是等腰三角形
思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错误？为 什么？