(优辅资源)辽宁省抚顺市高三数学上学期12月月考试题 理

2016届高三数学12月考试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项
是符合题目要求的.
1.集合{}{
}{}
045|,2,1,4,3,2,1,02
<+-∈===x x Z x B A U ，则()B A C U =（ ） A ．{}4,3,1,0 B ．{
}3,2,1 C ．{}4,0 D ．{}0 2.设i 是虚数单位，复数i
i z +=12，则z =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2
3.已知向量b a ,的夹角为︒60，且2,1==b a ，则=+b a
2（ ）
A ．3
B ．5
C ．22
D ．32
4.设γβα,,为不同的平面，n m ,为不同的直线，则β⊥m 的一个充分条件是（ ） A ．n m n ⊥=⊥,,βαβα B ．γβγαγα⊥⊥=,,m C ．αγββα⊥⊥⊥m ,, D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,
5.若正数y x ,，满足xy y x 53=+，则y x 34+的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
6.某四面体的三视图如图，正（主）视图、侧（左）视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（ ）
正（主）视图 侧（左）视图
A ．3
4π B ．23π C ．π D ．π3
7.已知函数()()x x x x f cos cos sin +=，则下列说法正确的为（ ）
A ．函数()x f 的最小正周期为π2
B ．函数()x f 的最大值为2
C ．函数()x f 的图象关于直线8
π-=x 对称
D ．将()x f 图像向右平移8
π
个单位长度，再向下平移
2
1
个单位长度后会得到一个奇函数图像
8.执行如图的程序框图，输出的S 值是（ ）
A ．2
3-
B ．23
C ．0
D ．3
10.在ABC ∆F E AC AB 、,1,2===为BC 的三等分点，则
=⋅AF AE （ ）
A ．
98 B ．910 C ．925 D ．9
26 11.已知抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点的坐标为()1,3y 时，AEF ∆为正三角形，则此时OAB ∆的面积为（ ） A ．
334 B ．3 C ．332 D ．3
3
5 12.定义在()+∞,0上的单调函数()()()()3log ,,0,2=-+∞∈∀x x f f x x f ，则方程
()()21=-+x f x f 的解所在的区间是（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0
B ．⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()3,2 第Ⅱ卷（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知不等式4
7
16191411,3591411,23411<+++<++<+
，照此规律总结出第n 个不等式为________________________________________；
14.设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤+1
011
y x x y x ，则目标函数2-=x y z 的取值范围是
__________________________； 15.在ABC ∆中，2=
AB ，点D 在边BC 上，5
5
2cos ,10103cos ,2==
∠=C DAC DC BD ，则__________________________=AC ；
16.若对()+∞∈∀,0,y x ，不等式2ln 422
++≤---+y x y x e e a x 恒成立，则正实数a 的最大值
是____________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()12--=n n na S n n ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且3352b T T +=. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
+11n n a a 的前n 项和为n M ，求证：4151<≤n
M . 18.（本小题满分13分）
如图，多面体ABCDEF 中，BE BC BA ,,两两垂直，且
2,//,//==BE AB BE CD EF AB ，1===EF CD BC .
（I ）若点G 在线段AB 上，且GA BG 3=，求证：ADF CG 平面//； （II ）求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n 名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[)30,0，②[)60,30，③[)90,60，④[)120,90，⑤[)150,120，⑥[)180,150，⑦[)210,180，⑧[)240,210，得到频率分布直方图如下，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人： （I ）求n 的值并补全下列频率分布直方图；
（II ）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n 名学生，完成下列22⨯列联表：
据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？
（III ）若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X ，求X 的分布列及期望；
参考公式：()22
1221112
211222112
n n n n n n n n n k -= 20.（本小题满分12分）
已知双曲线()0,01:22
22>>=-b a b
y a x C 的焦距为72，其一条渐近线的倾斜角为θ，
且2
3
tan =
θ，以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆为E . （I ）求椭圆E 的方程；
（II ）设点A 是椭圆E 的左顶点，Q P ,为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AQ AP ,的斜率之积为4
1
-，问直线PQ 是否恒过定点？若横过定点，求出该点坐标；若不横过定点，说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数()x x x f ln =.
（I ）求()x f 的单调区间和极值；
（II ）设()()()()2211,,,x f x B x f x A ，且2
1x x ≠，证明：
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+'<--2211212x x f x x x f x f .
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.
如图，AB 是圆O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是圆O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ， 交直线AD 于点F ，过点G 作圆O 的切线，切点为H .
（I ）求证：F E D C ,,,四点共圆； （II ）若4,8==GE GH ，求EF 的长.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.
已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=--=t
y t x 213231（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极
坐标系，圆C 的极坐标方程为⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-=6sin 4πθρ. （I ）求圆C 的直角坐标方程；
（II ）若()y x P ,是直线l 与圆面⎪⎭
⎫
⎝
⎛-≤6sin 4πθρ的公共点，求y x +3的取值范围. 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.
设函数()R a a x x f ∈-=,2.
（I ）若不等式()1<x f 的解集为{}31|<<x x ，求a 的值； （II ）若存在R x ∈0，使()300<+x x f ，求a 的取值范围.
12月考数学（理科） 参考答案与评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.1+错误！未找到引用源。

；
14.⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
32,32 15.5错误！未找到引用源。

； 16．错误！未找到引用源。

三、解答题
17.解：（1）5352b T T += 535432b T b b T +=++∴ 54b b =∴
11=∴a ………………………….2分
因为 ()1-2-n n na S n n = ()()()2-1-2-1-,21-1-n n a n S n n n =≥∴
()()1-4-1--,21-n a n na a n n n n =≥∴ 即2≥n 时，有
4-1-=n n a a ……………………………4分
{}n a ∴为等差数列，公差为4，首项为13-4n a n =∴ ……………………..6分
（2）
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+=+14n 1-3-4141143-4111n n n a a n n ……………………..8分
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++=
∴141-3-41.........131-9191-5151-141n n M n 4
1141-141<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
n ……………………………10分
1≥n 时，易知n M 为递增数列，51≥∴n M 即4
1
51<≤n M ………..12分
18．解：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE =. ∵AH HF =
∴ 1
2GH MF ……………………………………………1分 又∵1
,2
CD BE BE MF
∴CD GH
∴四边形CDHG 是平行四边形 ∴CG
DH ……………………………………………………2分
又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面 ∴CG
平面ADF ……………………………………………6分
（Ⅱ）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F
(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=- ……………………………………6分
设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有
20
20
n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简，得32x y z y =⎧⎨
=⎩ 令1y =，得(3,1,2)n = ……………8分 设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ，则有
7
sin n DE n DE
θ⋅=
=
⋅. ……………………12分 所以直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为7
7. 19．（本小题满分12分）
(1)设第i 组的频率为P i (i=1,2,…,8),由图可知：P 1=13000
×30=1100, P 2=1750×30=4100
1
∴学习时间少于60分钟的频率为P 1+P 2=5100 由题意：n ×5
100=5 ∴n=100………2分
又P 3=1375×30=8100, P 5=1100×30=30100, P 6=1120×30=25100, P 7=1200×30=15100, P 8=1600×30=5
100
∴P 4=1-(P 1+P 2+P 3+P 5+ P 6+P 7+ P 8)=12100
∴第④组的高度为:h=12100×130=123000=1
250
频率分布直方图如图：
（注：未标明高度1/250扣1分）………4分 （2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中， “走读生”有45人，利用时间不充分的有40人， 从而22⨯列联表如下：
将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得 ……6分 K 2
=n(n 11n 22-n 12n 21)2
n 1+n 2+n +1n +2=100×(30×10-45×15) 2
75×25×45×55 =100
33
≈3.030
因为3.030<3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关……8分
(3)由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3
P （X=i)= C i 5C 3-i
5
C 310
(i=0,1,2,3)
∴P （X=0)= C 05C 3
5C 310 =10120=112,P （X=1) =C 15C 2
5C 310 =50120=5
12
,
P （X=2)=C 25C 1
5C 310 =50120=512, P （X=3)= C 35C 0
5C 310 =10120=1
12…………………………………10分
∴X 的分布列为：
∴EX=0×112+1×512+2×512+3×112=1812=3
2……………………12分
(或由超几何分布的期望计算公式EX=n ×M N =3×510=3
2)
20.（本小题满分13分）
解：（I ）双曲线122
22=-b
y a x 的焦距722=c ，则7=c ，722=+∴b a ，①…………
1分
渐近线方程x a
b
y ±
=，由题知23tan =
=a b θ，②…………………………………………2分
由①②解得3,42
2
==b a ，∴椭圆E 的方程为
13
42
2=+y x .………………………………4分 （II ）在（I ）的条件下，当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为m kx y +=，
由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m
kx y y x 1342
2，消去y 得：()0124843222=-+++m kmx x k ， 设()()2211,,,y x Q y x P ，则
2
22122143124,438k
m x x k km x x +-=+-=+.……………………………6分 又()0,2-A ，由题知4
1
222211-=+⋅+=⋅x y x y k k AQ AP ， 则
()()2,,0422212121-≠=+++x x y y x x 且，………………………………………………7分
则()()()m kx m kx x x x x ++++++⋅212121442
=()
()()4442412
21212
+++++⋅+m x x km x x k
=
()()()044438424312
4412
2
2
2
2
=+++-+++-+m
k
km km k
m k .
则
0222=--k km m .…………………………………………………………………………9分
此时直线PQ 过点()0,2-，显然不适合题意.
当k m -=时，直线PQ 的方程为()1-=-=x k k kx y ，此时直线PQ 过点()0,1. …………………………………………………………………………………………………12分
当直线PQ 的斜率不存在时，若直线PQ 过点()0,1，Q P 、点的坐标分别是
⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1,⎪⎭
⎫
⎝⎛-23,1，满足41-=⋅AQ AP k k ，
综上，直线PQ 恒过点()0,1.…………………………………………………………………13分 21【解析】
（1）定义域为(0,)+∞
1
()ln 1ln f x x x x x
'=+⋅
=+ 令()0f x '>则1ln 1ln x e >-=∴1x e >；令()0f x '<则1ln 1ln x e <-=∴1
0x e <<
∴)(x f 的单调增区间是1(,)e +∞，单调减区间是1
(0,)e
()f x 极小值1111
()ln f e e e e ===-， )(x f 无极大值
（2）证明：不妨设21x x <，
12
(
)2
AB x x k f +'<⇔2
2111221ln ln ln 12x x x x x x x x -+<+- 121222112121ln ln ln ln 22
x x x x
x x x x x x x x ++-<-+- 21
21211212
22ln
ln x x x x x x x x x x <+-++
两边同除以1x 得，2
2122
2111
11
22
ln ln 111x x x x x x x x x x ⋅
<+-++
令
21x x t =，则1t >，即证：22
ln
ln 111t t t t t
<+-++ 令22
()ln
ln 111t g t t t t t
=--+++ 22
21212()ln
112(1)2(1)t t t g t t t t t t ++'=+⋅⋅+⋅-+++2111ln ln(1)1111
t t t t t t t t ---=+=+-++++ 令
1
(0)1
t x x t -=>+，()ln(1)h x x x =+- 1()1011x
h x x x
-'=-=<++，()h x 在(0,)+∞上单调递减，所以()(0)0h x h <=
即ln(1)x x +<，即()g t '11
ln(1)011
t t t t --=+-<++恒成立
∴()g t 在(1,)+∞上是减函数，所以()(1)0g t g <=
∴22ln ln 111t t t t t
<+-++得证 所以12
()2
AB x x k f +'<成立
22.【解析】：
（1）证明：连结DB ，∵AB 是圆O 的直径，
∴90ADB ∠=，
在
Rt ABD
∆和
Rt AFG
∆中，
A
B D ∠=∠
又∵ABD ACD ∠=∠∴ACD ∠AFE =∠ ∴,,,C D E F 四点共圆。

G
（2）∵,,,C D E F 四点共圆，∴GE GF GC GD ⋅=⋅
∵GH 是圆O 的切线，∴2GH GC GD =⋅∴2GH GE GF =⋅ 又因为6,4GH GE ==∴9GF = ∴5EF GF GE =-=
23.【解析】：（1）因为圆C 的极坐标方程为4sin()6π
ρθ=-
所以2
1
4sin()4sin cos )6
22
π
ρρθρθθ=-
=- 又2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 所以2
2
x y
+2x =-
所以圆C 的普通方程2
2
x y
+20x +-= （2）『解法1』：
设z y =
+
由圆C 的方程2
2
x y
+20x +-=
⇒22(1)(4x y ++= 所以圆C
的圆心是(-，半径是2
将112
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入z y =+得z t =-
又直线l
过(C -，圆C 的半径是2，所以22t -≤≤ 所以22t -≤-≤
+y 的取值范围是[2,2]- 『解法2』：
直线l 的参数方程化成普通方程为：23=+y x …………6分
由⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+4
)3()1(232
2y x y x ，
解得)13,31(1+--P ，)13,31(2-+-P …………8分
∵(,)P x y 是直线l 与圆面4sin()6π
ρθ≤-的公共点，
∴点P 在线段21P P 上，
∴y x +3的最大值是2)13()31(3=-++-， 最小值是2)13()31(3-=++-- ∴y x +3的取值范围是]2,2[-…………10分 24.【解析】：
由题意可得1|2|<-a x 可化为1212+<<-a x a ，
⎩⎨
⎧=+=-3
121
12a a ，解得1=a . （2）令⎩
⎨⎧<≥-=+-=+=a x a a
x a x x a x x x f x g 2,22,22|2|)()(，
所以函数x x f x g +=)()(最小值为a 2， 根据题意可得32<a ，即23<a ，所以a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∞-23,。