城市暴雨强度公式理论频率分布曲线对比分析

城市暴雨强度公式理论频率分布曲线对比分析
谢予婕;李树平;梁怿祯
【摘要】暴雨强度公式是城市雨水系统设计的重要依据.目前推求城市暴雨强度公式的主要差异来自暴雨样本选取方法和理论频率曲线类型的选择.结合现有华中某市30年的降雨资料,分别使用皮尔逊Ⅲ型分布曲线、指数分布曲线和耿贝尔分布曲线拟合,分析曲线拟合精度.结果表明对于华中某市而言,皮尔逊Ⅲ型曲线在使用中拟合精度最高,并验证我国降雨更适用皮尔逊Ⅲ型曲线这一观点.
【期刊名称】《净水技术》
【年(卷),期】2018(037)007
【总页数】5页(P103-107)
【关键词】暴雨强度公式;频率分布曲线;皮尔逊Ⅲ型曲线;指数曲线;耿贝尔曲线【作者】谢予婕;李树平;梁怿祯
【作者单位】同济大学环境科学与工程学院,上海200092;同济大学环境科学与工程学院,上海200092;同济大学环境科学与工程学院,上海200092
【正文语种】中文
【中图分类】TU991
国内暴雨强度公式的编制，就是对所在城市的气象资料统计分析，选出样本，根据不同频率的暴雨特征，形成符合当地实际情况的城市暴雨强度公式。

一般步骤为：(1)统计资料；(2)选取样本；(3)频率调整；(4)参数推求；(5)误差分析。

在计算工具和计算方法不发达时，频率曲线使用目估法调整，曲线拟合达到最优的标准因人而异；参数使用解析法或图解法推求，误差较大。

推求暴雨强度公式的误差主要来自于人为因素的干扰。

如今计算工具普及，计算方法不断发展，采用一定标准，能够唯一确定最佳拟合曲线，将推求参数的误差控制在合理范围内，使得推求暴雨强度公式的主要问题从人为因素干扰导致的误差变成了推求方法差异，主要是：(1)样本选取方法的差异；(2)理论频率曲线选择的差异。

无论是雨水规划或是管网设计，要求更高精度的城市暴雨强度公式都是无可厚非的，所以一直以来，学者们对比分析不同方法，希望找到最适合我国暴雨强度公式的推求方法。

1 主要差异
1.1 暴雨样本选取方法
暴雨样本选取方法主要有年最大值法、年超大值法、超定量法和年多个样法四种。

我国使用较多的是年最大值法和年多个样法两种，两种方法各有优缺点。

年多个样法避开了暴雨样本标准的不确定性，兼顾了各地暴雨资料年份不足的缺限，不会遗漏较大的雨样，在小重现期(T=0.25～0.5年)部分，能比较真实地反映暴雨的统计规律，但统计资料多、收集较困难。

在我国对选样方法研究不够充分、资料年份较短的年代，普遍使用年多个样法选样。

年最大值法仅选取每年雨量最大值作为基础资料，会遗漏一些数值较大的暴雨，造成小重现期部分暴雨强度明显偏小，但是方法简单，资料易得，数据独立性较好，在国外大多数国家都采用年最大值法作为暴雨的选样方法[1]。

早在上世纪六十年代就有学者指出，我国各地资料积累已大大超过年最大值法的需要，建议用年最大值法代替年多个样法。

如今，使用年最大值法作为暴雨样本选取方法已经达成共识[1-4]，在最新版本的室外排水规范(2014年版)中也规定，在有条件的地区，采用年最大值法代替年多个样法计算暴雨强度公式。

1.2 理论频率曲线类型
选择理论频率曲线的差异主要有两点：1)拟合准则不同；2)理论频率曲线类型不同。

拟合准则就是调整理论曲线，当理论曲线和经验曲线之间关系满足某个标准时，认为此理论曲线为最优拟合曲线，该标准为拟合标准。

常用准则有：概率权重矩法、绝对值和准则、离差平方和准则和相对值和准则，其中离差平方和准则即最小二乘法，是运用最广泛的拟合准则，本文使用离差平方和准则作为拟合准则。

拟合指标计算如式(1)[2]。

(1)
其中：ij—降雨强度数列中第j个降雨强度经验值；
相应于ij的暴雨强度计算值；
n—每个历时的降雨强度数据个数。

2014年版《室外排水设计规范》中年最大值法的理论频率曲线给出了皮尔逊Ⅲ型分布曲线、指数分布曲线和耿贝尔分布曲线。

至于使用这三种频率曲线中的哪一种，不同学者持不同意见，有的认为应该使用指数分布曲线[1]，有的则认为应该使用
皮尔逊Ⅲ型分布曲线[2]。

本文对比以上三种曲线，分析哪种能更好地拟合降雨强度。

2 频率曲线拟合
现有华中某市的降雨数据原始资料，使用年最大值法选样，分别使用皮尔逊Ⅲ型分布曲线、指数分布曲线和耿贝尔分布曲线拟合经验曲线，对比三种理论频率曲线的拟合程度，分析针对该市的降雨，哪种理论曲线最优。

2.1 暴雨选样
现有华中某市1976年～2005年30年的自记雨量记录，整理为历年最大降雨强
度如表1所示，具备使用年最大值法的条件，采用年最大值法计算暴雨强度公式。

降雨历时采用5、10、15、20、30、45、60、90、120、150、180 min 11个
降雨历时。

重现期采用2年、3年、5年、10年、20年、30年、50年、100年。

表1 历年最大降雨强度排序表(单位：mm/min)Tab.1 Ranked List of Maximum Precipitation Intensity over the Years(Unit:mm/min)序号
5min10min15min20min30min45min60min90min120min150min180min12．9822．1751．9461．8661．7711．4361．2600．9510．9900．9400．89 522．4842．0801．8661．8241．6011．4131．0790．8640．6480．5460．49732．2102．0301．8511．7951．5431．2331．0590．8050．6350．5 190．46642．2081．9481．8001．7771．5111．1341．0040．7480．6210．5190．44152．1061．8951．7611．6041．4851．1320．9920．7250．5 580．5080．432………………………………301．1900．9320．7430．7720．562 0．4400．3440．2310．1740．1390．127
年最大值法的经验频率计算如式(2)。

(2)
其中：m—降雨强度由大到小排列序号，m=1，2，3， (30)
n—资料年限，n=30。

2.2 暴雨频率分布曲线
2.2.1 皮尔逊Ⅲ型曲线
皮尔逊Ⅲ型分布曲线为一端有限，一端无限的不对称单峰、正偏曲线，在数学上称为伽马分布。

它有三个参数，这三个参数和统计参数均值离势系数Cv、偏态系数Cs之间存在函数关系，在理论上可以概括很多种分布曲线(包括指数分布和耿贝尔分布)，但三参拟合困难，难以达到理论精度。

皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度如式(3)。

(3)
其中：α、β、a0—分别为皮尔逊Ⅲ型分布曲线的形状尺度和位置参数，α>0、β>0、a0<x<∞;
Γ(α)—α的伽马分布，
e-xdx。

α、β、a0和统计参数均值、离势系数Cv、偏态系数Cs的关系如式(4)～式(5)。

(4)
(5)
(6)
拟合皮尔逊Ⅲ型分布曲线的具体做法是：根据式(7)～式(9)确定的初始值。

(7)
(8)
(9)
绘制理论频率曲线，已知经验频率P和偏态系数Cs值，根据离均系数Φ表(表2)，可得相应离均系数Φ，根据式计算理论暴雨强度，代入式(1)计算离差平方和[5]。

表2 离均系数Φ表Tab.2 Coefficient Φ of Diviation
MeanCsP3%5%10%25%50%75%90%95%97%0．001．881．641．280．67
0．00-0．67-1．28-1．64-1．180．051．901．651．280．66-0．01-0．68-1．28-1．63-1．860．101．921．671．290．66-0．02-0．68-1．27-1．61-1．840．151．941．681．300．66-0．02-0．68-1．26-1．60-1．820．201．961．701．300．65-0．03-0．69-1．26-1．58-1．790．251．981．711．300．64-0．04-0．70-1．25-1．56-1．77…………………………6．402．411．510．51-0．21-0．31-0．31-0．31-0．31-0．31
与经验频率曲线比较，不断调整Cv、Cs，直至理论频率曲线与经验频率曲线的离差平方和最小，即曲线拟合最佳。

此时的理论曲线为最佳拟合曲线，离差平方和为皮尔逊Ⅲ型分布曲线的拟合指标值。

拟合所得不同降雨历时下的皮尔逊Ⅲ型曲线如图1所示，参数及均方差如表3所示。

图1 不同降雨历时皮尔逊Ⅲ型拟合曲线Fig.1 Pearson Type III Curve of Different Rainfall Duration
表3 不同降雨历时皮尔逊Ⅲ型拟合曲线参数及均方差Tab.3 Pearson Type III Curve Fitting Parameters and Mean Square Deviation of Different Rainfall Duration降雨历时/min xCvCs均方差51．83830．22001．00000．0804101．52540．23000．17000．0315151．37090．26000．04000．0410201．25260．29000．55000．0576301．062 60．32000．60000．0473
(续表)降雨历时/min xCvCs均方差40．84660．34001．10000．0407600．71290．35000．90000．0345900．54410．35000．68000．01751200．44800．37001．40000．04271500．3 8530．40001．85000．05211800．34190．44002．32000．0521
使用皮尔逊Ⅲ型分布曲线拟合华中某市降雨强度分布时，均值随降雨历时的增大而
减小，离势系数Cv随降雨历时的增大而增大，偏态系数Cs与降雨历时无线性关系，均方差最大为0.080 4，最小为0.017 5。

2.2.2 指数曲线
指数分布曲线呈高偏态乙形分布，其实质是皮尔逊Ⅲ型曲线在Cs=2时的特例，降雨强度与重现期在半对数纸上呈直线，是双参数公式，计算简易[6]。

指数曲线如式(10)。

X+algT+b
(10)
其中：X—定历时的降雨强度，mm/min；
a—离散程度系数；
b—分布曲线的下限；
T—重现期，a。

已知降雨强度和相应经验频率，按照离差平方和，即最小二乘法的拟合准则，推求参数a和b的最佳值。

拟合所得不同降雨历时下的指数曲线如图2所示，参数及均方差如表4所示。

图2 不同降雨历时指数拟合曲线Fig.2 Exponential Curve of Different Rainfall Duration
表4 不同降雨历时指数拟合曲线参数及均方差Tab.4 Exponential Curve Fitting Parameters and Mean Square Deviation of Different Rainfall Duration降雨历时/minab均方差50．96943．37920．1052100．85052．87730．1143150．83142．69240．1289200．87602．64500．1149300．83992．39750．0905450．70721．9 7070．0638600．60261．67060．0584900．45791．27190．04471200．4 0441．09080．04491500．36250．96140．05171800．34670．89290．06
71
使用指数分布曲线拟合华中某市降雨强度分布时，参数a随降雨历时的增大而减小，参数b随降雨历时的增大而减小，均方差最大为0.1289，最小为0.0447。

2.2.3 耿贝尔曲线
耿贝尔分布曲线是偏态铃形分布，降雨强度与重现期在耿贝尔纸上呈现直线[7]。

耿贝尔曲线分布函数如式(11)。

F(x)=exp(-exp(-a(x-u)))
(11)
其中：a—耿贝尔曲线的尺度参数，a>0；
u—耿贝尔曲线的位置参数。

重现期为T时，暴雨强度XR如式(12)。

(12)
已知降雨强度和相应经验频率，按照离差平方和，即最小二乘法的拟合准则，推求参数a和u的最佳值。

拟合所得不同降雨历时下的耿贝尔曲线如图3所示，参数及均方差如表5所示。

图3 不同降雨历时耿贝尔拟合曲线Fig.3 Gumbel Curve of Different Rainfall Duration
表5 不同降雨历时耿贝尔拟合曲线参数及均方差Tab.5 Gumbel Curve Fitting Parameters and Mean Square Deviation of Different Rainfall Duration降雨历时/minau均方差53．08891．66470．0728103．44241．36960．0635153．49401．21740．0801203．37351．09360．0754303．55200．91160．0561454．26240．7 2080．0438604．98000．60520．0374906．50500．46160．02021207．4
9570．37650．03951508．41170．32150．05011808．85070．28130．05 13
使用耿贝尔分布曲线拟合华中某市降雨强度分布时，参数a随降雨历时的增大而
增大，参数u随降雨历时的增大而减小，均方差最大为0.080 1，最小为0.020 2。

3 频率曲线对比分析
华中某市降雨情况的三种拟合曲线均方差对比如表6所示。

表6 不同拟合曲线均方差对比Tab.6 Comparison of Different Fitting Curves
for Mean Square Deviation降雨历时/min皮尔逊Ⅲ型曲线指数曲线耿贝尔曲线50．08040．10520．0728100．03150．11430．0635150．04100．12890．0801200．05760．11490．0754300．04730．09050．0561450．04070．0 6380．0438600．03450．05840．0374900．01750．04470．02021200．0 4270．04490．03951500．05210．05170．05011800．05210．06710．05 13
共11个降雨历时，皮尔逊Ⅲ型曲线最优的有7个；指数曲线作为皮尔逊Ⅲ型曲线的特例，最优的有0个；耿贝尔曲线最优的有4个。

综合来看，在5～90 min降雨历时下，皮尔逊Ⅲ型曲线优于耿贝尔曲线，在120～180 min降雨历时下，耿
贝尔曲线优于皮尔逊Ⅲ型曲线。

对于华中某市的降雨强度分布，建议采用皮尔逊Ⅲ型曲线拟合。

对于全国降雨情况而言，邓培德学者认为，虽然指数曲线牺牲了一定拟合精度，但因其计算简便的优点，而推荐使用指数曲线拟合降雨强度[1]。

从理论上来说，皮
尔逊Ⅲ型曲线是三参数模型，指数曲线是二参数模型，是Cs=2时皮尔逊Ⅲ型曲线的特例，一般来说，三参数模型的拟合精度应该高于二参数模型。

全国270个地区，仅有70个地区的拟合曲线Cs在1.8～2.2[2]，即对于全国大部分地区降雨而言，皮尔逊Ⅲ型曲线是优于指数曲线的。

本文通过拟合华中某市的暴雨强度曲线，
对比分析皮尔逊Ⅲ型曲线和指数曲线的拟合精度度，验证了皮尔逊Ⅲ型曲线拟合我国降雨情况精度较指数曲线更高这一观点。

4 结论
通过对比分析华中某市降雨强度分布频率曲线，可以得到以下结论。

(1)对于华中某市降雨而言，在短降雨历时的时候，皮尔逊Ⅲ型曲线拟合精度最佳；在长降雨历时的时候，耿贝尔曲线拟合精度最佳。

综合看来，皮尔逊Ⅲ型曲线最符合华中某市降雨情况。

(2)对于全国降雨情况而言，不同城市，甚至不同降雨历时的暴雨强度分布差异较大，难以保证Cs在1.8～2.2，而Cs离范围越远，曲线拟合精度越差，因此推荐
皮尔逊Ⅲ型曲线作为拟合曲线。

(3)离均系数的有效位数和精度是影响皮尔逊Ⅲ型曲线拟合精度的主要因素，可以
通过提高离均系数的有效位数和精度来改进皮尔逊Ⅲ型拟合曲线。

参考文献
【相关文献】
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