山东省冠县武训高级中学高考数学 6.3 等比数列及其前n

山东省冠县武训高级中学2014高考数学 6.3 等比数列及其前n 项和
复习训练
一、选择题
1.2＋1与2－1两数的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1
D.1
2
解析：设等比中项为x ，
则x 2
＝(2＋1)(2－1)＝1，即x ＝±1. 答案：C
2．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )． A ．X ＋Z ＝2Y B ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )
C ．Y 2＝XY
D ．Y (Y －X )＝X (Z －X )
解析 (特例法)取等比数列1,2,4，令n ＝1得X ＝1，Y ＝3，Z ＝7代入验算，选D. 答案 D
3．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n
，则公比为( )． A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
解析 由a n a n ＋1＝a 2
n q ＝16n
＞0知q ＞0，又a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2＝16n ＋1
16
n ＝16，∴q ＝4.
答案 B
4．等比数列{a n }中，a 2＝3，a 7·a 10＝36，则a 15＝( )
A ．12
B ．－12
C ．6
D ．－6
解析 由等比数列的性质，有a 2·a 15＝a 7·a 10＝36，则a 15＝36
a 2
＝12，故选A .
答案 A
5．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2
－1
5
，则实数t 的值为( )． A ．4
B ．5
C.4
5
D.15
解析 ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列知⎝ ⎛⎭
⎪⎫45t 2
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫15t －15·4t ，显然t ≠0，所以t ＝5.
答案 B
6. 已知{}
n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）
A ．7
B ．5
C ．-5
D ．-7
解析 472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-
答案 D
7．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2
－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n ＝( )．
A.3
2 B.32或2
3
C.2
3
D ．以上都不对
解析 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2
－mx ＋2)(x 2
－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a ＜c ＜d ＜b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝9
2
，n ＝
c ＋
d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92
， 则m n ＝32或m n ＝2
3
. 答案 B 二、填空题
8．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．
解析 设a 2＝t ，则1≤t ≤q ≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3
，由于t ≥1，所以q ≥max{t ，t ＋1，3t ＋2}故q 的最小值是33. 答案
33
9．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________. 解析 由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝4n －1
.
答案 4
n －1
11．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 2
7＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.
解析 由题意可知，b 6b 8＝b 2
7＝a 2
7＝2(a 3＋a 11)＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16. 答案 16
12．已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *
)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.
解析 由lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *
)得lg x n ＋1－lg x n ＝1，∴
x n ＋1
x n
＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，∴x n ＋100＝x n ·10100
，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100
(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)＝10100
，∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg 10100
＝100. 答案 100 三、解答题
13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.
解析 (1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1
，
又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2
n －2
(2－1)＝2
n －2
.
∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1 n ＝1，2n －2
n ≥2.
(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝
21－4n
1－4
＝24n
－13
.
∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n
－13＝22n ＋1
＋1
3.
14．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝1
3.
(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n
2
；
(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．
解析 (1)证明 因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n
2
.
(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－
n n ＋1
2
.所以{b n }的通项公式为
b n ＝－n n ＋12
.
15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 解析 (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，
∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴
a n ＋1－1a n －1＝1
2
，∴{a n －1}是等比数列． ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1. ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12.
又c n ＝a n －1，
∴{c n }是以－12为首项，公比为1
2
的等比数列．
(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
，
∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
.
∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n .
又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n .
16．已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，
b 3－a 3＝3.
(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．
解析 (1)设数列{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2
，由
b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)．
即q 2
－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)
n －1
或a n ＝(2－2)
n －1
.
(2)设数列{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2
＝(1＋a )(3＋aq 2
)，得aq 2
－4aq ＋3a －1＝0(*)， 由a ＞0得Δ＝4a 2
＋4a ＞0，故方程(*)有两个不同的实根． 由数列{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝1
3
.。