2014届高考数学一轮知识点各个击破空间点、直线、平面间的位置关系课时跟踪检测文新人教A版

空间点、直线、平面间的位置关系
1．(2013·杭州模拟)若a ，b ，c ，d 是空间四条直线．如果“a ⊥c ，b ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥d ”，则( )
A ．a ∥b 且c ∥d
B ．a ，b ，c ，d 中任意两条可能都不平行
C ．a ∥b
D ．a 与b ，c 与d 中至少有一对直线互相平行
2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面
3.设四棱锥P －ABCD 的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )
A ．不存在
B ．只有1个
C ．恰有4个
D ．有无数多个
4．(2012·广州模拟)在正四棱锥V －ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA 与BD 所成角的大小为( )
A.π
6 B.π4
C.
π
3
D.π2
5.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，
EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．(2012·重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )
A ．(0，2)
B ．(0，3)
C ．(1，2)
D ．(1，3)
7．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和
GH 不相交，则甲是乙成立的________条件．
8.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE 与CF 异面；②直线BE 与AF 异面；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD .
其中正确的有________个．
9.如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E ，F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是________．
10．已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 的中点．
(1)求证：BC 与AD 是异面直线； (2)求证：EG 与FH 相交．
11.如图所示，正方体ABCD －A
1B 1C 1D 1中，A 1C 与截面DBC 1交于O 点，AC ，BD 交于M 点，求证：C 1，O ，M 三点共线．
12.(2012·许昌调研)如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊1
2
FA ，G ，H 分别为FA ，
FD 的中点．
(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？
1．将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到四面体ABCD (如图2)，则在四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )
A ．相交且垂直
B ．相交但不垂直
C ．异面且垂直
D ．异面但不垂直
2．(2012·哈尔滨模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．
3．(2012·池州模拟)正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且AE ＝2EB ，CF ＝2FD ，将直角梯形AEFD 沿EF 折起到A ′EFD ′的位置，使点A ′在平面ABCD 上的射影G 恰好落在BC 上．
(1)判断直线AA ′与DD ′的位置关系，并证明； (2)证明平面A ′AE ⊥平面A ′BC . [答 题 栏]
答 案
课时跟踪检测(四十二)
A 级
1．D 2.B 3.D 4.D
5．选C AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中如图所示，显然AB 与
CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH
相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有三对．
6．选A 如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a >0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫222
＝22，显然A
，
B ，E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×
2
2
>a ，解得0<a < 2. 7．解析：E ，F ，G ，H 四点不共面时，EF ，GH 一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E ，F ，G ，H 四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF ，GH 不相交，含有
EF ，GH 平行和异面两种情况，当EF ，GH 平行时，E ，F ，G ，H 四点共面，故乙不能推出甲．即
甲是乙的充分不必要条件．
答案：充分不必要
8．解析：如图，易得EF ∥AD ，AD ∥BC ，
∴EF ∥BC ，即B ，E ，F ，C 四点共面，则①错误，②正确，③正确，④不一定正确．
答案：2
9．解析：取CB 的中点G ，连接EG ，FG ， ∴EG ∥AB ，FG ∥CD .
∴EF 与CD 所成角即为∠EFG . 又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG ， 在Rt △EFG 中，EG ＝1
2
AB ＝1，
FG ＝12
CD ＝2，
∴sin ∠EFG ＝12.∴∠EFG ＝π
6.
∴EF 与CD 所成的角为π
6.
答案：π6
10．证明：(1)假设BC 与AD 共面，不妨设它们所共平面为α，
则B 、
C 、A 、
D ∈α.
所以四边形ABCD 为平面图形，这与四边形ABCD 为空间四边形相矛
盾．所以BC 与AD 是异面直线．
(2)如图，连接AC ，BD ，则EF ∥AC ，HG ∥AC ，因此EF ∥HG ；同理EH ∥FG ，则EFGH 为平行四边形．
又EG 、FH 是▱EFGH 的对角线， 所以EG 与HF 相交．
11．证明：∵C 1∈平面A 1ACC 1， 且C 1∈平面DBC 1.
∴C 1是平面A 1ACC 1与平面DBC 1的公共点． 又∵M ∈AC ，∴M ∈平面A 1ACC 1. ∵M ∈BD ，∴M ∈平面DBC 1，
∴M 也是平面A 1ACC 1与平面DBC 1的公共点，
∴C 1M 是平面A 1ACC 1与平面DBC 1的交线． ∵O 为A 1C 与截面DBC 1的交点， ∴O ∈平面A 1ACC 1，O ∈平面DBC 1， 即O 也是两平面的公共点，
∴O ∈直线C 1M ，即C 1，O ，M 三点共线． 12．解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，
FH ＝HD ，
所以GH 綊12AD .又BC 綊1
2AD ，
故GH 綊BC .
所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下： 由BE 綊1
2
AF ，G 是FA 的中点知，
BE 綊GF ，
所以EF 綊BG .
由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC ，FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．
B 级
1．选C 在图1中的等腰直角三角形ABC 中，斜边上的中线AD 就是斜边上的高，则AD ⊥BC ，翻折后如图2，AD 与BC 变成异面直线，而原线段BC 变成两条线段BD ，CD ，这两条线段与AD 垂直，即AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，故AD ⊥平面BCD ，
所以AD ⊥BC .
2．解析：正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线
需为面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A ′B ，BC ′，A ′D ，C ′D ，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄
金异面直线对共有12×4
2
＝24对(每一对被计算两次，所以要除以2)．
答案：24
3．解：(1)AA ′∥DD ′，
设直线AD 与EF 相交于点O ，翻折后直线A ′D ′仍过O 点，
∴A ，A ′，D ，D ′四点共面于平面OAA ′. 又FD ∥AE ，FD ⊄平面A ′AE ，
AE ⊂平面A ′AE ，
∴FD ∥平面A ′AE .
同理，FD′∥平面A′AE，而FD∩FD′＝F，∴平面DFD′∥平面A′AE.
又平面OAA′∩平面DFD′＝DD′，
平面OAA′∩平面A′AE＝AA′，
∴AA′∥DD′.
(2)∵A′G⊥平面ABCD，
∴A′G⊥AB.
又AB⊥BC，BC∩A′G＝G，
∴AB⊥平面A′BC.
又AB⊂平面A′AE，
∴平面A′AE⊥平面A′BC.。