例谈“似缺条件型问题”的处理策略

例谈“似缺条件型问题”的处理策略
北京理工大学附属中学　闫宏玉
北京理工大学附属中学　何拓程
在数学解题过程中，
我们常常会遇到这样的情形：按常规思路分析，似乎缺少已知条件，让人感到无从下手，甚至百思不得其解，怎样才能打破这种“山穷水尽”的局面，进入“柳暗花明”的意境？究其原因在于未能真正理解问题中所隐含的数学本质，本文介绍几种常用的处理策略，以期有助于达到数学理解的境界．
一、整体处理
有些似缺条件型问题，运用整体思维的方法来处理，可以不必求出题目中的各个未知量，而使问题从图１
整体上予以突破，获得解决．
例１　如图１
，长方体犃犅犆犇 犃１犅１犆１犇１的体积是
１２０，犈为犆犆１的中点，
则三棱锥犈 犅犆犇的体积是
．分析：这是２０１９年全国统
一高考数学试卷（
理科）（江苏）第９题．为求三棱锥犈 犅犆犇的体积，常规思路需要知道长方体的长、宽、高，但题目只给了体积一个条件，如果要求三个未知量，显然似乎缺少条件，由此，陷入了解题困境．如果注意到两个体积之间的内在关系，从整体上入手，可越过思维障碍，突破解题难关．
解：因为长方体犃犅犆犇 犃１犅１犆１犇１的体积为１２０，所以犃犅·犅犆·犆犆１＝１２０．因为犈为犆犆１的中点，所以犆犈＝１２犆犆１，
由长方体的性质知犆犆１⊥底面犃犅犆犇，所以犆犈是三棱锥
犈 犅犆犇的底面犅犆犇上的高．
故三棱锥犈 犅犆犇的体积犞＝１３×１
２
犃犅·犅犆·
犆犈＝１３×１２犃犅·犅犆·１２犆犆１＝１１２×１２０＝１０．
二、特值探路
有些似缺条件型问题，如果首先考虑其极端状态，运用特殊情形进行试探，常常有助于我们找到解题的突破口，使问题顺利获解．
例２　在平面直角坐标系狓犗狔中，犘是曲线狔＝狓＋
４
狓
（狓＞０）上的一个动点，则点犘到直线狓＋狔＝０的距离的最小值是．
分析：本题是２０１９年全国统一高考数学试卷（理科）（江苏）第１０题．常规解法用点狓＋４
狓
，狔（）
（狓＞０）到直线狓＋狔＝０的距离求解，困难重重，似乎缺少条件．如果运用极端性原理，考虑动点任意性，要求的是极端状态下的情形，可将原问题转化为切点与直线之间的距离．
解：当直线狓＋狔＝０平移到与曲线狔＝狓＋４
狓
（狓＞０
）相切位置时，点犘到切点犙的距离即为点犘到直线狓＋狔＝０的距离的最小值．
由狔′＝１－４
狓２＝－１，得狓＝槡２（－槡２舍去），狔＝
槡３２，即切点犙（槡２，槡３２），则切点犙到直线狓＋狔＝０的距离为槡２＋槡３２
１２＋１槡２
＝４，故答案为：４．类似的，２０１９年全国统一高考数学试卷（理科）（浙江）第８题：设三棱锥犞 犃犅犆的底面是正三角形，侧棱长均相等，犘是棱犞犃上的点（不含端点），记直线犘犅与直线犃犆所成角为α，直线犘犅与平面犃犅犆所成角为β，二面角犘 犃犆 犅的平面角为γ，则（ ）．Ａ．β＜γ，α＜γ Ｂ．β＜α，β＜γ
２０２０年３月 解法探究
教学
参谋
基金项目：本文系北京市教育科学“十三五”规划２０１６重点课题“基于理解的高中数学教学设计的行动研究（课题编号：ＣＡＤＡ１６０４４
）”的研究成果之一．
Ｃ．β＜α，
γ＜α Ｄ．α＜β，γ＜β分析：本题从表面上看，只有一个底面是正三角形，侧棱长均相等的条件，明显是条件不足，按常规难以理出解题头绪．但是，考虑犘是棱犞犃的中点也必成立，解题的思维方向就确定了．
解：取犞 犃犅犆为正四面体，犘为犞犃的中点，易得ｃｏｓα＝
槡３６ ｓｉｎα＝
槡３３６
，ｓｉｎβ＝
槡２３，ｓｉｎγ＝
槡２２３
．故选
Ｂ．三、变换主元
有些似缺条件型问题，涉及的参数较多，难以找到解题的最佳入口，确定主元，是行之有效的办法，在同一个题目中有时还要根据情况不同，调整主元，以期达到解决问题的目的．
例３　已知犪∈犚，
函数犳（狓）＝犪狓３－狓，若存在狋∈犚，使得犳（狋＋２）－犳（
狋）≤２
３
，则实数犪的最大值是．
分析：本题是２０１９年全国统一高考数学试卷（理科）（浙江）第１６题．常规思路由于参数太多，无从下手，同时还是一个存在性命题，似乎缺少条件，但是，
先把犳（狋＋２）－犳（狋）＝２犪（３狋２＋６狋＋４）－２中的狋∈
犚作为主元，令犿＝３狋２
＋６
狋＋４，将犿作为主元进行研究
，通过绘制函数图像，就可观察得解．
图２
解：使得犳（狋＋２）－犳（狋）＝
犪［２·（狋＋２）２＋狋（狋＋２）＋狋２
）］－２＝２犪（３狋２
＋６狋＋４）－２
．令犿＝３狋２
＋６
狋＋４∈［１，＋∞）
，则原不等式转化为存在犿≥１，犪犿－１≤１
３为折线函
数，如图２．只需犪－１≤１３，即犪≤４３
，即犪的最大值是４
３
．四、构造函数
有些似缺条件型问题，变量多，条件杂，不容易找到解题的突破口，
如果有意识构造新的函数，利用函数的性质（特别是单调性），可使得问题顺利解决．
例４　已知减函数犳（狓）的定义域是实数集犚，犿，狀都是实数．如果不等式犳（犿）－犳（狀）＞犳（
－犿）－犳（－狀）成立，那么下列不等式成立的是（ ）
．Ａ．犿－狀＜０ Ｂ．犿－狀＞０Ｃ．犿＋狀＜０
Ｄ．犿＋狀＞０
分析：从题目的条件看，这是一个抽象函数，而且变量较多，
正常的解法无法下手，似乎条件不足，但是将犉（狓）＝犳（
狓）－犳（－狓）看成新函数，研究其性质，问题立即解决．
解：设犉（狓）＝犳（狓）－犳（－狓），由于犳（狓）是犚上的减函数，所以犳（－狓）是犚上的增函数，－犳（
－狓）是犚上的减函数，所以犉（狓）
是犚上的减函数，所以当犿＜狀时，有犉（犿）＞犉（狀），即犳（犿）－犳（－犿）＞犳（狀）－犳（－狀）成立．因此，当犳（犿）－犳（狀）＞犳（－犿）－犳（
－狀）成立时，不等式犿－狀＜０一定成立．故选Ａ．五、巧用性质
有些似缺条件型问题，其所缺少的条件可能包含在某些数学性质之中，只要我们注意从观察问题的条件和结论入手，去联想有关性质，然后运用这些性质，僵局便可打破，解决问题的坦途立即呈现于眼前．
例５　已知函数犳（
狓）＝犪ｓｉｎ狓＋犫ｌｎ１－狓
１＋狓
＋狋，若犳
１２（）＋犳－１
２
（）
＝６，则实数狋＝（ ）
．Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．３分析：本题三个参数，只有一个条件，通过常规的
方法求解犪，犫是不可能的，似乎缺少条件，怎么办？联想到犳
１２（）和犳－１
２
（）的对称性，很容易从函数奇偶性的角度入手，
可得以下解法．解：令犵（狓）＝
犪ｓｉｎ狓＋犫ｌｎ１－狓
１＋狓
，易知犵（狓）为奇函数，所以犵
１２（）＋犵－１
２
（）
＝０，则由犳（狓）＝犵（
狓）＋狋，得犳１２（）＋犳－１２（）＝犵１２（）＋犵－１２
（）＋２狋＝２狋＝６，解得狋＝３．
故选Ｄ．六、挖掘隐含
有些似缺条件型问题，其缺少的条件常常隐含在题设的背后，这时，从题目的结构特征、数据特征、图形特征以及概念的本质牲、定理的适用范围等方面挖掘出隐含条件，问题即可迎刃而解．
例６　设犳（狓）＝ｓｉｎω狓＋π５
（）
（ω＞０
），已知犳（
狓）在［０，２π］有且仅有５个零点，下述四个结论：①犳（
狓）在（０，２π）有且仅有３个极大值点；②犳（
狓）在（０，２π）有且仅有２个极小值点；③犳（
狓）在０，π１０
（）
单调递增；（下转第８４页
）
二、六大核心素养之间的差异性比较
分析
课题组对本校高二年级１
４个平行教学班共计７５６名学生作为样本空间进行了检测，得到１６８项指
标详细的样本数据（略），在此基础上统计出六大素养原始数据的均值如下图
：
（１
）学生对数学应用类核心素养即数据分析素养和数学建模素养掌握的较好．分析其原因主要有三个因素，一是现行的高中数学大纲和教材非常重视对学生生活实际应用能力的培养，在教学计划中安排了较大比重的课时进行教学．二是教师的教育教学理念都有了很大改变，注重培养学生用数学知识和方法解决实际问题的能力，利用研究性课的教学形式培养学生的数据分析和数学建模素养．三是由于数据分析和数学建模本身所用到的数学知识比较基本，都是高中数学中通识性知识点，学生的思维难度不大，只要正确理解数学建模思维程序的几个环节，都能够熟练掌握．
（２
）学生对数学变形类核心素养即数学运算素养和逻辑推理素养掌握成中位状态．一方面，数学运算与逻辑推理素养的培养是贯穿于日常数学课堂的基本要求和训练重点，
一切数学活动都是建立在逻辑推理与数学运算基础上的变形过程，没有数学运算就没有数学发现，没有逻辑推理就没有严谨的数学．另一方面，即使这样反复强化训练，学生的逻辑推理素养和数学运算素养仍处在中等程度，
说明学生的逻辑推理素养和数学运算素养还要持之以恒巩固训练，在数学运算训练时要重视其准确性和恒等变形，熟练数学运算的基本方法，
重视含字母的数学变形运算和分类讨论的严谨训练；在逻辑推理方面要强化逻辑推理的思维方法教学，熟练掌握综合法和分析法在逻辑推理中的运用，重视归纳推理、类比推理和演绎推理的训练，灵活运用四种命题之间的转换关系进行逻辑推理
训练．
（３
）学生对数学思维类核心素养即数学抽象素养和直观想象素养掌握得较差．分析其原因主要表现在，一是数学抽象和直观想象本身是抽象性、概括性很强的素养，其表示形式往往都脱离了具体实物对象，而用抽象的数学符号或数学模型表示是思维的高级活动，难度明显增大．二是数学抽象素养和直观想象素养的形成必须建立在扎实的数学基本功之上，并且要有较强的数学思维能力，而数学思维能力的培养又是一个循序渐进的过程，不可能立竿见影．三是学生的数学认知水平和学习品质也参差不齐，教师对学生的能力培养有不同层次的要求，部分学生对数学抽象素养和直观想象素养掌握较差是一种客观现象．犠
檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯
（上接第７０页） ④ω的取值范围是
１２５，２９
１０
［）
．其中所有正确结论的编号是（ ）
．Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．①②③ Ｄ．①③④分析：本题为２０１９年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）第１２题．由于ω未知，因此，其周期也不清楚，图像也难以画出，似乎缺少条件．但是仔细分析题设条件中“有且仅有５个零点”，挖掘出隐含条件５π≤２πω＋
π５
＜６
π，解题的思路便明朗了．解：当狓∈［０，２π］时，ω狓＋π５∈π５［，２πω＋
π５］
，因为犳（狓）在［０，２π］有且仅有５个零点，所以５π≤
２πω＋π５＜６
π，所以１２５≤ω＜２９１０
，故④正确，由５π≤２πω＋π５＜６π，知ω狓＋π５∈π５，２πω＋π５
［］
时，令ω狓＋
π５＝π２，５π２，９π２
时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是２个也可能是３个，②不
正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到
答案，当狓∈０，π１０（）
时，ω
狓＋π５∈π５，（ω＋２）π１０［］
，若犳（狓）
在０，π１０
（）
单调递增，则（ω＋２）π１０＜π２，即 ＜３
，因为１２５≤ω＜２９１０
，故③正确．故选Ｄ．犠。