湖北省荆门市2011-2012学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教A版

荆门市2011—2012学年度期末质量检测考试
高 二 数 学（理）
注意：
1、全卷满分150分，考试时间120分钟.
2、考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校等填写在答题卡指定位置；交卷时只交答题卡.
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将选项代号填涂在答题卡上相应位置. 1．已知复数21i
z i
=
+，则2z 等于 A ．2i B ．-2i
C ．-2-2i
D ．-2 + 2i
2．若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为 A ．-2
B ．2
C ．-4
D ．4
3．“2
540x x -+<”是“21x -<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 A ．(,1][4,)-∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞
C ．[]1,2
D ．(,1][2,)-∞+∞
5．设x >0,y >0,M =y
x y x +++1，N =11x y
x y +
++,则M ，N 的大小关系是
A. M =N
B. M <N
C. M >N
D. 不能确定
6．一质点运动时速度与时间的关系为2)(2
+-=t t t v ，质点作直线运动，则此物体在时间
[]2,1内的位移为
A ．
6
17
B ．
314 C ．6
13 D ．
6
11
7．凸n 边形有)(n f 条对角线，则凸n +1边形的对角线的条数)1(+n f 等于
A ．1)(++n n f
B ．n n f +)(
C ．1)(-+n n f
D ．2)(-+n n f
8．椭圆22
1164
x y +=上的点到直线20x y ++=的最大距离是
A ．3
B ．11
C ．22
D ．10
9．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=f ，当0>x 时有2
()()
0x f x f x x
'->，则不等式()0x f x >的解集为
A ．(1,0)-
B ．(1,0)
(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞
10．椭圆22
12516
x y +=的左、右焦点分别为12,F F ,弦AB 过1F ，若△2ABF 的内切圆周长为π，
A 、
B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则21y y -的值为
B.
103
C.
203 D.53
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
11．双曲线2
2
91x y -=-的渐近线方程为 ▲ . 12. 如图，曲线()y f x =在点(5,(5))P f 处的切线方程是
8y x =-+，则(5)f +(5)f '= ▲ ．
13．5个人各拿一只水桶到水龙头旁等待接水，如果水龙头注满
这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，
10分钟，5分钟，如果要将所有的水桶都装满，则他们等待的总时间最少为 ▲ 分钟．
14．在ABC ∆中，不等式
1119
A B C π
++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式 1111162A B C D π+++≥
成立；在五边形ABCDE 中，不等式1111125
3A B C D E π
++++≥成立……，依此类推，在n 边形n A A A 21中，不等式
1211
1
n
A A A ++≥ ▲ 成立。

15．已知)0,1(),0,1(
B A -,设),(y x M 为平面内的动点，直线AM ，BM 的斜率分别为,1k ,2k ①若
,22
1
=k k 则M 点的轨迹为直线3x =-（除去点(3,0)-） ②若221-=⋅k k ，则M 点的轨迹为椭圆122
2
=+y x （除去长轴的两个端点） ③若221=⋅k k ，则M 点的轨迹为双曲线1222
=-y x ④若221=+k k ，则M 点的轨迹方程为：x x y 1
-=（1±≠x ）
⑤若221=-k k ，则M 点的轨迹方程为：12
+-=x y （1±≠x ）
第12题图
上述五个命题中，正确的有 ▲ （把所有正确命题的序号都填上）.
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，将答案写在答题卡指定区域内，写出必要的文字说明、演算或证明步骤.
16．（本小题满分12分） 已知p ：{}
2|230,,A x x x x R =--∈≤
q ：{}22|290,,B x x mx m x R m R =-+-∈∈≤．
（Ⅰ）若[]1,3A
B =,求实数m 的值；
（Ⅱ）若p 是q ⌝的充分条件，求实数m 的取值范围．
17．（本小题满分12分）已知+
∈R b ,a ,试证：22a b a b b a ++≥；并求函数x
x x x y -+
-=1)1(22（01x <<）的最小值.
18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，SA ⊥平面
ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1．
（Ⅰ）求SC 与平面ASD 所成的角余弦； （Ⅱ）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦．
19．（本小题满分12分）如图，从边长为a 2的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x 的
小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x 与底面正方形的边长的比不超过常数t ，问：x 取何值时，长方体的容积V 有最大值？
20．（本小题满分13分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半
径的圆与直线60x y -+=相切，直线:4l x my =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. 第19题图
第18题图
D
C
B
A S
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求OA OB ⋅的取值范围；
（Ⅲ）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点.
21．（本小题满分14分）设函数()(1)ln(1)(1).f x x x x x =-++>-
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）证明：当0n m >>时，(1)(1)m n n m +<+；
（Ⅲ）证明：当2012n >，且123,,,x x x …，n x +∈R ，1231n x x x x +++
+=时，
(1)222
312123111x x x x x x ++++++ (21)
11n n x x n
+++≥ (2) 222312123(111x x x x x x ++++++ (1122012)
1))12013
n n n x x ++＞(.
荆门市2011—2012学年度期末质量检测考试
高二数学（理）参考答案及评分标准
命题：龙泉中学 张建军 审校：方延伟 李永华
一．选择题(每小题5分，共50分)
ADBAB ACDBD
二、填空题(每小题5分，共25分)
11. 03=±y x 12. 2 13.84 14. π
)2(2
-n n 15. ①④⑤
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．（Ⅰ）{}|13,,A x x x R =-∈≤≤ ……………………………………………2分
{}|33,,B x m x m x R m R =-+∈∈≤≤, ………………………………4分
[]1,3A
B = ∴4m =……………………………………………………6分
（Ⅱ）
p 是q ⌝的充分条件, ∴R A B ⊆, …………………………………………8分
∴6m >或4m <-．………………………………………………………………12分
17.证法1：（作差法）
ab b a b a ab ab b a b a b a a b b a )()()(2223322+-=--+=+-+
……………6分
又∴>>,0,0b a 2()()
0,a b a b ab
-+≥当且仅当a =b 时等号成立，
∴22
a b a b b a ++≥……………………………………………………………………8分
证法2：（柯西不等式）,0,0>>b a 由柯西不等式：
2
222
2
222()()(),8a b a b b a a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡
⎤++=+++⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯≥当且仅当时等号成立，即证 分
证法3：（重要不等式）223322
222
()()2()a b a b a b a b a b ab a b b a b a ++=+++++=+≥
∴22,a b
a b b a ++≥当且仅当a =b 时等号成立．
…………………………8分
由上式可知：22(1)1
(1)1,112
x x y x x x x x x x -=
+-+===-≥当且仅当-即时等号成立……12分 18. （Ⅰ）如图建系，S (0,0,2), C (2,2,0), D (1,0,0),2,2,2(-=SC AB SAD ⊥平面，故平面ASD 的一个法向量为)0,2,0(=AB ………………3分设SC 与平面ASD 所成的角为θ
则3
3sin =
=
AB SC θ 故36
cos =
θ，即SC 与平面ASD 所成的角余弦为3
6………………………6分 （Ⅱ）平面SAB 的一个法向量为),0,0,1(=m
),2,0,1(),2,2,2(-=-=SD SC 设平面SCD 的一个法向量为),,,(z y x n = 由⎩
⎨⎧=-=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅020
00z x z y x n SD n SC 令z =1可得平面SCD 的一个法向量为),1,1,2(-=n
显然，平面SAB 和平面SCD 所成角为锐角，不妨设为α
则36
cos =
=n m α 即平面SAB 和平面SCD
…………………………………12分 19．长方体的体积V(x)＝4x (x －a )2
，(o ＜x ＜a )， ……………………………………2分
由
x
a x
22-≤ t 得 0＜x ≤t ta 212+< a ……………………………………4分
而V ′＝12(x －3a )(x －a ) ∴V 在（0，3a ）增，在（3
a
，a ）递减……………6分
(1) 若t ta
212+≥3
a 即 t ≥41，V(x)在]3,0(a 上单增，在)212,
3(t at a +上单减， ∴当x ＝3a 时，V 取最大值27
16a 3
……………………………………………9分
……………9分
（2）若
t ta
212+＜3
a 即 0＜t ＜41时，V(x)在]212,
0(t at +上单增 ∴当x ＝t
ta
212+时，V 取最大值3
3)21(8t ta + ……………………………………12分 20．（Ⅰ）由题意知12c e a ==，∴222222
14c a b e a a
-===，即2
243a b =
又b =22
43a b ==， 故椭圆的方程为22143y x +=……………3分
（Ⅱ）解：由22:4
14
3l x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得：22(34)24360m y my +++= …………………………4分
2220(24)436(34)04m m m ∆>⇒-⨯+>⇒>由
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则121222
2436
,3434m y y y y m m +=-=++ ………………6分 ∴()22
1212121222
12100116
(1)41643434
m OA OB x x y y m y y m y y m m -+⋅=+=++++==-+++ ……8分 ∵24m >∴23416m +>， ∴13
(4)4
OA OB ⋅∈-，
∴OA OB ⋅的取值范围是13
(4)4
-，． ………………………………………………… 10分
（Ⅲ）证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E (x 2，－y 2)
直线AE 的方程为：12
1112()y y y y x x x x +-=--，
令y = 0得：2
2121212
236242424()
343412434
m
m my y y y m m x m y y m -⋅
+⋅++++=
=
=-++
∴直线AE 与x 轴交于定点(1，0)． …………………………………………………… 13分 21．（Ⅰ）由()
(1)ln(1)f x x x x ，有()ln(1)f x x '=-+，………………… 2分
当10x -<<时，()0f x '>时，()f x 单调递增；
当0x >时，()0f x '<时，()f x 单调递减；
所以()f x 的单调递增区间为(1,0]-，单调递减区间为[0,)+∞. …… 4分 （Ⅱ）设ln(1)
()(0)x g x x x ，
则22ln(1)
(1)ln(1)1()(1)
x
x x x x x g x x x x . ……………………………6分
由（Ⅰ）知，(1)ln(1)x x x 在(0,
)单调递减， ∴(1)ln(1)0x x x ，即()g x 是减函数，
而0n m >>，所以()()g n g m <，得ln(1)ln(1)
n m n m ++<
， 得ln(1)ln(1)m n n m +<+，故()()11m n
n m +<+. ……………………………… 8分 （Ⅲ）（1）由123x x x +++…1n x +=，及柯西不等式可知，
222
312
123(111x x x x x x ++++++…2)(1)1n n
x n x +++ 222
312
123(111x x x x x x =++++++…[2123)(1)(1)(1)1n n
x x x x x ++++++++…](1)n x ++
2
2
1n
x x ≥++
2123()1n x x x x =++++=，
所以2222
312123
1
11111n n
x x x x x x x x n ⎛⎫++++
≥
⎪+++++⎝⎭
，………………………………11分 （2）由（1）得：1
1
2
2
22
31
2123111111n
n
n n x x x x x x x x n ⎛⎫⎛⎫++++≥ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝
⎭.
又2012n >，由（Ⅱ）可知()
()2012112012n
n +<+， 即()()
112012
112012n n +<+，即1
12012
1112013n n ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭
.
则1112
2
2
2
2012
31
212311*********n
n
n n x x x x x x x x n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++
≥> ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭.
故1
1
2
2
22
2012
31
2123
111112013n
n n x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++> ⎪ ⎪
++++⎝⎭
⎝⎭……………………………14分
附表1：各内容分布表：
⎪⎩⎪
⎨⎧1820,15,11,10,8,216,31-2空间向量：圆锥曲线：简易逻辑：选修 ⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧114621,19,9,122-2复数：
推理与证明：积分：导数的应用：
导数的定义和运算：
选修
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧721,1321,17,5164,35-4数学归纳法：式：柯西不等式和排序不等不等式的证明：
，：不等式和绝对值不等式
选修。