联赛新高一暑假第3讲(学生版)

归纳法（Inductive reasoning ）。

归纳论证是一种由个别到一般的论证方法。

它通过许多个别的事例，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论。

所谓演绎法或称演绎推理（Deductive reasoning ）是指人们以一定的反映客观规律的理论认识为依据，从服从该认识的已知部分推知事物的未知部分的思维方式。

是由一般到个别的认识方法。

演绎法是认识“隐性”知识的方法。

一般在数学竞赛中在条件带有明显数字特征的问题都可以用归纳法试着寻找规律，帮助思考，开拓思路，最后将问题解决并描述出来的时候往往会用演绎的方式一步步推导，精简解体过程，同时去掉思考中一些无用的枝节，两种方法相辅相成，帮助我们将问题推向最终结果。

【例1】 已知两同心圆的圆心为O （如图），过小圆上一定点M 作小圆的弦MA 和大圆的弦BMC ，
且使MA BC ⊥，求证：222AB BC CA ++为定值．
【例2】 设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含
边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，求()N t 的所有可能值并严格证明之.
本讲概述
例题精讲
第3讲
归纳与演绎(1)
【例3】 如图，PQR △和P Q R '''△是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为：
112233,,,,,AB a BC b CD a DE b EF a FA b ======，求证：222222123123a a a b b b ++=++．
【例4】 自凸n 边形内一点向各边作高，求证至少有一个垂足在其边上而不在边的延长线上．
【例5】 在一个88⨯的方格棋盘的方格中，填入从1到64这64个数．问：是否一定能够找到两个相邻
的方格，它们中所填数的差大于4？
F E
D C
B A R '
Q '
P 'R Q P S B A
【例6】()4
n n≥个盘子里放的糖块总数不少于4块，从任选的两个盘子中各取1块糖，放入另一个盘子中去，称为一次操作．问能否经过有限次操作，把所有的糖块都集中到一个盘子里去？证明你的结论．
【例7】设,,,
a b c d为正实数，证明：1141664
a b c d a b c d
+++
+++
≥．
【例8】哲人院按照如下方式考核：国王让哲人们站成一列，并给每个人带上一顶帽子，颜色只有黑白两种。

每个人只能看见自己前面人头上的帽子，看不见自己或者后面人的帽子。

国王要求每个人说出自己帽子的颜色，说错的会被请出哲人院。

问如何才能使得被清除的人最少？
1． 以()S x 表示正整数x 的各位数字之和。

试问，能否找到3个不同的正整数,,,a b c 使得
()5,()5,()5,S a b S b c S c a +<+<+<但是却有()50S a b c ++>？
大显身手
2．已知a b
≠，且不存在实数x，满足方程()()()()
11112
11
a b a b ab
x x x
++--
+=
+-
．
证明：22
a a
b b
++等于一个常数．
3．平面上有A、B、C、D四点，其中任意三点都不在一条直线上．求证：ABC
△、ABD
△、ACD
△、BCD
△中至少有一个三角形的一个内角不超过45︒．
4．（*选做）平面上给出4
n≥条两两不平行的直线，并且每个交点处至少有3条直线通过，则这些直线都交于一点．
5． 证明，对任何整数2n >，数3
]1+都可以被8整除。

6． 证明每个正整数都是某两个有相同数目质因数的正整数之差。

（12和35就是具有相同数目质
因数的正整数，因为两个数都只有2个质因数）
7． 数组01,,
,n a a a 满足条件：010,1(0,1,
,1)k k a a a k n +=≥+=-。

证明不等式：
3
21
1
()n
n
k k k k a a ==∑≥∑。