新教材高中数学第10章复数的乘法与除法学案含解析新人教B版必修第四册

新教材高中数学学案含解析新人教B 版必修第四册
10.2.2 复数的乘法与除法
最新课程标准：1.掌握复数代数形式的乘除运算．(重点) 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点) 3.理解共轭复数的性质，并能灵活运用．(易错点)
知识点一 复数的乘法法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝____________. 知识点二 复数的乘法运算律．对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有
知识点三 (1)两个共轭复数的对应点关于________对称．
(2)实数的共轭复数是________，即z ＝z －
⇔z ∈R . 利用这个性质，可以证明一个复数是实数．
(3)z ·z －＝________＝|z －
|2∈R . 知识点四 复数的除法法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)， z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝________________.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个复数互为共轭复数，则它们的模相等．( ) (2)若z ∈C ，则|z |2＝z 2.( )
(3)若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 2
2＝0，则z 1＝z 2＝0.( )
2．i 是虚数单位，复数7－i
3＋i
＝________.
3．设z ＝3－i
1＋2i
，则|z |＝( )
A ．2 B. 3 C. 2 D ．1
4．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝____________.
题型一 复数代数形式的乘除运算
例1 (1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3i D ．4＋3i (2)(1＋i )3(1－i )2
等于( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
(3)计算：(2＋2i )2(4＋5i )
(5－4i )(1－i )
＝________.
状元随笔 (1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2
换成－1，再把实部、虚部分别合并．
(2)复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
方法归纳
(1)复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
(2)利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i ，⎝⎛⎭
⎫－12±3
2i 3＝1，1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，
1－i 1＋i ＝－i ，i 的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．
跟踪训练1 计算：
(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋1
2i (1＋i)； (2)(－2＋3i)÷(1＋2i)．
题型二 共轭复数及其应用
例2 已知复数z 的共轭复数是z －，且z －z －＝－4i ，z ·z －
＝13，试求z z
－.
状元随笔 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )→由条件得方程组求x ，y 的值→计算z z
的值
方法归纳
1．已知关于z 和z －
的方程，而复数z 的代数形式未知，求z .解此类题的常规思路为：设z
＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －
＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
2．关于共轭复数的常用结论
(1)z ·z －＝|z |2＝|z －
|2是共轭复数的常用性质；
(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －
，利用此性质可以证明一个复数是实数；
(3)若z ≠0且z ＋z －
＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
跟踪训练2 已知复数z 满足z ·z －
＋2i·z ＝4＋2i ，求复数z .
题型三 虚数单位i 的幂的周期性及其应用
状元随笔 1.i 4n ，i 4n ＋
1，i 4n ＋
2，i 4n ＋
3(n ∈N )的结果分别是什么？ [提示] 1，i ，－1，－i.
2．i n (n ∈N )有几种不同的结果？ [提示] 四种：1，i ，－1，－i.
3．i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋
3(n ∈N )结果是多少？ [提示] 0.
例3 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 020
；
(2)若复数z ＝1＋i
1－i
，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018的值．
状元随笔 将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n 的值的特点计算求解．
【解】 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 010
＝i ＋⎝⎛⎭
⎫2－2i 1 010＝i ＋i 1 010＝i ＋i 4×
252i 2＝－1＋i.
(2)1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018
＝1－z 2 019
1－z
，
而z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2
＝i ，
所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018
＝1－i 2 0191－i ＝1＋i 1－i
＝i.
方法归纳
(1)要熟记i n 的取值的周期性，即i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋
3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N )，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值．
(2)如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．
跟踪训练3 若z ＝1－i
1＋i
，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019的值．
10．2.2 复数的乘法与除法
新知初探·自主学习
知识点一
(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 知识点二 z 2·z 1 z 1·(z 2·z 3) z 1z 2＋z 1z 3 知识点三
(1)实轴 (2)它本身 (3)|z |2 知识点四
ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad
c 2＋
d 2i [基础自测]
1．解析：(1)正确．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －
＝a －b i ，
∵|z |＝a 2＋b 2，|z －
|＝a 2＋(－b )2＝a 2＋b 2，
∴|z |＝|z －|.
(2)错误．举反例：如z ＝1＋i ，则|z |＝2，z 2＝2i ，|z |2≠z 2.
(3)错误．例如z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＋z 2
2＝0，但z 1≠z 2≠0. 答案：(1)√ (2)× (3)×
2．解析：7－i 3＋i ＝(7－i )(3－i )(3＋i )(3－i )
＝20－10i
10＝2－i.
答案：2－i
3．解析：由z ＝3－i 1＋2i ，得|z |＝|3－i||1＋2i|＝10
5
＝ 2.
答案：C
4．解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝2，
所以a ＋b i ＝1＋2i.
答案：1＋2i 课堂探究·素养提升
例1 【解】 (1)∵a ，b ∈R ，a ＋i ＝2－b i ，
∴a ＝2，b ＝－1，∴(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. (2)(1＋i )3(1－i )2＝－2＋2i －2i ＝1－i i ＝i ＋1－1
＝－1－i.故选D.
(3)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝4i (4＋5i )5－4－9i
＝－20＋16i 1－9i
＝－4(5－4i )(1＋9i )82
＝－4(41＋41i )82
＝－2－2i.
答案：(1)A (2)D (3)－2－2i
跟踪训练1 解：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋1
2i (1＋i)
＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34
－3
4＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭
⎫－32＋1
2i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－3
2i ＝－1＋32＋1－32
i.
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝－2＋3i 1＋2i ＝(－2＋3i )(1－2i )
(1＋2i )(1－2i )
＝(－2＋6)＋(3＋4)i 12＋22
＝45＋75i.
例2 【解】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由条件可得 ⎩
⎪⎨⎪⎧
(x ＋y i )－(x －y i )＝－4i ，(x ＋y i )(x －y i )＝13， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
2y i ＝－4i ，x 2＋y 2＝13， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3，y ＝－2.
因此z ＝3－2i 或z ＝－3－2i.
于是z z －＝3－2i 3＋2i ＝(3－2i )2(3＋2i )(3－2i )＝5－12i 13＝513－1213i ，或z z
－＝－3－2i
－3＋2i ＝(－3－2i )2(－3＋2i )(－3－2i )
＝
5＋12i 13＝513＋12
13
i. 跟踪训练2 解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －
＝x －y i ， 由题意，得(x ＋y i)(x －y i)＋2(x ＋y i)i ＝(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－1， ∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.
跟踪训练3 解：∵z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )
＝－2i
2＝－i.
∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝1－z 2 0201－z ＝1－(－i )2 0201－(－i )＝1－i 2 0201－(－i )＝1－11＋i
＝0.。