【时间管理】第4章拉氏变换与连续时间系统S域分析1
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第4章 拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析
a j 1 sa
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
2. t的指数函数：eatu(t)（a为任意常数）
e u (t ) F ( s )
at
e e
1 sa
at
st
dt
0
0
e
( s a )t
dt
0
e
( s a )t
|
1 sa
(4.1-10)
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
例4.1-1 已知f(t)=e-atu(t)(a>0)，求f(t)的拉氏变换。
解 f(t)的收敛域如图4.1-2(a)所示， 包括jω轴，所以
e
at
u ( t )( a 0 ) F ( s ) F ( ) | s j 1 | s j
在条件比傅氏变换宽， 不需要信号满足绝对可积， 但 对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在 的问题， 这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
2. 单边拉氏变换收敛区 收敛区:使f(t)e-σt满足绝对可积的σ取值范围， 或是
使f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
指数阶f(t)随时间变化的趋势， 收敛区的大致范围为:
1）若f(t)是随时间衰减的： σ0<0，其拉氏变换的收敛区 收敛区包含虚轴jω， 函数的 傅氏变换存在； 例如单边指数信号 e-atu(t) （a>0）的σ0=-a， 其拉氏变 换的收敛区如图4.1-2(a)所示； 4.1-2(a)
由式(4.1-3)的推导可见， 因为e-σt 的作用， 使得 f(t)e-σt在一定条件下收敛， 即有
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无
穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j
s称为复频率。
f
(t)
1
2j
F (s)e st ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为
t
所以其收敛域为s 平
面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换
1、阶跃函数
L
u(t)
0
estd t
即 u(t ) 1
est
s 0
( 0)
1 s
2、指数函数
s
L eat eatestd t
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可
积，即 其中 e t称为收敛因子
F f (t)e t
F1( )
f
(t )e t e j t dt
Lt 1 s2
L t2
2 s3
L tn
n! s n1
4、冲激函数 (t)
第四章——连续时间系统的S域分析
第4章 连续时间系统的S 域分析4.1拉普拉斯变换的定义、收敛域（一） 定义拉氏正变换：()()()0stf t F s f t e dt ∞-==⎡⎤⎣⎦⎰拉氏逆变换：()()112j st j F s F s e ds j σσπ+∞--∞=⎡⎤⎣⎦⎰ （二） 常用函数的拉氏变换[1] 阶跃函数()01stste u t e dt ss∞-∞-==-=⎡⎤⎣⎦⎰ [2] 指数函数()01a s tatat ste ee e dt a sa s∞-+∞---⎡⎤==-=⎣⎦++⎰ （σ>a -） [3] n t 函数[]21t s =232t s ⎡⎤=⎣⎦1!nn n t s +⎡⎤=⎣⎦[4] 冲激函数()()01stt t e dt δδ-∞-==⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0000st stt t t t e dt e δδ-∞---=-=⎡⎤⎣⎦⎰4.2拉普拉斯逆变换（一） 部分分式分解[1]极点为实数，无重根例 求下示函数的逆变换()()()3259712s s s F s s s +++=++ 解 用分子除以分母（长除法）可得()()()()()()322222222225971232277323232232332323221212s s s F s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s +++=++++++=++++++++++=++++++++=++-++ 故有()()()222t t f t t t e e δδ--'=++- ()0t ≥[2]包含共轭复数极点()()12cos sin tA jB A jB e A t B t s j s j αββαβαβ--⎡⎤+-+=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+-++⎣⎦例 求下面函数的逆变换()()()223252s F s s s s +=+++ 解()()()()()()()()2222220123252312231212221212s F s s s s s s s s s j s j s k k k s s j s j +=++++=⎡⎤+++⎣⎦+=+++-+=++++-++下面分别求系数012,,k k k()()02725s k s F s =-=+=()()21123121225s j s j k s j s =-++-+==+++ 也即12,55A B =-=，故而可以得到其逆变换的函数表达式 ()()()27122cos 2sin 2555t t f t e e t t --⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()0t ≥ [3]多重极点设有()()()()()()()()()()1111121111k kkk A s A s F s B s s p D s E S K K K s p D S s p s p -==-=++⋅⋅⋅++---现记()()()11kF S s p F s =-则个系数的计算公式为：()()1111111!i i i s p d K F s i ds --==-例 求下示函数的逆变换()()321s F s s s -=+解 将()F s 写成展开式()()()131112232111K K K K F s s ss s =++++++ 容易求得：()202s K sF s ===-为求出与重根有关的个系数，令()()()3121s F s s F s s-=+=故有11123S s K s=--==12122S d s K ds s =--⎛⎫== ⎪⎝⎭213211222S d s K ds s =--⎛⎫== ⎪⎝⎭于是有()()()323222111F s s ss s =++-+++ 所求逆变换为()232222t t t f t t e te e ---=++- ()0t ≥4.3微分方程的S 域求解对于二阶连续时间LTI 系统，描述系统的微分方程为()()()()()1010,0y t a y t a y t b x t b x t t ''''++=+≥()()0,0y y --'为系统的初始状态。
第四章 连续时间信号与系统的s域分析 (1)
F s
0
f t e st dt
其中，s j 称为复频率
§ 4-1 拉普拉斯变换
1.拉普拉斯变换的定义 F s 实际上就是指数加权后的因果信 t e 号 f t , 0 t ，的FT。因此，求F s 的 t e f t ，并进而得到因果 逆FT，就可得到 信号f t ，即 f t e 1 F s e d F s e ds 2 2 j
0
e
f t dt
这使得增长速度不快于指数增长函数的信号都存在LT。使 LT收敛的取值范围称为LT的收敛域。 拉普拉斯变换的缺点是：不象傅里叶变换有明确的物理意 义，它没有明确的物理意义。复频率更多的是数学意义。
§ 4-1 拉普拉斯变换
2.典型信号的拉普拉斯变换 （1）单位冲激信号
f1 t u t f2 t u t F1 s F2 s
对于有冲激响应 ht 的因果LTI系统而言， 因果激励 f t 产生的零状态响应为yt ht f t 在s域中有 Y s H s F s 其中，系统函数 H s 是系统冲激响应 ht 的LT。
n t
n!
te
t
u t
s
1
2
t e
2
t
u t
s 3
2
§ 4-2 拉普拉斯变换的性质
n t t 例4-11 求因果指数加权正弦信号 e cos0 t ut
和 t n e t sin0 t ut 的LT。
t e
§ 4-1 拉普拉斯变换
1.拉普拉斯变换的定义
尽管奇异函数的使用扩大了傅里叶变换的应用范 围，仍有不少常见信号，例如指数增长因果信号， 不存在傅里叶变换。为了进一步扩大傅里叶变换 应用范围，先把信号进行恰当的指数衰减，然后 对它进行傅里叶变换。这就产生了如下定义的拉 普拉斯变换（Laplace Transformation，简写 LT）。 因果信号f t , 0 t 的拉普拉斯变换 F s 定义为
信号与系统4.3拉氏变换的性质
T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
0 24
t
图4.5 例4-5图
e2(t2)e4u(t 2) e2(t4)e8u(t 4)
于是
F (s) L[ f (t)] e4L[e2t ]e2s e8L[e2t ]e4s
e2(s2) e4(s2) s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4、s域平移特性
若 f (t) F(s)
t)u(t) E sin[ T
(t )]u(t )
2
2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
应用拉氏变换的时移特性,有
F (s) L[ f (t)] L[ fa (t)] L[ fb (t)]
L[E sin(2 t)u(t)] L{E sin[ 2 (t T )]u(t T )}
本题第一个周期的波形）的拉氏变换为
F1(s)
L[
f
(t)]
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
青岛大学信号与系统第四章 连续时间系统的S域分析(1)PPT课件
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析
§4.1 引言
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
§4.3 拉氏变换的基本性质
§4.4 拉普拉斯逆变换
§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型
§4.6 系统函数（网络函数）H( s )
§4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
§4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性
f(t)21 F 1()e(j)td
1 2j
j
jF 1(
)e(j)td(
j
)
1 jF(s)estds
2j j
F(s)L
[f(t)]
0
f(t)estdt
f(t)L
-1[F(s)]
1
jF(s)estds
2j j
f1(t)f(t)et
F ( s ) f ( t ) e st d t 0
0
f1 (t )e j t d t
F1 ( )
f (t ) 原函数
F ( s ) 象函数
6
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ()d 1 f (t)
p
f(t) F(s)
d f(t) dt
sF(s) f (0 )
t f()d1F(s) 1 0 f ( )d
§4.9 二阶谐振系统的 s
§4.10 全统函数与最小相移函数的零、极点分布
§4.11 线性系统的稳定性
§4.12 双边拉氏变换
§4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
§4.1 引言
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
§4.3 拉氏变换的基本性质
§4.4 拉普拉斯逆变换
§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型
§4.6 系统函数（网络函数）H( s )
§4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
§4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性
f(t)21 F 1()e(j)td
1 2j
j
jF 1(
)e(j)td(
j
)
1 jF(s)estds
2j j
F(s)L
[f(t)]
0
f(t)estdt
f(t)L
-1[F(s)]
1
jF(s)estds
2j j
f1(t)f(t)et
F ( s ) f ( t ) e st d t 0
0
f1 (t )e j t d t
F1 ( )
f (t ) 原函数
F ( s ) 象函数
6
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ()d 1 f (t)
p
f(t) F(s)
d f(t) dt
sF(s) f (0 )
t f()d1F(s) 1 0 f ( )d
§4.9 二阶谐振系统的 s
§4.10 全统函数与最小相移函数的零、极点分布
§4.11 线性系统的稳定性
§4.12 双边拉氏变换
§4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
第4章 拉氏变换--1
15
例4-1：求 f (t ) = sin (ωt ) 的拉氏变换 F(s) 解： 由欧拉公式，有：
1 f (t ) = sin (ωt ) = e jωt − e − jωt ) ( 2j
∵
L
e
± jω t
1 = s jω
(σ
> 0)
故由线性叠加性质，得：
L
1 1 1 ω sin ω t = = − ( ) 2 j s − jω s + jω s 2 + ω 2
17
补充例题：
求三角脉冲的拉氏变换。
E
0
f (t )
E f ' ' ( t ) = [δ ( t ) − δ ( t − T )] − Eδ ' ( t − T ) T
两边同时进行拉氏变换，得：
f ′(t )
E T
T
t
E F2 ( s ) = (1 − e − sT ) − Ese − sT T
由时域微分性质，有：
at
− σt
(σ > a )
e −σt u( t ). cos ω1 t
5
拉氏正变换*
F1 (ω ) = F f ( t )u( t ) ⋅ e
因果
[
−σ t
] = [ f (t )u(t ) e ]⋅ e
+∞ −σ t −∞
− jω t
dt
=
+∞
0
f ( t ) ⋅ e − (σ + jω ) t d t = F (σ + jω )
∞
若L[ f ( t )] = F ( s )，则
拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
若f (t)满足以下条件时，才存在付里叶变换 1 狄氏条件：1) f (t)在有限闭区间连续或有有限个第一类间断点； 2) f (t)在有限闭区间只有有限个极值点。
2 在(-, )内满足绝对可积，即 f (t) dt
由付里叶变换存在条件 可知，绝对可积条件较强，许多 函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线 性函数等。 2拉普拉斯变换
F (s) f (t)et e jtdt
f (t)e( j)tdt f (t)est dt
其中 s j
F (s) f (t)est dt称作拉普拉斯(Laplace)变换
f (t) 1
F
(s)e
st
d称s 作拉普拉斯逆变换
2j
f (t) F (s)
单边拉氏变换
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
其收敛域至少是二函数收敛域的相重叠部分。
7
例1:求双曲函数的象函数
sht 1 (et et )
2
sht
1 2
(et
et
)
0
1 2
(et
et
)est
dt
1 2
s
1
1 1
2 s
1
s2 2
Res 0
et的收敛域Res ，et的收敛域Res ,
当n 2时
t2
2 s3
,依次类推
t n n(n 1)(n 2)2 1
s n1
6
4.冲击函数
(t) (t)est dt 1 0
5.正弦函数
sin kt sin ktest dt 1 e jkt e jkt est dt
0
0 2j
2 在(-, )内满足绝对可积，即 f (t) dt
由付里叶变换存在条件 可知，绝对可积条件较强，许多 函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线 性函数等。 2拉普拉斯变换
F (s) f (t)et e jtdt
f (t)e( j)tdt f (t)est dt
其中 s j
F (s) f (t)est dt称作拉普拉斯(Laplace)变换
f (t) 1
F
(s)e
st
d称s 作拉普拉斯逆变换
2j
f (t) F (s)
单边拉氏变换
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
其收敛域至少是二函数收敛域的相重叠部分。
7
例1:求双曲函数的象函数
sht 1 (et et )
2
sht
1 2
(et
et
)
0
1 2
(et
et
)est
dt
1 2
s
1
1 1
2 s
1
s2 2
Res 0
et的收敛域Res ，et的收敛域Res ,
当n 2时
t2
2 s3
,依次类推
t n n(n 1)(n 2)2 1
s n1
6
4.冲击函数
(t) (t)est dt 1 0
5.正弦函数
sin kt sin ktest dt 1 e jkt e jkt est dt
0
0 2j
第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 基本要求 通过本章的学习
（2）留数法
留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数 在围线中所有极点的留数运算，即
若 为一阶级点，则在极点 处的留数
若 为k阶级点，则
4.系统函数（网络函数）H（s）
（1）定义
系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即
冲激响应 与系统函数 构成变换对，即 系统的频率响应特性 式中， 是幅频响应特性， 是相频响应特性。
（4）最小相移函数
如果系统函数的全部极点和零点均位于s平面的左半平面或 轴，则称这种函数为最小相移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。
（5）系统函数 的求解方法
由冲激响应 求得，即 。
对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由 获得。
根据s域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为 。
例4-4
某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。
为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出
阶跃响应
则
例4-5
电路如图4-5（a）所示
（1）求系统的冲激响应。
（2）求系统的起始状态使系统的零输
入响应等于冲激响应。
（3）求系统的起始状态，
解答
（1）求系统的冲激响应。
系统冲激响应 与系统函数 是一对拉氏变换的关系。对 求逆变换可求得 ，这种方法比在时域求解微分方程简便。
若系统函数 没有极点落于s右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定。
内容摘要
例题
·例题1：求拉氏变换
·例题2：求拉氏变换，拉氏变换的性质
·例题3：拉氏变换的微分性质
·例题4：系统函数，求解系统的响应
·例题5：用拉氏变换法分析电路·
留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数 在围线中所有极点的留数运算，即
若 为一阶级点，则在极点 处的留数
若 为k阶级点，则
4.系统函数（网络函数）H（s）
（1）定义
系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即
冲激响应 与系统函数 构成变换对，即 系统的频率响应特性 式中， 是幅频响应特性， 是相频响应特性。
（4）最小相移函数
如果系统函数的全部极点和零点均位于s平面的左半平面或 轴，则称这种函数为最小相移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。
（5）系统函数 的求解方法
由冲激响应 求得，即 。
对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由 获得。
根据s域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为 。
例4-4
某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。
为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出
阶跃响应
则
例4-5
电路如图4-5（a）所示
（1）求系统的冲激响应。
（2）求系统的起始状态使系统的零输
入响应等于冲激响应。
（3）求系统的起始状态，
解答
（1）求系统的冲激响应。
系统冲激响应 与系统函数 是一对拉氏变换的关系。对 求逆变换可求得 ，这种方法比在时域求解微分方程简便。
若系统函数 没有极点落于s右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定。
内容摘要
例题
·例题1：求拉氏变换
·例题2：求拉氏变换，拉氏变换的性质
·例题3：拉氏变换的微分性质
·例题4：系统函数，求解系统的响应
·例题5：用拉氏变换法分析电路·
4拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析讲解
求出k1 , k2 , k3 kn ,即可将F s 展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数 3. 第三种情况：有重根存在 4. F(s)两种特殊情况: 含e s的非有理式 非真分式—— 化为真分式＋多项式
收敛坐标 σ0
O
σ
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
一些常用函数的(单边)拉氏变换:P181表4-1
1.阶跃函数: F ( ) F [ f (t )] u(t )e j t dt [ 1 1 sgn( t )]e j t dt π ( ) 1
f (t )e j0t F 0
f (t ) jF ( )
f (t ) eα t F(s α)
sF ( s ) f (0 )
F ( s ) f 1 (0 ) s s
d F ( s) ds
t
f d
F ( ) πF (0) ( ) j
1 j t F F ( ) f ( t ) F ω e dω 2 以傅里叶变换为基础的频域 分析方法的优点和不足： F f (t ) F ω f (t ) e j t d t • 有清楚的物理意义 • 只能处理符合狄利克雷条件的信号-绝对可积条件： s j f t d t
2)求 e α t cos ω0t的拉氏变换.
3)求f (t ) tu(t 1)的拉氏变换 .
π 4)已知f (t ) ＝ 2 cos(t )u(t ), 求F(s)。 4
§ 4.4 拉普拉斯逆变换 拉氏逆变换的方法： (一)部分分式法 (二)利用留数定理——围线积分法
(三)数值计算方法——利用计算机 拉氏逆变换的过程：部分分式法
信号分析第四章：拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
dt T
A ( 1 esT ) AesT sF ( s ) Ts
F( s )
A/T s2
( 1 e sT
)
A e sT s
f (t)
A T
0
f (0 ) 0
Tt A ( t T )
20
拉普拉斯变换的性质
例 10 f (t) t e(t2) (t 1)
方法一：因为 (t 1) 1 es
中：a >0
解：
F ( s ) 0 e( sa ) tdt 0 e( a ) te j tdt 1
sa
为保证收敛，有 a+<0，故收敛域为 <-a
j
收 敛 a 0 域
9
拉普拉斯变换的收敛区
例3
求双边信号 f (t)= -e – t (-t)+ e -2t (t)的拉普拉斯变 换及其收敛域。
s s0
令 s0 = 实数， 则
et( t ) s
1
令 s0 = j 虚数， 则 e j t ( t ) s
1 j
12
常用函数的拉普拉斯变换 三个基本函数的拉普拉斯变换
• 单位阶跃函数 (t)
已知 es0 t ( t ) 1
s s0
令上例中s0=0。则
(
t
)
1 s
• 单位冲激函数 (t)
s 1
t
e(
t1 )
(
t
1)
d ds
(
s
1 es 1
)
(
s
1 1 )2
es
s
1 es 1
F(
s
)
(
2 s s 1 )2
e s1
A ( 1 esT ) AesT sF ( s ) Ts
F( s )
A/T s2
( 1 e sT
)
A e sT s
f (t)
A T
0
f (0 ) 0
Tt A ( t T )
20
拉普拉斯变换的性质
例 10 f (t) t e(t2) (t 1)
方法一：因为 (t 1) 1 es
中：a >0
解：
F ( s ) 0 e( sa ) tdt 0 e( a ) te j tdt 1
sa
为保证收敛，有 a+<0，故收敛域为 <-a
j
收 敛 a 0 域
9
拉普拉斯变换的收敛区
例3
求双边信号 f (t)= -e – t (-t)+ e -2t (t)的拉普拉斯变 换及其收敛域。
s s0
令 s0 = 实数， 则
et( t ) s
1
令 s0 = j 虚数， 则 e j t ( t ) s
1 j
12
常用函数的拉普拉斯变换 三个基本函数的拉普拉斯变换
• 单位阶跃函数 (t)
已知 es0 t ( t ) 1
s s0
令上例中s0=0。则
(
t
)
1 s
• 单位冲激函数 (t)
s 1
t
e(
t1 )
(
t
1)
d ds
(
s
1 es 1
)
(
s
1 1 )2
es
s
1 es 1
F(
s
)
(
2 s s 1 )2
e s1
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的s 域分析4.1 基本要求1. 深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念；2. 熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义和它们的运用；3. 能根据时域电路模型画出s 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应；4. 能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性；5. 理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系；6. 会判断系统的稳定性。
4.2 公式摘要1. 拉氏变换、傅氏变换和算子符号之间的区别和联系（1）拉氏变换法在求解问题时能够把初始条件的作用计入，而算子符号则不能。
但是拉氏变换不能反映出零输入响应，可能会丢失一些固有频率，而算子符号则不会。
（2）傅氏变换为时域到频域变换，ω只能描述振荡重复频率；拉氏变换为时域到复频域变换，s 不仅能描述振荡，也能反映振荡幅度的衰减或增长速率。
（3）拉氏变换收敛域坐标00σ>则对应傅立叶不存在；收敛坐标00σ<则对应傅立叶变换只需将s 用j ω替换即可；收敛坐标00σ=，则不能简单地用j ω替换s 得到对应的傅立叶变换，除此之外还将出现冲激项。
2. 利用拉氏变换性质求拉氏变换（1）单边拉氏变换收敛域形式为Re[]s a >，极点在a 左边。
（2）利用延时定理求解拉氏变换适用于00()()f t t u t t --且00t >。
利用尺度变换求解拉氏变换适用于()f at 且0a >。
（3）利用时域微积分特性求解单边拉氏变换需要注意起始值(0)f-和积分值01(0)()f f d ττ----∞=?。
必须理解采用0-的原因是需要把0t =处可能有的冲激考虑在内。
（4）注意单边拉氏变换的卷积定理要求参与卷积的信号为因果信号。
（5）务必注意：对信号作各种操作后，会对收敛域有影响。
3. 求双边拉氏变换及其收敛域（1）反因果信号2()()()f t f t u t =-的双边拉氏变换求解时需将它的积分区间通过变量替换为0到正无穷，以便判断收敛域范围。
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
一. 拉氏变换的定义 ——从傅氏变换到拉氏变换 二．拉氏变换的收敛域
三．一些典型信号的拉氏变换
一、从傅氏变换到拉氏变换
有一些信号不满足狄里 赫利条件，FT不存 在：
乘一衰减因子
t
• 若乘一衰减因子 e 为任意实数，则 f (t ).e t 收敛， 满足狄里赫利条件
• u(t) • 增长信号 eat (a 0) • 周期信号 cos t
F s L f t f t e s t d t 1 σ j 1 st F s F s e ds f t L 2 π j σ j
正变换 逆变换
用得 较少
考虑到实际信号都是因果信号：
1
F ω e
j t
dω
拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：
（1）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里， 直接求得全响应 （2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换为 域的 s
“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方
程； （3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数； （4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立 起系统函数 H(s) 的概念； （5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统 性能的许多规律。
换是单边的，所以某些性质又有差别。
主要内容
线性性质
时域积分 初值定理
时域微分
延时（时域移位） 终值定理
s域平移（频域移位） 尺度变换 卷积定理
s域积分
s域微分
一．线性性质
若 则 L f1 ( t ) F1 ( s ), L f 2 ( t ) F2 ( s ), K 1 , K 2为常数， LK 1 f1 ( t ) K 2 f 2 ( t ) K 1 F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
三．一些典型信号的拉氏变换
一、从傅氏变换到拉氏变换
有一些信号不满足狄里 赫利条件，FT不存 在：
乘一衰减因子
t
• 若乘一衰减因子 e 为任意实数，则 f (t ).e t 收敛， 满足狄里赫利条件
• u(t) • 增长信号 eat (a 0) • 周期信号 cos t
F s L f t f t e s t d t 1 σ j 1 st F s F s e ds f t L 2 π j σ j
正变换 逆变换
用得 较少
考虑到实际信号都是因果信号：
1
F ω e
j t
dω
拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：
（1）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里， 直接求得全响应 （2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换为 域的 s
“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方
程； （3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数； （4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立 起系统函数 H(s) 的概念； （5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统 性能的许多规律。
换是单边的，所以某些性质又有差别。
主要内容
线性性质
时域积分 初值定理
时域微分
延时（时域移位） 终值定理
s域平移（频域移位） 尺度变换 卷积定理
s域积分
s域微分
一．线性性质
若 则 L f1 ( t ) F1 ( s ), L f 2 ( t ) F2 ( s ), K 1 , K 2为常数， LK 1 f1 ( t ) K 2 f 2 ( t ) K 1 F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
4拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
∞
•
运用傅里叶反变换对频率 进行的无穷积分求解困难
优点：求解比较简单， 优点：求解比较简单，特别是对系统的微分 方程进行变换时，初始条件被自动计入。 方程进行变换时，初始条件被自动计入。 • 缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。 缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。 本章主要内容：傅氏变换→拉氏变换、拉氏变换的性质、 本章主要内容：傅氏变换→拉氏变换、拉氏变换的性质、以拉氏变换为 •
3)查拉氏变换表求 (t) f
部分分式法: 部分分式法 1.第一种情况：单阶实数极点 1.第一种情况：单阶实数极点 第一种情况
A(s) F(s) = (s − p1 )(s − p2 )L(s − pn )
p1 , p2 , p3 Lpn为不同的实数根
F(s) = kn k1 k2 + +L+ s − p1 s − p2 s − pn
t
0−
t
c1 f1(t) + c2 f2 (t )
f (at )
c1F1(ω) + c2F2 (ω)
1 ω F a a
c1F1(s) + c2F2 (s)
1 s F a a
(a > 0)
f (t − t0 )
F(ω)e− jωt0
F(s)e−st0
f (t)e−jω0t ↔F(ω+ ω0 )
f ′(t ) jωF(ω)
f (t)e−αt ↔F(s + α)
sF(s) − f (0− )
F(s) f (−1) (0− ) + s s
d F(s) ds
∫
t
−∞
f (τ ) dτ
F(ω) + πF(0)δ (ω) jω
•
运用傅里叶反变换对频率 进行的无穷积分求解困难
优点：求解比较简单， 优点：求解比较简单，特别是对系统的微分 方程进行变换时，初始条件被自动计入。 方程进行变换时，初始条件被自动计入。 • 缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。 缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。 本章主要内容：傅氏变换→拉氏变换、拉氏变换的性质、 本章主要内容：傅氏变换→拉氏变换、拉氏变换的性质、以拉氏变换为 •
3)查拉氏变换表求 (t) f
部分分式法: 部分分式法 1.第一种情况：单阶实数极点 1.第一种情况：单阶实数极点 第一种情况
A(s) F(s) = (s − p1 )(s − p2 )L(s − pn )
p1 , p2 , p3 Lpn为不同的实数根
F(s) = kn k1 k2 + +L+ s − p1 s − p2 s − pn
t
0−
t
c1 f1(t) + c2 f2 (t )
f (at )
c1F1(ω) + c2F2 (ω)
1 ω F a a
c1F1(s) + c2F2 (s)
1 s F a a
(a > 0)
f (t − t0 )
F(ω)e− jωt0
F(s)e−st0
f (t)e−jω0t ↔F(ω+ ω0 )
f ′(t ) jωF(ω)
f (t)e−αt ↔F(s + α)
sF(s) − f (0− )
F(s) f (−1) (0− ) + s s
d F(s) ds
∫
t
−∞
f (τ ) dτ
F(ω) + πF(0)δ (ω) jω
信号系统第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的
四、拉氏变换收敛域
拉氏变换的收敛域：当 ０ 时 lim f (t )e t 0
t
jw
收 敛 轴
收 敛 区
则f (t )e t 在 ０范围内收敛
指出了收敛条件 其中０与f t 有关，
０
0
收 敛 坐 标
过０ 的垂直线为收敛轴，
０在S 平面内称收敛坐标
其中D(s)为分母除去共轭复根剩余部分
部分分式展开法
A( s ) 设F 1 ( s) D( s )
F1 ( s ) 则F ( s ) ( s j )( s j ) 分解 K1 K2 s j s j
+……
部分分式展开法
其中K1,2 F1 ( j ) （留数） 2 j
设一闭合围线的积分路径为无限大圆弧,
则上式中积分等于围线中 被积函数所有极点的留数之和
留数法
即f (t ) F (s)e 的留数
st 极点
若极点s pi处留数为ri , 围线中 有n个极点pi (k阶) 则f (t ) ri ,
i 1 n
d k 1 1 k st ri ( s pi ) F ( s )e k 1 (k 1)! ds
K11 k 1 p1t f c (t ) t e ( k 1) ! K1i k i p1t t e (k i) ! K1k e u (t )
p1t
L1
例题4－4
三、留数法
f (t ) 2 j j 1
j
F ( s)e st ds, t 0
L 3 s 域 平 移性 ：若 f ( t ) F ( s)
第4章 拉普拉斯变换、连续时间
3. 频移 若 L [ f (t )] F ( s) 则 L [ f (t )e t ] F ( s ) 证明 : L [ f (t )e
t
] f (t )e t e st dt
0
f (t )e ( s )t dt F ( s )
F ( s) f (t )e st dt
0
－－－单边拉氏变换
f (t )
2 j j
1
j
F ( s)e st ds
对于某些非因果信号，其单边拉氏变换也从0-时刻开始的，所 以f(t)的单边拉氏变换可以理解为f(t)u(t- 0-)的单边拉氏变换。 单边拉氏变换与傅氏的区别： 傅氏变换将时域函数f(t)变换为频率函数F(ω) ，t和ω都是实 数；拉氏变换将时间函数f(t)变换为复变函数F(s) ，s为复数也称 作“复频率”。 ω只能描述振荡的频率， s不仅能给出振荡频率， 还可以表示振荡幅度的变化。
f1(t ) f2(t )
0
t
0
t0 T+ t 0
t
f3(t )
f4(t )
0
t0
T
t
0
t0
t
解 ：f1(t)、 f4(t)可以直接用公式：
F1 ( s)
s2 2
F4 ( s)
st e s2 2
0
f 2 (t ) sin (t t0 )u (t ) [sin t cos t0 cos t sin t0 ]u (t )
sin (t t0 ) cos t0 cos (t t0 ) sin t0 u (t t0 )
0
第四部分 拉氏变换和连续系统的复频域分析
f (t ) ∗ d f (t ) = (1 − t )e −t u(t ) dt
解： f (t ) ∗ d
1 d 1 s f (t ) −t + ↔ sF 2 (s) ，而 (1 − t )e u (t ) ↔ = dt s + 1 ds s + 1 ( s + 1) 2 所以， sF 2 ( s) = s 2 ⇒ F (s ) = ± 1 ⇒ f (t ) = ±e −tu (t ) ( s + 1) s +1
df (t ) = sin(π t ) ↔ sF (s) − f (0) 而 f (0) = 0 dt
所以 sF ( s ) = £ [ sin(π t ) ] = （5）£ [ tu (2t − 1) ] = −
π π ⇒ F (s ) = 2 2 s +π s(s + π 2 )
2 1 1
− s 1 d d 1 − s 1 £ [ u (2t − 1) ] = − [ e 2 ] = e 2 ( 2 + ) ds ds s s 2s
f (t )
1 1 −2s 1 − e 所以 f (t) ↔ − e −4 e = s +2 s+2 s+2
(e x = 1 + x +
−2 ( s + 2)
1
e−2t
t
1 2 1 3 1 x + x + L + x n + L) 2 3! n!
02Βιβλιοθήκη 表面上一阶零点 z = −2 和一阶极点 p = − 2 ，实际上零极点相消（分子用泰勒级数展 开即可） ，因为有限能量信号的拉氏变换在整个 s 平面上收敛，故无零极点。 7． 求图 5-2 和图 5-3 所示信号的拉氏变换。
解： f (t ) ∗ d
1 d 1 s f (t ) −t + ↔ sF 2 (s) ，而 (1 − t )e u (t ) ↔ = dt s + 1 ds s + 1 ( s + 1) 2 所以， sF 2 ( s) = s 2 ⇒ F (s ) = ± 1 ⇒ f (t ) = ±e −tu (t ) ( s + 1) s +1
df (t ) = sin(π t ) ↔ sF (s) − f (0) 而 f (0) = 0 dt
所以 sF ( s ) = £ [ sin(π t ) ] = （5）£ [ tu (2t − 1) ] = −
π π ⇒ F (s ) = 2 2 s +π s(s + π 2 )
2 1 1
− s 1 d d 1 − s 1 £ [ u (2t − 1) ] = − [ e 2 ] = e 2 ( 2 + ) ds ds s s 2s
f (t )
1 1 −2s 1 − e 所以 f (t) ↔ − e −4 e = s +2 s+2 s+2
(e x = 1 + x +
−2 ( s + 2)
1
e−2t
t
1 2 1 3 1 x + x + L + x n + L) 2 3! n!
02Βιβλιοθήκη 表面上一阶零点 z = −2 和一阶极点 p = − 2 ，实际上零极点相消（分子用泰勒级数展 开即可） ，因为有限能量信号的拉氏变换在整个 s 平面上收敛，故无零极点。 7． 求图 5-2 和图 5-3 所示信号的拉氏变换。
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则有
Fb (s)
f (t)est dt
f (t) 1
2j
j
F j b
(s)est
ds
双边拉 普拉斯 变换对
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
SIGNALS AND SYSTEMS 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
Fb (s) —— f (t) 的双边拉氏变换或象函数 f (t) —— Fb (s) 的双边拉氏逆变换或原函数
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
SIGNALS AND SYSTEMS 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
Fb ( j)
f (t)e( j)t dt
相应的傅立叶逆变换为
f (t) 1
2
Fb (
j)e( j)t d
令 s j, 则 ds jd
系统性能.
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
SIGNALS AND SYSTEMS 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换
在第3章中知道，有些函数不满足绝对可积的条件，
使求解傅立叶变换困难。为此，引入一衰减因子 e t
（ 为实常数）乘以信号 f (t) 。
1 t0 f (t) et t 0
一、傅立叶分析应用条件上的限制： （1）运用傅立叶分析必须满足一定的条件，因而限制
了它的应用范围； （2）对于给定初始状态的系统难于进行频域分析。
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
SIGNALS AND SYSTEMS
4.1 引言
赫维塞德
针对第一个问题——即找到一种新的 变换，既有类似于傅立叶变换的性质，又 能克服在应用上的局限。
FT: 时域函数 f (t) 变量 t
频域函数 F ( j)
变量
（变量 t、 都是实数）
LT: 时域函数 f (t)
复频域函数 F(s)
变量 t
变量s （复频率）
t（实数）
s j（复数）
即： 傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；
拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
第4章 拉氏变换与连续时间系统S域分析
主要内容：
1、拉普拉斯变换 2、拉普拉斯变换的性质 3、拉普拉斯逆变换 4、复频域分析 5、系统函数及其稳定性分析
SIGNALS AND SYSTEMS
4.1 引言
4.1 引言
傅立叶分析可将任意信号分解为不同频率的虚指数 函数之和，使系统响应的求解得到简化；给出的结果有 清楚的物理意义。但也存在明显不足：
将上两式记为
L f (t) Fb (s)
f (t)est dt
L1
Fb (s)
f (t) 1
2j
j
F j b
(s)est
ds
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
SIGNALS AND SYSTEMS 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：
不难看出，只要选取0 ，则信号 f (t)et 在时 间正、负方向上信号幅度趋近于 0，从而使 f (t)et 的
傅立叶变换存在。
于是有
Fb (
j) F[ f (t)et ]
f (t)ete jt dt
f (t)e( j)t dt
(s )t
0
(s )
0
1 [1 lim e e ( )t jt ]
s
t
1,
s
Re[s]
j
收敛坐标
收 敛
域
不定
0
无界
收敛边界
可见，对于因果信号，仅当 Re[s] 时，其拉氏变
换存在。
SIGNALS AND SYSTEMS 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
拉普拉斯变换的优点：
（1）问题求解简化；初始条件被自动计入，应 用更加普遍;
（2）把微分、积分方程转化为代数方程； （3）将复杂函数转化为简单的初等函数； （4）将卷积转化为乘法运算; （5）利用系统函数零、极点分布可以简明描述
Fb (s)
SIGNALS AND SYSTEMS
4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
二、双边拉普拉斯变换及其收敛域
当函数 f (t) 乘以一衰减因子 et 后，只有 满足
一定的条件，才能使信号 f (t) 收敛，其积分存在，它的
拉普拉斯变换才存在。
使 Fb (s) 存在 的取值范围，称为双边拉普拉斯
s t
e(s )t 0
(s ) j
无界 Re[s]
变换的收敛域。
下面举例说明 Fb (s) 的收敛问题。
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
SIGNALS AND SYSTEMS 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
例题4-2-1 已知因果信号 f1(t) etu(t) ，求其拉氏变换。
解：Fb1(s)
etest dt
0
e dt e (s )t
et
t 0
f (t) e( )t t 0
f (t) 1
et
0
u(t) e t
t
e( )t 1
f (t)et e t u (t )
0
t
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
SIGNALS AND SYSTEMS 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换
19世纪末，英国电气工程师赫维塞德 （O. Heaviside 1850-1925）发明了“运算 法”（算子法）以解决运算中的问题。
赫维塞德算子法的数学基础是来源 于法国数学家拉普拉斯（place, 1749-1825）的研究。
拉普拉斯变换由此建立起来。
拉普拉斯
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
SIGNALS AND SYSTEMS 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
例题4-2-2 反因果信号 f2 (t) etu(t)，求其拉氏变换。
解：Fb2 (s)
0 etest dt
0 e(s )t dt
1 [1 lim e e ( )t jt ]