2020届辽宁凌源市高三毕业班一模抽考数学(文)模拟试题word版有答案(精品)

凌源市教育局高三“抽考”
数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
320A x N x =∈->，{
}
2
4B x x =≤，则A B =U （ ）
A ．{}
21x x -≤< B ．{}2x x ≤ C ．{}
22x x -≤≤ D ．{}0,1 2.设i 是虚数单位，若复数()21i
a a R i
+
∈-是纯虚数，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2
3.已知[],0,2x y ∈，则事件“1x y +≤”发生的概率为（ ） A ．
116 B ．18 C ．1516 D ．78
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
122π+ B ．12
π
+ C. 1π+ D ．2π+ 5.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2x =， 1.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A ．0.6 1.1y x =+
B ．3 4.5y x =- C.2 5.5y x =-+ D ．0.4 3.3y x =-+
6.已知2AB =u u u r ，1CD =u u u r ，且223AB CD -=u u u r u u u r AB u u u r 和CD uuu
r 的夹角为（ ）
A ．30o
B ．60o C.120o D ．150o
7.已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F
，点(0A .若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则MF =（ ） A ．
43 B
2
3
D
8.设x ，y 满足约束条件10,
10,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则目标函数23z x y =-的最小值是（ ）
A ．7-
B ．6- C.5- D ．3- 9.已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．()372,288k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．()32,288k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
C.()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦ D ．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
10.已知双曲线C 的中心在原点O ，
焦点()
F -，点A 为左支上一点，满足OA OF =，且4AF =，则双曲线C 的方程为（ ）
A ．
221164x y -= B ．2213616x y -= C.221416x y -= D ．22
11636
x y -= 11.在锐角ABC △中，内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-，
若a =
22b c +的取值范围是（ ）
A ．(]3,6
B ．()3,5 C.(]5,6 D ．[]5,6
12.已知函数()x e f x x
=，若关于x 的方程()()2223f x a a f x +=有且仅有4个不等实根，则实数a 的取
值范围为（ ）
A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.()0,e D ．()0,+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.sin 47sin17cos30cos17-o o o o
的值等于 ．
14.执行如图所示的程序框图，若输入1S =，1k =，则输出的S 为 ．
15.若一圆锥的体积与一球的体积相等，且圆锥底面半径与球的半径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为 ．
16.若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则32
1
a b +
-的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()131
22
n n S a a n N *=-∈，且11a -，22a ，37a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令()
92log n n b a n N *=∈，求数列11n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
18. 如图，在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=o
，2CD =，1AD AB ==，四边形BDEF 为正方形，且平面BDEF ⊥平面ABCD . （1）求证：DF CE ⊥；
（2）若AC 与BD 相交于点O ，那么在棱AE 上是否存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ？并说明理由.
19. 某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间.现将数据分成五组，第一组[)50,55，第二组[)55,60，…，第五章[]70,75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为:4:10a .
（1）求a 的值，并求这50名同学心率的平均值；
（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.
心率小于60次/分 心率不小于60次/分 合计
体育生 20 艺术生 30 合计
50
参考数据：
()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：()()()()()
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
20. 已知直线:l y kx m =+与椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>相交于A ，P 两点，与x 轴，y 轴分别相交
于点N ，M ，且，PM MN =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，
B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B .
（1）若椭圆C 的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点312D ⎛⎫
⎪⎝⎭
，在椭圆C 上，求椭圆
C 的方程；
（2）当1
2
k =
时，若点N 平方线段11A B ，求椭圆C 的离心率. 21. 已知函数()x
f x xe =.
（1）讨论函数()()x
g x af x e =+的单调性；
（2）若直线2y x =+与曲线()y f x =的交点的横坐标为t ，且[],1t m m ∈+，求整数m 所有可能的值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,
sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐
标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为
sin 34πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭.
（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；
（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.
（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；
（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.
试卷答案
一、选择题
1-5:CBBDC 6-10:CABDC 11、12：CB 二、填空题 13.
1
2
14.57
4
16.1 三、解答题 17.解：（1）由131
22
n n S a a =
-，得123n n S a a =-. 由()11
112=3,
232,n n n n S a a S a a n ---⎧⎪⎨=-≥⎪⎩作差得()132n n a a n -=≥.
又11a -，22a ，37a +成等差数列，所以213417a a a =-++， 即11112197a a a =-++，解得13a =.
所以数列{}n a 是以3为首项、公比为3的等比数列，即3n n a =. （2）由992log 2log 3n
n n b a n ===，得
1111
1
n n b b n n +=-+， 于是11111122311
n n
T n n n =-
+-++-=
++L . 18.（1）证明：连接EB .
∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=o ，2CD =，1AD AB ==，
∴BD =
BC =∴222BD BC CD +=，∴BC BD ⊥.
又∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF I 平面ABCD BD =，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面BDEF ，∴BC DF ⊥.
又∵正方形BDEF 中，DF EB ⊥且EB ，BC ⊂平面BCE ，EB BC B =I ， ∴DF ⊥平面BCE .
又∵CE ⊂平面BCE ，∴DF CE ⊥.
（2）解：如图所示，在棱AE 上存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ，且1
2
AG GE =. 证明如下：
∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=o ，2CD =，1AB =， ∴//AB DC ，∴
1
2
AO AB OC DC ==. 又∵
12AG GE =，∴AO AG
OC GE
=
，∴//OG CE . 又∵正方形BDEF 中，//EF OB ，且OB ，OG ⊄平面EFC ，EF ，CE ⊂平面EFC ， ∴//OB 平面EFC ，//OG 平面EFC ， 又∵OB OG O =I ，且OB ，OG ⊂平面OBG ， ∴平面//OBG 平面EFC .
19.解（1）因为第二组数据的频率为0.03250.16⨯=，故第二组的频数为0.16508⨯=，由已知得，前三组频数之比为:4:10a ，所以第一组的频数为2a ，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的数为4.所以2502016842a =----=，解得1a =. 这50名同学心率的平均值为
2820164
52.557.562.567.572.5=63.75050505050
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯. （2）由（1）知，第一组和第二组的学生（即心率小于60次/分的学生）共10名，从而体育生有100.8=8
⨯
名，故列联表补充如下.
所以()
2508282128.3337.87910402030
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
故有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关.
20.解：（1）由题意得22222,1
91,4,b a b a b c ⎧=⎪
⎪+=⎨⎪⎪=+⎩
∴223,4,
b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=. （2）当12k =
时，由1
2
y x m =+，得()0,M m ，()2,0N m -. ∵PM MN =，
∴()2,2P m m ，()2,2Q m m -， ∴直线QM 的方程为3
2
y x m =-
+. 设()11,A x y ，由22
22
1,21,y x m x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2222222
104
a b x a mx a m b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， ∴2122424a m
x m a b -+=+，∴()
22122
2344m a b x a b
+=-+； 设()22,B x y ，由22
22
3,21,
y x m x y a b ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2222222
9304a b x a mx a m b ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， ∴222212294a m
x m a b +=+，∴()
22222
23494m a b x a b
+=-+. ∵点N 平方线段11A B ，∴124x x m +=-，
∴()()22222
2
2
2
2342344494m a b m a b m a b
a b
++-
-
=-++，∴2234a b =，
∴13x m =-，112y m =-
，代入椭圆方程得2221
7
m b b =<，符合题意. ∵222a b c =+，∴2a c =，∴1
2
c e a =
=. 21.解：（1）由题意，知()()x
x
x
g x af x e axe e =+=+，∴()()'
1x
g x ax a e =++. ①若0a =时，()'
x
g x e =，()'
0g x >在R 上恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增；
②若0a >时，当1a x a
+>-时，()'
0g x >，函数()g x 单调递增， 当1a x a
+<-
时，()'
0g x <，函数()g x 单调递减； ③若0a <时，当1a x a
+>-时，()'
0g x <，函数()g x 单调递减； 当1a x a
+<-
时，()'
0g x >，函数()g x 单调递增. 综上，若0a =时，()g x 在R 上单调递增； 若0a >时，函数()g x 在1,a a +⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,a a +⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
内单调递增； 当0a <时，函数()g x 在区间1,a a +⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a a +⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
内单调递减.
（2）由题可知，原命题等价于方程2x xe x =+在[],1x m m ∈+上有解， 由于0x e >，所以0x =不是方程的解， 所以原方程等价于210x e x --=，令()2
1x r x e x
=--， 因为()'2
2
0x r x e x =+
>对于()(),00,x ∈-∞+∞U 恒成立， 所以()r x 在(),0-∞和()0,+∞内单调递增. 又()130r e =-<，()2
220r e =->，()3
11303r e -=
-<，()21
20r e
-=>， 所以直线2y x =+与曲线()y f x =的交点仅有两个， 且两交点的横坐标分别在区间[]1,2和[]3,2--内， 所以整数m 的所有值为3-，1.
22.解：（1）因为2
222
cos sin 1
y θθ+=+=，
所以曲线C 的普通方程为2
213
x y +=；
sin 34πθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=， 因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=. （2
）设)
,sin P
θθ，
则点P 到直线l
的距离为d =
=≤ 当且仅当sin 13πθ⎛
⎫
-
=- ⎪⎝
⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 因此点P 到直线l
的距离的最大值为
2
. 23.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤， 解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.
（2）证明：（解法一）()()()
2
2
2
2
22
2
2
1111m n mn m n m n m n +-+=+--=---.
因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤， 所以()()
22110m n ---≤，()22
1m n mn +≤+. 又10mn +≥，故1m n mn +≤+.
（解法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤， 而()()()1110m n mn m n +-+=--≤
()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，
即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。