2017年内蒙古呼和浩特市高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2016-2017学年内蒙古呼和浩特市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＞0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．B．（﹣3，+∞）C．（3，+∞）D．2．（5分）设z1、z2∈C，则“z1+z2是实数”是“z1与z2共轭”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．（5分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4﹣S1=7a2，a3=5，则S n=（）A．B．C．D．4．（5分）若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．5．（5分）在等差数列{a n}中，S n为它的前n项和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（）•﹣2=，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形7．（5分）函数f（x）=ax2+x（a≠0）与在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）放射性元素一般都有一个半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间）．已知一种放射性元素的质量按每年10%衰减，那么这种放射性元素的半衰期是（）年（精确到0.1，已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）．A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.39．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D，点集T={（x 0，y0）∈D|x0，y0∈Z．（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}则T中的点的纵坐标之和为（）A．12 B．5 C．10 D．1110．（5分）已知函数f（x）=cos（2x+φ），|φ|≤，若f（﹣x）=﹣f（x），则要得到y=sin2x的图象只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位11．（5分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．若△ABC的面积S=10，则△ABC的周长为（）A．10 B． C． D．1212．（5分）函数，满足，其中，则n的最大值为（）A．13 B．12 C．10 D．8一、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量，若，则等于．14．（5分）《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第六日所走时数为里．15．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为．16．（5分）已知f（x）=，各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），若a2010=a2012，则a1800+a15的值是．二、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=ax﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=e2，当x∈（0，e]时，求函数f（x）的最小值．18．（12分）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．19．（12分）在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，求函数在上的最大值；（Ⅱ）若函数的周期为π，求函数g（x）的单调递增区间，并直接写出g（x）在的零点个数．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．选做题（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线I的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2，点P关于极点对称的点P'的极坐标为（1）写出圆C的直角坐标方程及点P的极坐标；（2）设直线I与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]23．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集为空集．（1）求实数a的取值范围；（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|2016-2017学年内蒙古呼和浩特市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＞0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．B．（﹣3，+∞）C．（3，+∞）D．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＞0}={x|＜1或x＞3}，B={x|2x﹣3＞0}={x|x＞}，则A∩B={x|＞3}=（3，+∞）．故选：C．2．（5分）设z1、z2∈C，则“z1+z2是实数”是“z1与z2共轭”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：设z1=a+bi（a，b∈R），z2=c+di（c，d∈R），则z1+z2=（a+c）+（b+d）i，∵z1+z2为实数，∴d=﹣b，z2=c﹣bi，∴z1=a+bi，z2=c﹣bi，z1、z2不一定是共轭虚数，反之，若z1、z2是共轭虚数，则z1+z2是实数”成立，故“z1+z2是实数”是“z1与z2共轭”的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4﹣S1=7a2，a3=5，则S n=（）A．B．C．D．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，q≠1，∵S4﹣S1=7a2，a3=5，∴a4+a3+a2=7a2，即=6a2，=5，联立解得q=2，a1=．则S n==5×2n﹣2﹣．故选：D．4．（5分）若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．【解答】解：∵α∈（，π），且3cos2α=4sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），化简可得：3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，解得：sin2α=﹣，故选：C．5．（5分）在等差数列{a n}中，S n为它的前n项和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0，即S16=，S17==17a9＜0，∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大．故选：B．6．（5分）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（）•﹣2=，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解答】解：由（）•﹣2=，可得==0从而可得以为邻边作平行四边形的对角线与垂直从而可得||故选：C．7．（5分）函数f（x）=ax2+x（a≠0）与在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵由图象可得函数在R上单调递减，∴a＜0，则0＜＜1，∴﹣1＜＜0，即a＜﹣1，故二次函数f（x）=ax2+x（a≠0）开口向下，二次函数的零点分别为0和﹣，且﹣∈（0，1），故选：C．8．（5分）放射性元素一般都有一个半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间）．已知一种放射性元素的质量按每年10%衰减，那么这种放射性元素的半衰期是（）年（精确到0.1，已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）．A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.3【解答】解：设这种放射性元素的半衰期为n，则（1﹣10%）n=0.5，即，∴n====6.6．故选：B．9．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D，点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z．（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}则T中的点的纵坐标之和为（）A．12 B．5 C．10 D．11【解答】解：如图，作出不等式组对应的平面区域如图，则使z=x+y取得最小值的点仅有一个（0，1），使z=x+y取得最大值的点有无数个，但属于集合T的只有5个，（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），T中的点的纵坐标之和为：1+4+3+2+1=11．故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=cos（2x+φ），|φ|≤，若f（﹣x）=﹣f（x），则要得到y=sin2x的图象只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：函数f（x）=cos（2x+φ），|φ|≤，由，可得cos[2（﹣x）+φ]=﹣cos（2x+φ），整理得：cos（φ）=﹣cos（2x+φ）=cos（π﹣（2x+φ]∵φ|≤，∴令φ=π﹣（2x+φ）解得：φ=故函数f（x）=cos（2x）=sin（2x+）=sin（2x）=sin2（x）向右平移个单位可得到sin2x．故选：B．11．（5分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．若△ABC的面积S=10，则△ABC的周长为（）A．10 B． C． D．12【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则由CD=bsinA=4，BD=acosB=3，∴在Rt△BCD中，a=BC==5，∵由面积公式得S=×AB×CD=×AB×4=10，得c=AB=5，又acosB=3，得cosB=，由余弦定理得：b===2，△ABC的周长l=5+5+2=10+2．故选：C．12．（5分）函数，满足，其中，则n的最大值为（）A．13 B．12 C．10 D．8【解答】解：函数=﹣sin3x，当时，可得图象上的点（x i，f（x1））与原点连线的斜率为定值m，故当n最大时，m=0，点（x i，f（x i））为f（x）的图象与x轴的交点（原点除外）；∵函数f（x）=sin3x的周期为，故[﹣2π，2π]包含6个周期，所以满足的点（x i，f（x i））共有12个，即n的最大值为12．故选：B．一、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量，若，则等于2．【解答】解：根据题意，向量，且，则有x2=1×3=3，解可得x=±，则==2；故答案为：2．14．（5分）《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第六日所走时数为150里．【解答】解：设该男子第一日走a1里，后一日比前一日多走d里，则由等差数列的性质，得：，解得d=10，a1=100，∴a6=100+50=150．故答案为：150．15．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞）内单调递减．因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．16．（5分）已知f（x）=，各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），若a2010=a2012，则a1800+a15的值是．．【解答】解：∵f（x）=，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），∴a1=1，a3=，a5=，a7=，…，a15=．∵a2010=a2012，∴a2010=，∴a2010=（负值舍去），由a2010=，得a2008=，…，a1800=．∴a1800+a15=．故答案为：．二、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=ax﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=e2，当x∈（0，e]时，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=a﹣=（x＞0），①当a≤0时，由于x＞0，故ax﹣1＜0，f'（x）＜0，所以，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），②当a＞0时，由f'（x）=0，得x=，在区间（0，）上，f'（x）＜0，在区间（，+∞）上，f'（x）＞0，所以，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞），综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；（Ⅱ）a=e2时，f（x）=e2x﹣lnx，f′（x）=（e2x﹣1），（x＞0），∵e2＞0，由（Ⅰ）得：f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）min=f（）=3．18．（12分）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．【解答】解：（I）当q=1时，S n=na1；当q≠0，1时，由S n=a1+a2+…+a n，得qS n=a1q+a2q+…+a n﹣1q+a n q．两式错位相减得（1﹣q）S n=a1+（a2﹣a1q）+…+（a n﹣a n﹣1q）﹣a n q，（*）由等比数列的定义可得，∴a2﹣a1q=a3﹣a2q= 0∴（*）化为（1﹣q）S n=a1﹣a n q，∴．∴；（Ⅱ）用反证法：设{a n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a n+1}是等比数列．①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，数列{a n+1}不是等比数列．②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，则==，化为（q n﹣1﹣1）（q﹣1）=0，∵q≠1，∴q﹣1≠0，q n﹣1﹣1≠0，故矛盾．综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．19．（12分）在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，，（2分）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，（3分）∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得，即，（5分）由b2=ac知，b不是最大边，∴．（6分）（2）∵△ABC外接圆的面积为4π，∴△ABC的外接圆的半径R=2，（7分）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，又b2=ac，∴，当且仅当a=c时取等号，∵B为△ABC的内角，∴，（9分）由正弦定理，得b=4sinB，（10分）∴△ABC的面积，（11分）∵，∴，∴．（12分）20．（12分）已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，求函数在上的最大值；（Ⅱ）若函数的周期为π，求函数g（x）的单调递增区间，并直接写出g（x）在的零点个数．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinωx，ω=1时，则f（x）=2sinx，那么：函数=2sinx+4cos2x=4﹣4sin2x+2sinx，令t=sinx，∵x在上，∴﹣1≤t≤0则函数F（x）转化为h（t）=﹣4t2+2t+4，对称轴t=，∵﹣1≤t≤0，∴h（t）的最大值为h（0）max=4，即ω=1，求函数在上的最大值为4．（Ⅱ）=2﹣2sinωx+cosωx，∵周期为π，即T=，解得：ω=2∴函数g（x）=2﹣2sin2x+cos2x=2﹣4sin（2x﹣）=4sin（2x+）+2．∵2x+）∈[2k，]是单调递增区间，即2k≤2x+≤解得：≤x≤函数g（x）的单调递增区间位[，]，k∈Z．令g（x）=0，即4sin（2x+）+2=0，解得：2x+=2kπ﹣或者2x+=2kπ﹣，k∈Z．∵x在上．当k取2，3…6时，2x+=2kπ﹣满足要求．当k取2，3…6时，2x+=2kπ﹣满足要求．故得g（x）在上有10零点个数．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．【解答】（Ⅰ）解：∵，∴f′（x）=，∴f′（0）=0，f（0）=1∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（Ⅱ）证明：当x＜1时，由于＞0，e x＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．下面证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即证＜．此不等式等价于（1﹣x）e x﹣＜0．令g（x）=（1﹣x）e x﹣，则g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．即（1﹣x）e x﹣＜0．∴∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）．从而，f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．选做题（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线I的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2，点P关于极点对称的点P'的极坐标为（1）写出圆C的直角坐标方程及点P的极坐标；（2）设直线I 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 【解答】解：（1）圆C 的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x 2+y 2=4； 点P 关于极点对称的点P'的极坐标为，则P （）；（2）点P 化为直角坐标为P （1，1） 将代入x 2+y 2=4，得：，所以，点P 到A 、B 两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]23．如果关于x 的不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|≤|a |的解集为空集． （1）求实数a 的取值范围；（2）若实数b 与实数a 取值范围完全相同，求证：|1﹣ab |＞|a ﹣b |【解答】解：（1）由于|x ﹣3|+|x ﹣4|≤表示数轴上的x 对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，由于关于x 的不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|≤|a |的解集为空集， 故|a |＜1，求得﹣1＜a ＜1．（2）若实数b 与实数a 取值范围完全相同，即﹣1＜b ＜1，即|b |＜1，|1﹣ab |＞|a ﹣b |，等价于 （1﹣ab ）2＞（a ﹣b ）2，等价于1+a 2b 2﹣a 2﹣b 2＞0， 等价于 （1﹣a 2）（1﹣b 2）＞0．由于（1﹣a 2）＞0，且（1﹣b 2）＞0，故（1﹣a 2）（1﹣b 2）＞0成立，即|1﹣ab |＞|a ﹣b |成立．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。