2014-2015学年度上学期期中考试高三数学试卷
【数学】2014-2015年湖北省黄冈中学高三(上)期中数学试卷与答案(理科)
2014-2015学年湖北省黄冈中学高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）2．（5分）已知a是第二象限角，，则cosα=（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（5分）函数f（x）=log3（2x+1）的值域为（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）4．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣15．（5分）函数的零点所在的区间是（）A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）6．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．87．（5分）已知函数f（x）=，则（）A．B．C．D．8．（5分）下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于；④已知向量，，则向量在向量方向上的投影是．说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）10．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）11．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=．13．（5分）函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）的单调增区间是．14．（5分）已知△ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sinA=，则cosB=．15．（5分）定义函数f（x）={x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{﹣2.5}=﹣2．当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则=．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．17．（12分）已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S3=2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），且{b n}的前n项和T n．求证：T n≥2．18．（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．19．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．20．（13分）已知函数f（x）=lnx+cosx﹣（﹣）x的导数为f′（x），且数列+a n=nf′（）+3（n∈N*）．{a n}满足a n+1（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意n∈N*，都有≥4成立，求a1的取值范围．21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．（Ⅰ）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1）n∈N，求n；（Ⅲ）当b=a﹣2时，若x1，x2是F（x）的两个极值点，当|x1﹣x2|＞1时，求证：|F（x1）﹣F（x）|＞3﹣4ln2．2014-2015学年湖北省黄冈中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C．2．（5分）已知a是第二象限角，，则cosα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵α为第二象限角，tanα=﹣，∴cosα=﹣=﹣．故选：B．3．（5分）函数f（x）=log3（2x+1）的值域为（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵2x+1＞1恒成立，∴函数的定义域是R，∵函数y=log3x在定义域上是增函数，∴y＞log31=0，则原函数的值域是（0，+∞）．故选：A．4．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣1【解答】解：由题意可得，∴，故有，∴mn=1，故选：C．5．（5分）函数的零点所在的区间是（）A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）【解答】解：∵函数，∴f（2）==＜0，f（3）==＞0，∴f（2）f（3）＜0由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为（2，3）故选：B．6．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：依题意可得b n=qb n，则数列{b n}为等比数列．+1又，则b50=2．∴，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=，则（）A．B．C．D．【解答】解：（x+1）2dx+dx，∵（x+1）2dx=（x+1）3|=，dx表示以原点为圆心以1为为半径的圆的面积的四分之一，故dx=π，∴（x+1）2dx+dx==，故选：B．8．（5分）下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于；④已知向量，，则向量在向量方向上的投影是．说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x≤0”，故命题①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，∴“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不一定都真，∴不一定有“p且q为真”，∴命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），∴2α=，∴α=，∴幂函数为，∴，∴命题③正确；④向量在向量方向上的投影是，其中θ是和的夹角，故④错误．∴正确的命题有一个．故选：A．9．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．10．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R 有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）11．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=，n∈N*．【解答】解：设，代入4a2=4a1+a3，解得q=2，∴，n∈N*．故答案为：，n∈N*．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=﹣．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得•T=•=3﹣1，ω=．再根据五点法作图可得×1+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣），∴f（2）=sin（﹣）=sin=﹣sin=﹣，故答案为：﹣．13．（5分）函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）的单调增区间是（0，+∞）．【解答】解：由x+1＞0，得：f（x）定义域为（﹣1，+∞），又，∵x＞﹣1，∴x+1＞0且x+2＞0，由f′（x）=0得x=0，令f′（x）＞0得x＞0∴增区间为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．14．（5分）已知△ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sinA=，则cosB=．【解答】解：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理2sinA=，可得2a++3c=，则2a+=﹣3c=﹣3c（﹣），即（2a﹣3c）=，又因∵不共线，则2a﹣3c=0，，即2a==3c∴，，∴．故答案为：．15．（5分）定义函数f（x）={x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{﹣2.5}=﹣2．当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则=．【解答】解：由题意易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以A1={1}，a1=1；当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以A2={1，3，4}，a2=3；当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，所以A3={1，3，4，7，8，9}，a3=6；当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，所以A4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a4=10；当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，所以A 5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a5=15，由此类推：a n=a n﹣1+n，所以a n﹣a n﹣1=n，即a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1=n，以上n﹣1个式子相加得，a n﹣a1=，解得，所以，则，故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（0）=3得，c=3．∴f（x）=ax2+bx+3．又f（x+1）﹣f（x）=4x+1，∴a（x+1）2+b（x+1）+3﹣（ax2+bx+3）=4x+1，即2ax+a+b=4x+1，∴，∴．∴f（x）=2x2﹣x+3．（2）f（x）＞6x+m等价于2x2﹣x+3＞6x+m，即2x2﹣7x+3＞m在[﹣1，1]上恒成立，令g（x）=2x2﹣7x+3，则g（x）min=g（1）=﹣2，∴m＜﹣2．17．（12分）已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S3=2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），且{b n}的前n项和T n．求证：T n≥2．【解答】（1）解：设公比为q，由题意：q＞1，a1=1，则a 2=q，，∵S3=2S2+1，∴a1+a2+a3=2（a1+a2）+1，…（2分）则1+q+q2=2（1+q）+1，解得：q=2或q=﹣1（舍去），∴．…（4分）（2）证明：b n=2n﹣1+a n=2n﹣1+2n﹣1，…（6分）=+=n2+2n﹣1．…（8分）又∵在[1，+∞）上是单调递增的，∴T n≥T1=2，∴T n≥2．…（10分）18．（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．【解答】解：（1）∵∴∴（2分）（6分）（2）由正弦定理得，（a＜b，即A＜B），所以A=（9分）∵∴所以（12分）19．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【解答】解：（1）设每件定价为t元，依题意得（8﹣）x≥25×8，整理得t2﹣65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（2）依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8+50+（x2﹣600）+x有解，等价于x＞25时，a≥+x+有解．由于+x≥2 =10，当且仅当=，即x=30时等号成立，所以a≥10.2．当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．20．（13分）已知函数f（x）=lnx+cosx﹣（﹣）x的导数为f′（x），且数列{a n}满足a n+1+a n=nf′（）+3（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意n∈N*，都有≥4成立，求a1的取值范围．【解答】解：函数f（x）=lnx+cosx﹣（﹣）x，∴，则，故a n+1+a n=4n+3（1）若数列{a n}是等差数列，由a n+1+a n=4n+3得（a1+nd）+[a1+（n﹣1）d]=4n+3，解得：（2）由．得a n+2+a n+1=4n+7两式相减，得a n+2﹣a n=4故数列{a2n﹣1}是首项为a1，公差为4的等差数列．数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列，由a2+a1=7，a1=2，得a2=5，所以①当n为奇数是，a n=2n，an+1=2n+3.=；②当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+…+a n=；（3）由（2）知，，①当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，a n+1=2n+5﹣a1．由．令，∴f（n）max=f（1）=﹣21，∴．解得．②当n为偶数时，a n=2n+3﹣a1，a n +1=2n+a1．由．令，∴g（n）max=g（2）=﹣21，∴解得a1∈R综上，a1的取值范围是．21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．（Ⅰ）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1）n∈N，求n；（Ⅲ）当b=a﹣2时，若x1，x2是F（x）的两个极值点，当|x1﹣x2|＞1时，求证：|F（x1）﹣F（x）|＞3﹣4ln2．【解答】解：（I），g'（x）=2x+b…（1分）由题知，即…（2分）解得（II）F（x）=f（x+1）﹣g（x）=alnx﹣（x2+bx），由题知，即解得a=6，b=﹣1…（6分）∴F（x）=6lnx﹣（x2﹣x），=∵x＞0，由F'（x）＞0，解得0＜x＜2；由F'（x）＜0，解得x＞2∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，故F（x）至多有两个零点，其中x1∈（0，2），x2∈（2，+∞）…（7分）又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3﹣1）＞0，F（4）=6（ln4﹣2）＜0∴x0∈（3，4），故n=3 …（9分）（III）当b=a﹣2时，F（x）=alnx﹣[x2+（a﹣2）x]，=，由题知F'（x）=0在（0，+∞）上有两个不同根x1，x2，则a＜0且a≠﹣2，此时F'（x）=0的两根为﹣，1，…（10分）由题知|﹣﹣1|＞1，则+a+1＞1，a2+4a＞0又∵a＜0，∴a＜﹣4，此时﹣＞1则F（x）与F'（x）随x的变化情况如下表：（﹣∴|F（x1）﹣F（x2）|=F（x）极大值﹣F（x）极小值=F（﹣）﹣F（1）=aln（﹣）+a2﹣1，…（11分）设，则，，∵a＜﹣4，∴＞﹣，∴＞0，∴Φ'（a）在（﹣∞，﹣4）上是增函数，Φ'（a）＜Φ'（﹣4）=ln2﹣1＜0从而Φ（a）在（﹣∞，﹣4）上是减函数，∴Φ（a）＞Φ（﹣4）=3﹣4ln2∴|F （x 1）﹣F （x ）|＞3﹣4ln2．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
【数学】2014-2015年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷与答案(理科)
2014-2015学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（1，2]D．[﹣1，1）2．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．33．（5分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5=（）A．10 B．13 C．20 D．254．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位5．（5分）设a=（），b=log2，c=log23，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（5分）设a，b∈R，则“ab＞0，且a＞b”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，+∞）C．C（0，1）D．（0，）8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g （n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数z=，则|z|=．10．（5分）已知函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称，则实数a的值是．11．（5分）（x+sinx）dx=．12．（5分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C=，则经过h后池水中药品的浓度达到最大．13．（5分）如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC．若=m+n （m，n∈R），则m﹣n=．14．（5分）已知函数f（x）=Asin（xω+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，设集合M={直线l|l为曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线，x0∈[0，π）]．若集合M中有且只有两条直线互相垂直，则ω=；A=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣sin（x+）（1）求f（）的值；（2）求f（x）的单调递增区间．16．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=，且a1，a3，﹣a2成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n﹣n}的前n项和S n．17．（13分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．18．（14分）已知函数f（x）=2alnx﹣x2+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；（3）若f（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n=1，2，3，…）（1）求a1的值；（2）求证：（n﹣2）a n+1=（n﹣1）a n（n≥2）；﹣1（3）判断数列{a n}是否为等差数列，并说明理由．20．（14分）设函数f（x）=，L为曲线C：y=f（x）在点（﹣1，）处的切线．（1）求L的方程；（2）当x＜﹣时，证明：除切点（﹣1，）之外，曲线C在直线L的下方；（3）设x1，x2，x3∈R，且满足x1+x2+x3=﹣3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最大值．2014-2015学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（1，2]D．[﹣1，1）【解答】解：由题意得，集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B={x∈R|1＜x≤2}=（1，2]，故选：C．2．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，∴6﹣x=3，∴x=3．故选：D．3．（5分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5=（）A．10 B．13 C．20 D．25【解答】解：由等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，∴a3+a5=a1q2+a3q2=q2（a1+a3）=20，故选：C．4．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选：B．5．（5分）设a=（），b=log2，c=log23，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵0＜a=（）＜1，b=log2＜0，c=log23＞1，∴c＞a＞b．故选：B．6．（5分）设a，b∈R，则“ab＞0，且a＞b”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a＞b，ab＞0，∴＞，∴＞，即＜；是充分条件，若＜，则﹣＜0，∴＜0，∴或，不是必要条件，故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，+∞）C．C（0，1）D．（0，）【解答】解：作出函数f（x）的图象，如右图：作出直线y=a（x+1），则直线恒过（﹣1，0），关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为当直线与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，当直线与曲线y=相切时，设切点为（m，），则y′=，则切线斜率为=a，又a（m+1）=，由此解得，a=（负的舍去），故a的取值范围是（0，）．故选：D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g （n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值【解答】解：由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4，由a7=0.7，a8=﹣0.4，可得d=﹣1.1，a1=7.3．∴S7=＞0，与S7=﹣0.8，矛盾，舍去．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．由S7=﹣0.8，S8=﹣0.4，可得a8=0.4，∴=﹣0.4，解得a1=﹣0.5，∴a8=﹣0.5+7d，解得d=≠0.4﹣0.7=﹣0.3，矛盾，舍去．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得=0.7，解得a1=1，∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）=0.4，矛盾，舍去．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得，解得a1=1．∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，∴a8=﹣0.8﹣0.3=﹣1.1，∴S8=0.7﹣1.1=﹣0.4，满足条件．∴a n=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（n﹣1）=1.3﹣0.3n≥0，解得=4+，因此当n=4时，S n取得最大值．故选：A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数z=，则|z|=．【解答】解：z==，∴．故答案为：．10．（5分）已知函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称，则实数a的值是0．【解答】解：∵函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称，∴函数y=2|x+a|为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即2|x+a|=2|﹣x+a|，即|x+a|=|﹣x+a|=|x﹣a|恒成立，故a=0，故答案为：011．（5分）（x+sinx）dx=0．【解答】解：（x+sinx）dx=（﹣cosx）=﹣cosπ﹣[﹣cos （﹣π）]=0故答案为：0．12．（5分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C=，则经过2h后池水中药品的浓度达到最大．【解答】解：C===5，当且仅当t=2时取等号．因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．13．（5分）如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC．若=m+n （m，n∈R），则m﹣n=﹣2．【解答】解：在△ABC中，∵BD=2DC，∴=，又∵=﹣，∴=+=+=+（﹣），∴=﹣，∴=﹣=﹣+；又∵=m+n，∴m=﹣，n=，∴m﹣n=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知函数f（x）=Asin（xω+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，设集合M={直线l|l为曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线，x0∈[0，π）]．若集合M中有且只有两条直线互相垂直，则ω=2；A=．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（xω+φ）的最小正周期为π，∴，即ω=2．∴f（x）=Asin（2x+φ），f′（x）=2Acos（2x+φ），∵曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线x0∈[0，π）]有且只有两条直线互相垂直，∴f′（x）=2Acos（2x+φ）的最大值为1，即A=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣sin（x+）（1）求f（）的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）f（）=sin﹣sin（+）=1﹣=．（Ⅱ）f（x）=sinx﹣sin（x+）=sinx﹣（sinxcos）=sinx﹣（sinx+cosx）=sinx﹣cosx=sin（x﹣）函数y=sinx的单调递增区间为[2k，2k]（k∈Z）由2k≤x﹣≤2k，（k∈Z）得：2kπ（k∈Z）所以f（x）的单调递增区间为[2kπ]（k∈Z）．16．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=，且a1，a3，﹣a2成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n﹣n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1，a3，﹣a2成等差数列．∴2a3=a1﹣a2，设等比数列{a n}的公比q＞0，则，化为2q2+q﹣1=0，解得q=．∴=．（2）a n﹣n=﹣n．∴其前n项和S n=﹣=﹣．17．（13分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．【解答】解：（1）因为∠D=2∠B，cos∠B=，所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣．…（3分）因为∠D∈（0，π），所以sinD=．…（5分）因为AD=1，CD=3，所以△ACD的面积S===．…（7分）（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12．所以AC=2．…（9分）因为BC=2，，…（11分）所以=．所以AB=4．…（13分）18．（14分）已知函数f（x）=2alnx﹣x2+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；（3）若f（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2lnx﹣x2+1，f′（x）=，（x＞0），令f′（x）＜0．∵x＞0，∴x2﹣1＞0，解得：x＞1，∴函数f（x）的单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅱ）f′（x）=，（x＞0），令f′（x）=0，由a＞0，解得x1=，x2=﹣（舍去），①当≤1，即0＜a≤1时，在区间[1，+∞）上f′（x）≤0，函数f（x）是减函数．所以函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；②当＞1，即a＞1时，x在[1，+∞）上变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表∴函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（）=alna﹣a+1，综上所述：当0＜a≤1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；当a＞1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（）=alna﹣a+1，（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0＜a≤1时，f（x）≤f（1）=0在区间[1，+∞）上恒成立；当a＞1时，由于f（x）在区间[1，]上是增函数，∴f（）＞f（1）=0，即在区间[1，+∞）上存在x=使得f（x）＞0．综上所述，a的最大值为1．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n=1，2，3，…）（1）求a1的值；（n≥2）；（2）求证：（n﹣2）a n+1=（n﹣1）a n﹣1（3）判断数列{a n}是否为等差数列，并说明理由．【解答】（1）解：由S n=，得，解得a1=1；（2）证明：∵S n=，∴．两式作差得：，即（n﹣2）a n+1=（n﹣1）a n﹣1（n≥2）；（3）数列{a n}是等差数列．事实上，由S n=，∴．．由（2）可得，（n≥3）．∴．即（n﹣2）a n﹣2（n﹣2）a n﹣1+（n﹣2）a n﹣2=0．∵n≥3，∴a n﹣2a n﹣1+a n﹣2=0，即a n﹣a n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣2（n≥3）．∴数列{a n}是以1为首项，a2﹣1为公差的等差数列．20．（14分）设函数f（x）=，L为曲线C：y=f（x）在点（﹣1，）处的切线．（1）求L的方程；（2）当x＜﹣时，证明：除切点（﹣1，）之外，曲线C在直线L的下方；（3）设x1，x2，x3∈R，且满足x1+x2+x3=﹣3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最大值．【解答】（1）解：∵f（x）=，∴，∴．∴L的方程为，即；（2）证明：要证除切点（﹣1，）之外，曲线C在直线L的下方，只需证明∀，恒成立．∵5x2+16x+23＞0，∴只需证明∀，5x3+11x2+7x+1＜0恒成立即可．设，则g′（x）=15x2+22x+7=（x+1）（15x+7）．令g′（x）=0，解得x1=﹣1，．当时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．∴明∀，5x3+11x2+7x+1＜0恒成立；（3）①当时，由（2）知，，，．三式相加得：．∵x1+x2+x3=﹣3，∴，当且仅当x1=x2=x3=﹣1时取等号．②当x1，x2，x3中至少有一个大于等于时，不妨设，则，∵，，∴．综上所述，当x1=x2=x3=﹣1时，f（x1）+f（x2）+f（x3）取到最大值．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p)f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2014-2015年山东省青岛三中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年山东省青岛三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|y=}，则∁U A=（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1]2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）向量，，且∥，则cos2α=（）A．B．C．D．4．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．5．（5分）定义运算=ad﹣bc，若函数f（x）=在（﹣∞，m）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣2] 6．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的最小值为，则a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．87．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=﹣B．∥C．=2D．⊥8．（5分）下列命题中正确的是（）A．y=x+的最小值是2B．y=的最小值是2C．y=sin2x+的最小值是4D．y=2﹣3x﹣（x＜0）的最小值是2﹣49．（5分）已知，则=（）A．B．C．﹣1 D．±110．（5分）已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）A．f（cosA）＜f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（sinA）＞f（cosB）第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=．12．（5分）曲线y=sinx（0）与y轴、直线y=1围成的封闭图形的面积为．13．（5分）已知0＜＜β＜π，且cos，sin（α+β）=，则sinα=．14．（5分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则f（2013）+f（2014）=．15．（5分）有以下四个命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；②已知a＞0，b＞0，则＞是a＞b的充要条件；③命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题；④命题“∀∈R，|x+4|﹣|x﹣1|＜k”是真命题，则k＞5．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）用数学归纳法证明：l3+23+33+…+n3=（n∈N﹡）．17．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx（a≠0）（Ⅰ）a=﹣2时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）判断函数f（x）在定义域内有无极值，若有，求之．18．（12分）设集合A为函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式的解集．（1）求A∩B；（2）若C⊆∁R A，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2x+b（b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c（c＞0）的解集为（k，k+6）（k∈R），求c的值；（Ⅱ）当b=0时，m为常数，且0＜m＜1，1﹣m≤t≤m+1，求的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞．2014-2015学年山东省青岛三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|y=}，则∁U A=（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1]【解答】解：A={x|y=}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁U A={x|x≥1}，故选：A．2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若￢p为假，则p为真，则p∨q为真，即充分性成立，当p假q真时，满足p∨q为真，但￢p为真，则必要性不成立，则“￢p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）向量，，且∥，则cos2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，且∥，∴，即，化简得sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=故选：D．4．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．【解答】解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过（0，1），y=log a x，的图象过（1，0），A选项中的y=a x，a＞1，y=log a x，a＞1，但y=x+a中的a＜1，不符合题意；B选项中的y=a x，a＞1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＜1，不符合题意；C选项中的y=a x，0＜a＜1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＜1，符合题意；D选项中的y=a x，0＜a＜1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＞1，不符合题意；观察图象知，只有C正确．故选：C．5．（5分）定义运算=ad﹣bc，若函数f（x）=在（﹣∞，m）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣2]【解答】解：∵，∴=（x﹣1）（x+3）﹣2×（﹣x）=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），∵函数在（﹣∞，m）上单调递减，∴（﹣∞，m）⊆（﹣∞，﹣2），即m≤﹣2，∴实数m的取值范围是m≤﹣2．故选：D．6．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的最小值为，则a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：目标函数的几何意义为动点P（x，y）到点M（﹣1，﹣1）的斜率，即k．作出不等式对应的平面区域如图（阴影部分），由图象可知当点P位于点B（，0）时，目标函数有最小值，即，解得a=2，故选：A．7．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=﹣B．∥C．=2D．⊥【解答】解：由+=得若=﹣=，即，则向量、共线且方向相反，因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立，对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反，C项中向量向量、的方向相同，D项中向量、的方向互相垂直．只有A项能确定向量、共线且方向相反．故选：A．8．（5分）下列命题中正确的是（）A．y=x+的最小值是2B．y=的最小值是2C．y=sin2x+的最小值是4D．y=2﹣3x﹣（x＜0）的最小值是2﹣4【解答】解：A．x＜0时，y＜0，因此最小值不是2；B．∵≥2，当且仅当x=1时取等号，其最小值为2；C．∵0＜sin2x≤1，∴y＞4，因此不正确；D．∵x＜0，∴﹣x＞0．∴y=2﹣3x﹣==2+4，当且仅当时取等号．其最小值为：2+4，因此不正确．综上可得：只有B正确．故选：B．9．（5分）已知，则=（）A．B．C．﹣1 D．±1【解答】解：∵cos（x﹣）=﹣，∴cosx+cos（x﹣）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x﹣）=﹣1．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）A．f（cosA）＜f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（sinA）＞f（cosB）【解答】解：根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，∵△ABC为锐角三角形，∴A+B，0﹣B＜A，∴0＜sin（﹣B）＜sinA＜1，0＜cosB＜sinA＜1f（sinA）＞f（sin（﹣B）），即f（sinA）＞f（cosB）故选：D．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=﹣2．【解答】解：∵函数，∴f（）=2+=4．=f（4）==﹣2．故答案为：﹣2．12．（5分）曲线y=sinx（0）与y轴、直线y=1围成的封闭图形的面积为﹣1．【解答】解：y=sinx（0）与y轴、直线y=1的交点分别为（0，0），（，1），故曲线y=sinx（0）与y轴、直线y=1围成的封闭图形的面积为S=（1﹣sinx）dx=（x+cosx）|=﹣1，故答案为：﹣1，13．（5分）已知0＜＜β＜π，且cos，sin（α+β）=，则sinα=．【解答】解：由于0＜＜β＜π，cos，则sinβ==．由于，则cos（α+β）=﹣=﹣，则有sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×（﹣）﹣（﹣）×=．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则f（2013）+f（2014）=﹣1．【解答】解：∵f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（x）=f（2﹣x），又f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，∴f（x）=﹣f（x﹣2），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），即4为f（x）的周期，∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1），f（2014）=f（4×503+2）=f（2），由x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，得f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1，由f（x）=f（2﹣x），得f（2）=f（0）=0，∴f（2013）+f（2014）=﹣1+0=﹣1，故答案为：﹣1．15．（5分）有以下四个命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；②已知a＞0，b＞0，则＞是a＞b的充要条件；③命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题；④命题“∀∈R，|x+4|﹣|x﹣1|＜k”是真命题，则k＞5．其中正确命题的序号是①②④．【解答】解：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，正确；②已知a＞0，b＞0，则＞是a＞b的充要条件，正确；③若方程x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”，是假命题；④令f（x）=|x+4|﹣|x﹣1|，则f（x）=，可得﹣5≤f（x）≤5，因此命题“∀∈R，|x+4|﹣|x﹣1|＜k”是真命题，则k＞5，正确．其中正确命题的序号是①②④．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）用数学归纳法证明：l3+23+33+…+n3=（n∈N﹡）．【解答】证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，∴n=1时，等式成立．②假设n=k时，等式成立，即13+23+33++k3+（k+1）3=∴n=k+1时，等式成立．综合①、②原等式获证．17．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx（a≠0）（Ⅰ）a=﹣2时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）判断函数f（x）在定义域内有无极值，若有，求之．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，其定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x﹣=，令f′（x）=0，解得x=1，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴函数的单调递增区间为（1，∞）；递减区间为（0，1]．（2）∵f（x）=x2+alnx，其定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+=，①当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，②当a＜0时，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴当x=时，函数f（x）取得极小值，f（）=﹣+ln（﹣）18．（12分）设集合A为函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式的解集．（1）求A∩B；（2）若C⊆∁R A，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵﹣x2﹣2x+8＞0，∴解得A=（﹣4，2）．∵，∴B=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；所以A∩B=（﹣4，﹣3]∪[1，2）；（2）∵C R A=（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），C⊆C R A，若a＜0，则不等式的解集只能是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞），故定有≥2得解得﹣≤a＜0若a＞0，则不等式的解集[﹣4，]，但C⊆C R A，故a∈∅．∴a的范围为＜0．19．（12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得f（x）==．∵函数的最小正周期为π，∴=π，解之得ω=1．由此可得函数的解析式为．令，解之得∴函数f（x）的单调增区间是．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+）+1的图象，∵∴g（x）=+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．令g（x）=0，得sin2x=﹣，可得2x=或2x=解之得或．∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2x+b（b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c（c＞0）的解集为（k，k+6）（k∈R），求c的值；（Ⅱ）当b=0时，m为常数，且0＜m＜1，1﹣m≤t≤m+1，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由值域为[0，+∞），当x2+2x+b=0时有△=4﹣4b=0，即b=1．则f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，由已知f（x）=（x+1）2＜c解得，，∵不等式f（x）＜c的解集为（k，k+6），∴，解得c=9．（Ⅱ）当b=0时，f（x）=x2+2x，∴．∵0＜m＜1，1﹣m≤t≤m+1，∴0＜1﹣m≤t≤m+1＜2．令，则，当0＜t＜1时，g'（t）＞0，g（t）单调增，当1＜t＜2时，g'（t）＜0，g（t）单调减，∴当t=1时，g（t）取最大值，．∵=，∴g（1﹣m）＜g（1+m）．∴的范围为．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣x﹣a，∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a，∵切线方程为y=2x+b，则k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，∴f（x）=e x﹣x2+x，∴f（0）=1，即切点（0，1），∴1=2×0+b，解得b=1；（Ⅱ）由题意f'（x）＞0即e x﹣x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣x恒成立．设h（x）=e x﹣x，则h′（x）=e x﹣1．当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表：∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1；（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，∴g（x）=e x﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=e x﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=e x﹣2ax﹣a，∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），∴e x﹣2ax﹣a=0（*）有两个不同的实数根x1，x2当时，方程（*）不成立则，令，则由p′（x）=0得：当x变化时，p（x），p′（x）变化情况如下表：∴当时，方程（*）至多有一解，不合题意；当时，方程（*）若有两个解，则所以，．。
2014-2015年内蒙古包头市北重三中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）=2，则z5=（）A．16 B．﹣4+4i C．﹣16 D．﹣16i2．（5分）若A={x|log2（x﹣4）＜1}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}，则A∩B=（）A．[﹣10，6）B．（4，6） C．（6，11] D．（0，11]3．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．4．（5分）下列各式中最小值为2的是（）A．B．C．e x+e﹣x（x∈R）D．5．（5分）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．67．（5分）已知Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，点D、E在AB上，满足，，则=（）A．B．C．D．8．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（﹣∞，﹣4）上为增函数，且函数y=f（x﹣4）为偶函数，则（）A．f（﹣5）＞f（﹣3） B．f（﹣7）＜f（﹣3） C．f（﹣2）＞f（﹣3） D．f（﹣8）＞f（0）9．（5分）若β=α+30°，则sin2α+cos2β+sinαcosβ=（）A．B．C．cos2βD．sin2α10．（5分）已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足=（）（n∈N*，且n≥2），则aA．638 B．639 C．640 D．64111．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，则a=．14．（5分）在△ABC中，若A=，sinB=cosC 则△ABC为（填形状）15．（5分）已知命题p：f（x）=a x为增函数，q：函数q（x）=x+（a＞0）在[2，+∞）上单调递增，若p且q 为假，p或q为真，则a的取值范围为．16．（5分）设数列{a n}中，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设函数f（x）=x3+bx2+cx+d（x∈R）已知F（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数，且F（1）=﹣11（1）求b、c、d的值；（2）求F（x）的单调区间与极值．18．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．19．（12分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α是参数）．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P 的直角坐标．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）=2，则z5=（）A．16 B．﹣4+4i C．﹣16 D．﹣16i【解答】解：∵（1﹣i）=2，∴，则z=1﹣i．∴25=（1﹣i）5=（1﹣i）4（1﹣i）=﹣4（1﹣i）=﹣4+4i．故选：B．2．（5分）若A={x|log2（x﹣4）＜1}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}，则A∩B=（）A．[﹣10，6）B．（4，6） C．（6，11] D．（0，11]【解答】解：∵A={x|log2（x﹣4）＜1}={x|0＜x﹣4＜2}={x|4＜x＜6}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}={x|﹣10≤x≤11，∴A∩B=（4，6），故选：B．3．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后得：g（x）=f（x+）=sin（2x+φ+），∵g（x）=sin（2x+φ+）的图象关于y轴对称，∴g（x）=sin（2x+φ+）为偶函数，∴φ+=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ+，k∈Z．∵φ＞0，∴φmin=．故选：B．4．（5分）下列各式中最小值为2的是（）A．B．C．e x+e﹣x（x∈R）D．【解答】解：A．∵，∴sinx∈（0，1），∴=2，因此无最小值．B.=+＞2，因此无最小值；C．e x+e﹣x=2，当且仅当x=0时取等号，因此最小值为2．D．x＜0时，＜2，最小值不可能是2．综上可得：只有C满足题意．故选：C．5．（5分）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：由，得A（1，1），由，得B（a，a），当直线z=2x+y过点A（1，1）时，目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点B（a，a）时，目标函数z=2x+y取得最小值，最小值为3a；由条件得3=4×3a，∴a=，故选：B．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．7．（5分）已知Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，点D、E在AB上，满足，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：===，其中=0，=4×5×=16，=5×3×（﹣）=﹣9，=25，所以=×16﹣×（﹣9）﹣=；故选：C．8．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（﹣∞，﹣4）上为增函数，且函数y=f（x﹣4）为偶函数，则（）A．f（﹣5）＞f（﹣3） B．f（﹣7）＜f（﹣3） C．f（﹣2）＞f（﹣3） D．f（﹣8）＞f（0）【解答】解：∵y=f（x﹣4）为偶函数；∴f（﹣3）=f（1﹣4）=f（﹣1﹣4）=f（﹣5）；f（﹣2）=f（2﹣4）=f（﹣2﹣4）=f（﹣6）；f（0）=f（4﹣4）=f（﹣4﹣4）=f（﹣8）；又f（x）在（﹣∞，﹣4）为增函数；∴f（﹣5）=f（﹣3）；f（﹣7）＜f（﹣5），即f（﹣7）＜f（﹣3）；f（﹣6）＜f（﹣5），即f（﹣2）＜f（﹣3）；f（﹣8）=f（0）；∴B正确．故选：B．9．（5分）若β=α+30°，则sin2α+cos2β+sinαcosβ=（）A．B．C．cos2βD．sin2α【解答】解：∵β=α+30°，∴cos2β=（cosαcos30°﹣sinαsin30°）2=cos2α﹣sinαcosα+sin2αsinαcosβ=sinαcos（α+30°）=sinα（cosαcos30°﹣sinαsin30°）=sinαcosα﹣sin2α∴sin2α+cos2β+sinαcosβ=sin2α+（cos2α﹣sinαcosα+sin2α）+（sinαcosα﹣sin2α）=sin2α+cos2α+sin2α﹣sin2α=sin2α+cos2α=（sin2α+cos2α）=故选：B．10．（5分）已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足=（）（n∈N*，且n≥2），则aA．638 B．639 C．640 D．641【解答】解：∵，∴=2（n∈N*，且n≥2），∵a 1=1，∴=1∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴S n=4n2﹣4n+1．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（4n2﹣4n+1）﹣[4（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=8n﹣8．∴a81=8×81﹣8=640故选：C．11．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立．故选：C．12．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，则a=0．【解答】解：∵f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，∴f（x）=f（﹣x）或f（x）+f（﹣x）=0，∴a=0，故答案为：0．14．（5分）在△ABC中，若A=，sinB=cosC 则△ABC为等腰直角三角形（填形状）【解答】解：在△ABC中，sinB=cosCsin（A+C）=cosC若A=，则：tanC=10°＜C＜135°C=45°所以：有三角形内角和定理得：B=90°所以：△ABC为等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形15．（5分）已知命题p：f（x）=a x为增函数，q：函数q（x）=x+（a＞0）在[2，+∞）上单调递增，若p且q 为假，p或q为真，则a的取值范围为（0，1）∪（4，+∞）．【解答】解：∵f（x）=a x为增函数，∴a＞1，∴p：a＞1，∵函数q（x）=x+（a＞0）在[2，+∞）上单调递增，∴，q：0＜a≤4，∵若p且q 为假，p或q为真，∴p，q一真一假，当p真q假时，即a＞4，当p假q真时，，即0＜a＜1，a的取值范围为：a＞4或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（4，+∞）16．（5分）设数列{a n}中，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于78．【解答】解：∵a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，a8﹣a7=13，a9+a8=15，a10﹣a9=17，a11+a10=19，a12﹣a11=21，∴从第一项开始，相邻的两个式子作差得：a1+a3=a5+a7=a9+a11=2，即依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，相邻的两个式子相加得：a4+a2=8，a6+a8=24，a12+a10=40，即依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．以上式子相加可得，S12=a1+a2+…+a12=（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+（a2+a4）+（a6+a8）+（a10+a12）=3×2+8+24+40=78故答案为：78．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设函数f（x）=x3+bx2+cx+d（x∈R）已知F（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数，且F（1）=﹣11（1）求b、c、d的值；（2）求F（x）的单调区间与极值．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2bx+c，∴F（x）=f（x）﹣f′（x）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x+d﹣c，∵F（x）是奇函数，∴b﹣3=0，且d﹣c=0，即b=3，d=c．∴F（x）=x3+（c﹣2b）x．∵F（1）=﹣11，∴F（1）=1+c﹣2b=﹣11，即c﹣2b=﹣12，∴c=2b﹣12=﹣6，又d=c，可得d=﹣6．综上知，b=3，c=﹣6，d=﹣6．（2）由（1）知f（x）=x3+3x2﹣6x﹣6．f'（x）=3x2+6x﹣6，∴F（x）=f（x）﹣f′（x）=x3﹣12x，∴F′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），∴当x＜﹣2或x＞2时，F′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，F′（x）＜0，∴F（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和（2，+∞），单调递减区间是（﹣2，2）．∴当x=﹣2时，F（x）=F（﹣2）=（﹣2）3﹣12×（﹣2）=16，极大值=F（2）=23﹣12×2=﹣16．当x=2时，F（x）极小值∴函数单调递增，无极值．即函数F（x）的单调区间是R，无极值．18．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0．∴a=2c，或C=90°（不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去）．由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b2=ac，∴b=c，∴cosB===．（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b2=3，sinB=，∴△ABC的面积S=ac•sinB=．19．（12分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．【解答】解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），因为四边形OAQP是平行四边形，所以=+=（1+cosθ，sinθ）．所以•=1+cosθ．（3分）又平行四边形OAQP的面积为S=|•|sin θ=sin θ，所以•+S=1+cosθ+sin θ=sin（θ+）+1．（5分）又0＜θ＜π，所以当θ=时，•+S的最大值为+1．（7分）（2）由题意，知=（2，1），=（cosθ，sinθ），因为CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ=1，解得sin θ=，cos θ=，所以sin2θ=2sin θcosθ=，cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=．所以sin（2θ﹣）=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=．（13分）20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，∴S n+1=2n﹣1（S1+1）=2n﹣1（a1+1）①S n﹣1+1=2n﹣2（a1+1）②①﹣②得a n=2n﹣2（a1+1），n≥2a2=a1+1，a3=2（a1+1）a2是a1和a3的等比中项，故a22=a1a3，（a1+1）2=a1•2（a1+1），解得a1=1，（a1=﹣1则a2=0不合题意舍去）故a n=2n﹣1．（2）由a n=2n﹣1，知na n=n×2n﹣1，∴T n=1×20+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，①2T n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，②②﹣①得T n=n×2n﹣（20+21+22+23+…+2n﹣1）=n×2n﹣=n×2n﹣2n+1．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x ﹣1）lna，由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0．所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的两条直线y=t±1共有三个交点．不妨取a＞1，y=f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．∵t﹣1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t﹣1只有一个根．∴t﹣1=f min（x）=f（0）=1，∴t=2．（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））≥e﹣1，min由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1），当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）．综合可得，①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a ≥e．②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．【解答】（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC（2分）∴OD∥AE又AE⊥DE（3分）∴DE⊥OD，又OD为半径∴DE是的⊙O切线（5分）（II）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB（6分）设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x（7分）由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x（8分）又由△AEF∽△DOF可得∴【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α是参数）．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P 的直角坐标．【解答】解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。
山东省临沂市2014-2015学年高三上学期期中考试理科数学试题word版含答案
高三教学质量检测考试理科数学2014.11本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集2,{|1},{|20}U R A x x B x x x ==>=->，则()U C AB =（ ）A ．{}|2x x ≤B ．{}|1x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|02x x ≤≤ 2、下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2(1)y x =- B ．2xy -= C ．ln y x = D ．y3、已知命题:22;p q ≤ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝4、设函数()()23,(2)f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x +5、如图，AB 是O 的直径，点,C D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，,AB a AC b ==，则AD =（ ）A ．12a b + B ．12a b - C ．12a b + D ．12a b - 6、函数(01)xxa y a x=<<的图象的大致形状是（ ）7、已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan2α=（ ）A ．13-B ．12- C ．2 D ．3 8、给出下列四个结论：①函数()2log f x x =是偶函数；②若393,log a x a ==，则x =③若,1x x R e x ∀∈≥+，则0:,1x p x R e x ⌝∀∈≤+；④“3x >”是“21x ->”的充分不必要条件，其中正确的结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．3 9、已知函数()sin()f x x ϕ=-，且()30f x dx π=⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）A ．23x π=B ．56x π=C ．3x π=D ．6x π= 10、设()22x x f x -=-，若当,02πθ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，21()(3)0cos 1f m f m θ-+->-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,1-C ．()[),21,-∞-+∞D ．(),2(1,)-∞-+∞第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
江苏省扬州市2014—2015学年度高三第一学期期中考试数学试题(扫描版,答案)
(2) 连结 PG、QG ，∵ G (1,0) 为椭圆的右焦点，所以 PH
1 PG 3PG ，
e
所以
PQ 1
=
PQ
PH 3 PG
1 PG 2 QG2
3
PG2
1
1
3 1 PG2 ，
…… 7 分
因为 PG [ a c, a c] [2,4] ，所以 PQ
3 15 [ , ]；
PH 6 12
…… 10 分
1 8a
1
，或 x
1 8a
（舍去） .
4
4
设t 1
1 8a
，
4
若 0 t 1 ，则 f (x) 在 (t , ) 上单调递增知， f (t) f (1) 0 ，不合题意，
若 t 1 ，在 (0, t ) 上单调递减， ，则 f (t ) f (1) 0 ，不合题意．
即 t 1 ，所以 a 1；
…… 10 分
f ( x) cos x 1 sin x 2 sin( x ) 1 , 4
令x
[2 k
4
, 2k 2
3 ] ，得
2
5
[2 k
, 2k
]( k Z ) ； …… 7 分
4
4
f ( x)
…… 4 分 的单调 递减区 间为
(2) 由 (1) f x
2 sin( x ) 1 ． 因 为 x [
,
4
22
3
x
[ , ]，
秒．
…… 7 分
45。 A
图2
(2) 如图 3， AC 20 BD CH ，在 Rt CDH 中， CH
20
20
，CD
，
河南省实验中学高三上学期期中考试 数学(理)
河南省实验中学2014——2015学年上期期中试卷高三 理科数学命题人：程建辉 审题人：丁海丽（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{||2,}A x x x R =≤∈,{|4,}B x x Z =≤∈,则 ( )A.(0,2)B.[0,2]C.(0,2]D.{0,1,2}2.记,那么 ( )A. B.- C. D.-3.已知集合{1,2,3,4},{,,}A B a b c ==，为集合到集合的一个函数，那么该函数的值域C 的不同情况有( ) A ．7种 B ．4种 C ．8种 D ．12种4.设向量，向量，向量，则向量（ ） A ．（－15，12） B.0 C.－3 D.－115.设是等差数列，是其前n 项和，且，，则下列结论错误的是( ) A ． B ． C ． D ．和均为的最大值6.在△ABC 中，，若此三角形有两解，则b 的范围为（ ） A ． B ．b > 2 C ．b<2 D ．7.已知函数的周期是，将函数)0( 2cos 3>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωπωx y 的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则函数（ ） A. B. C. D.8.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形9.函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）10.O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三点，若，则△ABC 是( ) A.以AB 为底边的等腰三角形 B.以BC 为底边的等腰三角形 C.以AB 为斜边的直角三角形 D.以BC 为斜边的直角三角形11.设p:2()e ln 21xf x x x mx =++++在内单调递增,q:,则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.已知两条直线:y=m 和:y= (m ＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A,B,与函数的图像从左至右相交于C,D.记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a,b,当m 变化时，的最小值为( ) A ． B. C. D.二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）． 13.计算= ．14.已知A,B,C 三点在同一条直线上，O 为直线外一点，若0pOA qOB rOC ++=,其中p,q,rR ，则 ．15设x 、、、y 成等差数列，x 、、、y 成等比数列，则的取值范围是 ． 16.已知函数21,(0)()log ,(0)ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若函数y=f(f(x))+1有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共70分).17.(本小题满分12分）设函数的定义域为，命题与命题,若真，假，求实数的取值范围．18.(本小题满分12分）已知，其中()x x x m ωωωcos 3,cos sin +=→，()x x x n ωωωsin 2,sin cos -=→，且，若相邻两对称轴间的距离不小于。
2014—2015学年度江苏省徐州市高三第一学期期中考试高三数学试题
2014—2015学年度江苏省徐州市高三第一学期期中考试高三数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．. 1.设集合},40{},21{≤≤=≤≤-=x x B x x A 则=B A .2.已知i R a i i a z ,)(21)((∈+-=为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则=a .3.若命题"02,"2≤++∈∃m mx x R x 是假命题，则实数m 的取值范围是 .4.已知向量),1,0(),1,2(-==b a 若,//)(a b a λ-则实数=λ .5.若等差数列}{n a 的前5项和,255=S 且,34=a 则=7a .6.若直线b x y +=是曲线x x y ln =的一条切线，则实数=b .7.已知函数)(x f 是奇函数，当0<x 时，,2s i n3)(2xa x x f π-=且,6)3(=f 则=a .8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若,2,30,sin 3sin =︒==b B C A 则ABC ∆的面积是 .9.如图，ABC ∆中，D C BC AC ,90,4,3︒=∠==是BC 的中点，则⋅的值为 .BACD第9题图10.已知}{n a 是分比为q 的正项等比数列，不等式0432≤+-a x a x 的解集是},{21a x a x ≤≤则=q .11.在平面直角坐标系中，已知角4πα+的终边经过点),4,3(P 则=αcos .12.已知点B A ,分别在函数x e x f =)(和x e x g 3)(=的图象上，连接B A ,两点，当AB 平行于x 轴时，B A ,两点的距离是 .13.已知三个实数c b a ,,，当0>c 时满足：,32c a b +≤且,2a bc =则ca b2-的取值范围是 .14.已知函数],0[,3)(2m x x x x f ∈-=，其中,R m ∈当函数)(x f 的值域为]2,0[时，则实数m 的取值范围 .二、解答题：本大题共6分，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)在ABC ∆中，已知).sin(2)sin(B A B A -=+ （1）若,6π=B 求:A（2）若,2tan =A 求B tan 的值.16. (本题满分14分)已知集合}033{]},3,2[,2{22>--+=∈-==a a x x x B x y y A x （1）当4=a 时，求;B A （2）若命题“A x ∈”是命题“B x ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.17. (本题满分14分)在平面直角坐标系中，已知三点O R t t C t B A ,),,6(),2,(),0,4(∈为坐标原点. (1) 若ABC ∆是直角三角形，求t 的值；(2) 若四边形ABCD. 18.（本小题满分16分）如图，P 为某湖中观光岛屿，AB 是沿湖岸南北方向道路，Q 为停车场，526=PQ ,km 某旅游团浏览完岛屿后，乘游船回停车场,Q 已知游船以h km /13的速度沿方位角θ的方向行驶，.135sin =θ游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M 处，然后乘出租车到停车场Q 处（设游客甲到达湖滨大道后立即乘到出租车）.假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为./66h km （1） 设,54sin =α问小船的速度为多少h km /时，游客甲才能和游船同时到达点;Q（2） 设小船速度为h km /10，请你替该游客设计小船行驶的方位角,α当角α的余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q .19.（本小题满分16分）已知二次函数c bx ax x h ++=2)(（其中),3<c 其中导函数)('x h y =的图象如图，设)(ln 6)(x h x x f +=（1） 求函数)(x f 在2=x 处的切线斜率；（2） 若函数)(x f 在区间)21,1(+m 上是单调函数，求实数m 的取值范围；BM（3） 若函数)6,0(,∈-=x x y 的图象总在函数)(x f y =图象的上方，求c 的取值范围. 20. （本小题满分16分）设等比数列}{n a 的首项为,21=a 公比为q q (为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列}{n b 满足).,(023)(2*2N n R t b n b t n n n ∈∈=++- （1） 求数列}{n a 的通项公式；（2） 试确定t 的值，使得数列}{n b 为等差数列；（3） 当}{n b 为等差数列时，对每个正整数,k 在k a 与1+k a 之间插入k b 个2，得到一个新 数列}{n c .设n T 是数列}{n c 的前n 项和，试求满足12+=m m c T 的所有正整数.m2014～2015学年度第一学期期中考试高三数学试题参考答案与评分标准1．[0,2] 2.123．()0,1 4．0 5．-3 6．-1 7．589．17- 10．12+ 11．1012．ln 3 １3．(][),09,-∞⋃+∞ １4．[]1,215．解:（1）由条件，得 ππsin()2sin()66A A +=-．11cos cos )22A A A A +=-． ………………………3分化简，得 s i n c o s A A =．tan A ∴6分又(0,π)A ∈， π3A ∴=． ………………………………………7分 （2）因为sin()2sin()A B A B +=-，sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B ∴+=-． 化简，得 3c o s s i n s i n c o AB A B =．……………………………………11分又 c o s c o s 0A B ≠，tan 3tan A B ∴=．又tan 2A =，2tan 3B ∴=．………………………………………………………14分１7．解：（1）由条件，()()()4,2,2,,6,2AB t AC t BC t t =-==--，-若直角ABC ∆中，90A ∠=，则0AB AC ⋅=，即()2420t t -+=，2t ∴=；-----------------------------------------------------------------------------------------2分若直角ABC ∆中，90B ∠=，则0AB BC ⋅=，即()()()46220t t t --+-=，6t ∴=±若直角ABC ∆中，90C ∠=，则0AC BC ⋅=，即()()2620t t t -+-=，无解，所以，满足条件的t 的值为2或6± -----------------------8分 （2）若四边形ABCD 是平行四边形，则AD BC =，设D 的坐标为(,)x y即()()4,6,2x y t t -=--，4662x y t -=-⎧∴⎨=-⎩． 即(10,2)D t t --(10OD ==所以当6t =时，OD 的最小值为--------------------------14分18．解：(Ⅰ) 如图，作PN AB ⊥,N 为垂足．135sin =θ，4sin 5=a ，在Rt △PNQ 中，θsin PQ PN =2652513=⨯=(km ), θcos PQ QN ==26124.8513⨯=(km )． 在Rt △PNM 中， 21.54tan 3PN MN a ===(km ) ．………………………3分设游船从P 到Q 所用时间为1t h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为2t h ，小船的速度为1v km/h ，则 1262513135PQ t ===(h ),21112.5 3.3516666220PM MQ t v v v =+=+=+（h ）． …………5分 由已知得：21120t t +=，151********v ++=，∴1253v =．………………………7分 ∴小船的速度为253km/h 时，游客甲才能和游船同时到达Q ． (Ⅱ)在Rt △PMN 中，2sin sin PN PM ==a a (km ),2cos tan sin PN MN ==aa a(km )． ∴2cos 4.8sin QM QN MN =-=-aa(km )． ………………………9分 ∴14cos 10665sin 5533sin PM QM t a a a =+=+-＝1335cos 4165sin 55a a -⨯+．…………………11分 ∵22215sin (335cos )cos 533cos 165sin 165sin t a a a a a a---'=⨯=, …………………13分 ∴令0t '=得：5cos 33a =．当5cos 33a <时，0t '>；当5cos 33a >时，0t '<． N QM BA∵cos a 在)2,0(πα∈上是减函数，∴当方位角a 满足5cos 33a =时，t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q ．…16分19．解：⑴ '()28f x x =- ------------------------------------------------------------------------- 2分 c x x x x f +-+=∴8ln 6)(2 826)('-+=∴x xx f '(2)1f =-，所以函数))3(,3()(f x f 在点处的切线斜率为-1 ---------------- 4分⑵ xx x x x x f )3)(1(2826)('--=-+=0>x)(x f∴的单调递增区间为（0，1）和),3(+∞)(x f ∴的单调递减区间为（1，3） -------------------------------------------- 7分要使函数)(x f 在区间1(1,)2m +上是单调函数，则112132m m ⎧<+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得1522m <≤ ------------------------------------------------ 9分⑶ 由题意，恒成立，得恒成立， 即276ln c x x x<-+-恒成立，设(]2min ()6ln 7,0,6,()g x x x x x c g x =--+∈<则 ---------------------------- 13分xx x x x x x x x g )2)(32(672762)('2---=-+-=+--=因为为增函数时当)(,0)(',)2,23(,0x g x g x x >∴∈∴> 当3(0,)(2,),'()0,()2x g x g x ∈+∞∴<和时为减函数)(x g ∴的最小值为)6()23(g g 和的较小者．3933333()6ln 76ln ,242242(6)366ln 64266ln 6,3939()(6)6ln 6ln 612ln 20,2424g g g g =--+⨯=-=--+=--=-+=+> .6ln 66)6()(min -==∴g x g ------------------------------------------------ 15分又已知3<c ，66ln 6c ∴<-． --------------------------------------------------------------------------- 16分20．【解析】（Ⅰ）因为,所以，解得（舍），则------------- 3分又，所以----------------------------5分（Ⅱ）由 ，得，所以,则由，得 ------------ 8分而当时，，由（常数）知此时数列为等差数列 ------------- 10分。
高三数学-2014-2015学年高三上学期期中数学试卷(文科)
2014-2015学年高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分）只需直接写出结果．1．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= ．2．命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是．3．设函数f（x）=log2（3﹣x2）的定义域为A，不等式≤﹣1的解集为B，则A∩B= ．4．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是．5．已知、为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•= ．6．以椭圆=1的左焦点为圆心，长轴长为半径的圆的标准方程是．（2013•广东）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a= ．（5分）7．8．不等式组表示的平面区域的面积为．9．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b；（3）若a∥α且a∥β，则α∥β；（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β．上面命题中，所有真命题的序号是．10．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，则f（10x）＞0的解集为．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为．12．函数y=（x﹣1）|x﹣a|（a＞1）在上是减函数，则实数a的取值范围是．13．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣4m=0交于点P，则|+|= ．14．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=3，则a的最大值是．二、解答题（本大题共6小题，满分90分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．16．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，点E是PD的中点．（1）求证：AC⊥PB；（2）求证：PB∥平面AEC．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），圆C以线段AB为直径（1）求圆C的方程；（2）设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OP=OA，求直线PA的方程和△POA的面积．18．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：点（m，k）在直线y=2x﹣上．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且（a﹣1）S n=a（a n﹣1）（a＞0．n∈N*）（1）证明数列{a n}是等比数列，并求a n；（2）当a=时，设b n=S n+λn+，试确定实数λ的值，使数列{b n}为等差数列；（3）已知集合A={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}，问是否存在正数a，使得对于任意的n∈N*，都有S n∈A，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分）只需直接写出结果．1．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= 1﹣i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由iz=1+i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算．解答：解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念．属于基础题．2．命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是．．考点：全称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题得：命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是：．故答案为：．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．3．设函数f（x）=log2（3﹣x2）的定义域为A，不等式≤﹣1的解集为B，则A∩B= 简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先标出已知不等式组表示的平面区域，根据围成此区域的多边形特征探求其面积．解答：解：如右图所示，在同一坐标系中分别作出直线l1：x+y=4，l2：x﹣y=2于是得到不等式组表示的平面区域，即四边形OABC（含边界），连结AC，则S四边形0ABC=S Rt△OAC+S△ABC，由A（0，4），C（2，0）知，直线AC的方程为2x+y﹣4=0，且|AC|=，由得B（3，1），从而点B到直线AC的距离d=，所以S△ABC=|AC|•d=，又S Rt△OAC=|OC|•|OA|=，所以S四边形OABC=4+3=7，即原不等式组表示的平面区域的面积为7．故答案为：7．点评： 1．本题主要考查了不等式组表示的平面区域的应用，平面内的距离公式等，考查了数形结合思想、化归思想，解决本题的关键有两个：一是正确作出不等式组表示的平面区域，二是善于将面积进行转化．2．对于面积的求解，首先应弄清区域的形状，若为三角形，一般根据“底×高”求解，底可以由两点间距离公式得到，高可以由点到直线的距离公式得到；若为四边形或四边以上的多边形，一般将其拆分为几个易求的三角形或四边形求解．9．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b；（3）若a∥α且a∥β，则α∥β；（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β．上面命题中，所有真命题的序号是（2）（4）．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．分析：（1）用几何体模型来说明；（2）用垂直同一平面的两直线平行判断；（3）用几何体模型判断；（4）用垂直于同一直线的两平面平行判断．解答：解：（1）若a∥α且b∥α，则a∥b或相交或异面，不正确；（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b，由垂直同一平面的两直线平行知正确；（3）若a∥α且a∥β，则α∥β或相交；（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β，由垂直于同一直线的两平面平行．故填（2）（4）．点评：本题主要考查空间中线与线、线与面、面与面的位置关系，要注意常见结论和定理的应用．10．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，则f（10x）＞0的解集为{x|x＜lg2} ．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，可得﹣1，2是一元二次方程f（x）=0的两个实数根．于是f（10x）＞0化为﹣1＜10x＜2，解得即可．解答：解：∵一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，∴﹣1，2是一元二次方程f（x）=0的两个实数根．∴f（10x）＞0化为﹣1＜10x＜2，解得x＜lg2．∴f（10x）＞0的解集为{x|x＜lg2}．故答案为：{x|x＜lg2}．点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、对数的运算性质，属于中档题．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为y=±x ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出及，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=±x．解答：解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，F，∵|FA|=c，∴抛物线的准线方程为由得，，由①②，得=2c，即c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故答案为：y=±x．点评：熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．12．函数y=（x﹣1）|x﹣a|（a＞1）在上是减函数，则实数a的取值范围是．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；数形结合．分析：先对函数化简可得y=（x﹣1）|x﹣a|=，作出函数的图象，结合图象可求a的范围解答：解：y=（x﹣1）|x﹣a|==∵a＞1其图象如图所示∵函数y=（x﹣1）|x﹣a|（a＞1）在上是减函数∴∴3≤a≤4故答案为：点评：本题主要考查了函数单调性的应用，解题的关键是准确作出函数的图象，体现了数形结合思想的应用．13．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣4m=0交于点P，则|+|= 4 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知直线方程容易求出A（0，0），B（4，0），这两直线的方程联立得方程组，解方程组即得P点坐标，从而可求出向量的坐标，从而求出的坐标，根据向量长度的计算公式即可求得||．解答： 4β解：直线x+my=0过定点A（0，0）；由直线mx﹣y﹣4m=0得m（x﹣4）﹣y=0，∴该直线过定点B（4，0）；由得；∴；∴，；∴=．故答案为：4．点评：考查过定点的直线系方程，直线的交点坐标和两直线方程联立形成方程组解的关系，以及根据坐标求向量长度．14．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=3，则a的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知条件变形后，利用完全平方式将变形后的式子代入得到b、c是某一方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围．解答：解：∵a+b+c=0，a2+b2+c2=3∴b+c=﹣a，b2+c2=3﹣a2，∴bc=（2bc）==a2﹣，b、c是方程：x2+ax+a2﹣=0的两个实数根，∴△≥0∴a2﹣4（a2﹣）≥0即a2≤2﹣≤a≤即a的最大值为故答案为：．点评：本题考查了函数最值问题，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a的取值范围二、解答题（本大题共6小题，满分90分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．16．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，点E是PD的中点．（1）求证：AC⊥PB；（2）求证：PB∥平面AEC．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：（1）欲证AC⊥PB，可先证AC⊥面PAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与面PAB内两相交直线垂直，根据PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，可得PA⊥AC，又因AB ⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，满足定理所需条件；（2）欲证PB∥面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与面AEC内一直线平行即可，连接BD交AC于点O，并连接EO，根据中位线可知EO∥PB，PB⊄面AEC，EO⊂面AEC满足定理所需条件．解答：证明：（1）∵PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴PA⊥AC（2分）又∵AB⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB∴AC⊥面PAB∴AC⊥PB（7分）（2）连接BD交AC于点O，并连接EO，∵四边形ABCD为平行四边形∴O为BD的中点又∵E为PD的中点∴在△PDB中EO为中位线，EO∥PB∵PB⊄面AEC，EO⊂面AEC∴PB∥面AEC．（14分）点评：本题考查了空间两直线的位置关系，以及直线与平面平行的判定等有关知识，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），圆C以线段AB为直径（1）求圆C的方程；（2）设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OP=OA，求直线PA的方程和△POA的面积．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）确定圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）利用点斜式可得直线PA的方程，求出PA，点O到直线PA的距离，可求△POA的面积．解答：解：（1）设圆C的圆心C（a，b），半径为r，则a=1，b=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵OP=OA，CP=CA，∴OC是线段PA的垂直平分线﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又OC的斜率为3，∴PA的斜率为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴直线PA的方程为，即x+3y﹣8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵点O到直线PA的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）OA=…..（12分）∴…（13分）∴△POA的面积=…（14分）点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查圆的方程，考查三角形面积的计算，属于中档题．18．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．考点：函数模型的选择与应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点．解答：解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200•πrh元，底面积成本为160πr2元，∴蓄水池的总建造成本为200•πrh+160πr2元即200•πrh+160πr2=12000π∴h=（300﹣4r2）∴V（r）=πr2h=πr2•（300﹣4r2）=（300r﹣4r3）又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5故函数V（r）的定义域为（0，5）（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=（300r﹣4r3），（0＜r＜5）可得V′（r）=（300﹣12r2），（0＜r＜5）∵令V′（r）=（300﹣12r2）=0，则r=5∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大点评：本题考查的知识点是函数模型的应用，其中（Ⅰ）的关键是根据已知，求出函数的解析式及定义域，（Ⅱ）的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：点（m，k）在直线y=2x﹣上．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得解得即可．（2）由（1）知：A（﹣2，0），B（2，0），D（0，1），可得直线AD的方程为，由题意直线BP的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且，联立可得点M的坐标．设P（x1，y1），由直线BP的方程与椭圆的方程联立可得点P的坐标．设N（x2，0），则由P，D，N三点共线得，k DP=k DN．即可证明．解答：（1）解：由解得，∴椭圆C 的方程为．（2）证明：由（1）知：A（﹣2，0），B（2，0），D（0，1），∴直线AD的方程为，由题意，直线BP的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且，由解得．设P（x1，y1），则由，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．∴，∴．∴．设N（x2，0），则由P，D，N三点共线得，k DP=k DN．即，∴，∴．∴MN的斜率．∴，即点（m，k）在直线上．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立可得跟与系数的关系、斜率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且（a﹣1）S n=a（a n﹣1）（a＞0．n∈N*）（1）证明数列{a n}是等比数列，并求a n；（2）当a=时，设b n=S n+λn+，试确定实数λ的值，使数列{b n}为等差数列；（3）已知集合A={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}，问是否存在正数a，使得对于任意的n∈N*，都有S n∈A，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”及其等比数列的定义及其通项公式即可得出．（2）当时，由（1）利用等差数列的前n项和公式可得S n=，b n，要使{b n}为等差数列，可得b1+b3=2b2，解出λ即可．（3）对a分类讨论，a≥1时比较简单．若0＜a＜1，可得A=，利用等比数列的前n项和公式可得S n=．可得．要使S n∈A，必须，解得即可．解答：解：（1）当n=1时，（a﹣1）a1=a（a1﹣1）得a1=a＞0．∵（a﹣1）S n=a（a n﹣1），∴当n≥2时，（a﹣1）S n﹣1=a（a n﹣1﹣1），两式相减得（a﹣1）a n=a（a n﹣a n﹣1），化为a n=aa n﹣1．∴a n＞0恒成立，且，∴{a n}是等比数列．又{a n}的首项a1=a，公比为a，∴．（2）当时，由（1）得，∴，要使{b n}为等差数列，则b1+b3=2b2，即，解得λ=1，又当λ=1时，b n=n+1，∴{b n}为等差数列，综上所述：λ=1．（3）若a=1，则A={1}，S n=n，∴S2∉A，不合题意；若a＞1，则A=，，∴S2∉A，不合题意；若0＜a＜1，则A=，==．∴．要使S n∈A，则，解得，．综上所述，满足条件的正数a存在，a的取值范围为．点评：本题考查了利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”及其等比数列的定义及其通项公S n式、前n项和公式、集合的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
山东省临沂市2014-2015学年高三上学期期中考试理科数学试题
高三教学质量检测考试理科数学2014.11本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集2,{|1},{|20}U R A x x B x x x ==>=->，则()U C A B =（ ）A ．{}|2x x ≤B ．{}|1x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|02x x ≤≤2、下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2(1)y x =-B ．2x y -=C ．ln y x =D ．1y x =+3、已知命题:22;:2p q ≤是有理数，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4、设函数()()23,(2)f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x +5、如图，AB 是O 的直径，点,C D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，,AB a AC b ==，则AD =（ ）A ．12a b +B ．12a b -C ．12a b + D ．12a b - 6、函数(01)xxa y a x=<<的图象的大致形状是（ ）7、已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan2α=（ ） A ．13- B ．12- C ．2 D ．3 8、给出下列四个结论：①函数()2log f x x =是偶函数；②若393,log a x a ==，则3x =；③若,1x x R e x ∀∈≥+，则0:,1x p x R e x ⌝∀∈≤+；④“3x >”是“21x ->”的充分不必要条件，其中正确的结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．39、已知函数()sin()f x x ϕ=-，且()300f x dx π=⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）A ．23x π=B ．56x π=C ．3x π=D ．6x π= 10、设()22x x f x -=-，若当,02πθ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，21()(3)0cos 1f m f m θ-+->-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．()2,1- C ．()[),21,-∞-+∞ D ．(),2(1,)-∞-+∞第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
2014-2015学年江西省萍乡市高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2014-2015学年江西省萍乡市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（5分）已知集合A={x|x2≤4}，且B={x|0≤x﹣1≤1}．则集合∁A B=（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|x≤1}2．（5分）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7 B．15 C．20 D．253．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=﹣x﹣x34．（5分）已知a=log0.34，b=log43，c=0.3﹣2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c5．（5分）已知sinα=，sin（α﹣β）=﹣，α，β均为锐角，则β等于（）A．B．C．D．6．（5分）若a＞b＞0，集合M={x|b＜x＜}，N={x|＜x＜a}，则集合M ∩N等于（）A．{x|b＜x＜}B．{x|b＜x＜a}C．{x|＜x＜}D．{x|＜x＜a} 7．（5分）已知O是等边△ABC边AC（不含端点）上的一点，D为AB上的点，且||=2||=2，+=2，则•=（）A．﹣ B．C．﹣1 D．18．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，1]C．（1，+∞）D．（﹣，1）9．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．2 B．C．D．110．（5分）已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差，b=1，则a+c的取值范围是（）A．（1，2]B．（0，2]C．（1，]D．（0，]12．（5分）如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B． C．D．二、填空题（每小题5分，满分20分）13．（5分）已知θ为第二象限角，且sinθ=，则cos（θ﹣π）=．14．（5分）向量，满足：•=4，|+|=5，则|﹣|=．15．（5分）正项数列{a n}中，a1=4，a n+a n2=2（a n+1）a n﹣1（n≥2），则它的前10项之和S10=．16．（5分）定义在[0，+∞）的函数f（x）=e x﹣bx有且只有一个零点，则实数b=．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）从一批香梨中，随机抽取100个，其质量（单位：克）的频数分布表如表：（Ⅰ）试估计该批香梨质量在[87.5，95）内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法从质量在[80，85）和[90，95）的香梨中共抽取5个，再从抽取到的5个香梨中随机取出2个，求取出的这2个其质量都在[90，95）内的概率．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，且C=．（Ⅰ）求角A，B的大小；（Ⅱ）设函数f（x）=sin（2x+A）﹣sin2x+cos2x，求函数f（x）的最小正周期及最小值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD，PA=1，点M是棱PC上的一点，且AM⊥PB．（Ⅰ）求三棱锥C﹣PBD的体积；（Ⅱ）证明：AM⊥平面PBD．20．（12分）在等比数列{a n}中，公比q≠1，等差数列{b n}满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=，数列{c n}的前n项和为S n，证明：Sn＜（n∈N*）．21．（12分）已知函数f（x）=，且f（1）=0，f′（1）=1．（Ⅰ）求常数a，b的值；（Ⅱ）若1≤λ≤2，证明：函数g（x）=f（x）﹣λlnx（0＜x≤1）的值恒非负．22．（10分）已知函数f（x）=e|x|+|x﹣a|是偶函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求不等式f（x）≥x的解集．2014-2015学年江西省萍乡市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（5分）已知集合A={x|x2≤4}，且B={x|0≤x﹣1≤1}．则集合∁A B=（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|x≤1}【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A={x|﹣2≤x≤2}，由B中不等式解得：1≤x≤2，即B={x|1≤x≤2}，则∁A B={x|﹣2≤x＜1}，故选：A．2．（5分）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7 B．15 C．20 D．25【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选：B．3．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=﹣x﹣x3【解答】解：对于A．则为奇函数，在[﹣，]上递增，则在[﹣1，1]上递增，则A不满足；对于B．则为偶函数，在[﹣1，0]上递增，在[0，1]上递减，则B不满足；对于C．f（﹣x）==f（x），则为偶函数，则C不满足；对于D．f（﹣x）=x+x3=﹣f（x），则为奇函数，又f（x）的导数为f′（x）=﹣1﹣3x2≤0，f（x）在R上递减，则D满足．故选：D．4．（5分）已知a=log0.34，b=log43，c=0.3﹣2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：∵a=log0.34＜0，0＜b=log43＜1，c=0.3﹣2＞0.30=1，∴a＜b＜c．故选：D．5．（5分）已知sinα=，sin（α﹣β）=﹣，α，β均为锐角，则β等于（）A．B．C．D．【解答】解：cosa==，cos（α﹣β）==∴sinb=sin[α﹣（α﹣β）]=sinacos（α﹣β）﹣cosasin（α﹣β）=×+×=∵β为锐角∴β=故选：C．6．（5分）若a＞b＞0，集合M={x|b＜x＜}，N={x|＜x＜a}，则集合M ∩N等于（）A．{x|b＜x＜}B．{x|b＜x＜a}C．{x|＜x＜}D．{x|＜x＜a}【解答】解：∵a＞b＞0，∴＞，∵M={x|b＜x＜}，N={x|＜x＜a}，∴M∩N={x|＜x＜}．故选：C．7．（5分）已知O是等边△ABC边AC（不含端点）上的一点，D为AB上的点，且||=2||=2，+=2，则•=（）A．﹣ B．C．﹣1 D．1【解答】解：因为已知O是等边△ABC边AC（不含端点）上的一点，D为AB上的点，且||=2||=2，+=2，所以BO⊥AC，OD是△AOB的中线，所以∠AOD=60°，所以•=AO×OD×cos120°=﹣1×1×=；故选：A．8．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，1]C．（1，+∞）D．（﹣，1）【解答】解：∵关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，4]上有解，∴a＞﹣x，x∈[1，4]，⇔a＞（﹣x）min，x∈[1，4]，∵函数f（x）=﹣x在x∈[1，4]单调递减，∴当x=4时，函数f（x）取得最小值﹣，∴实数a的取值范围为（﹣，+∞）．故选：A．9．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．2 B．C．D．1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z与圆在第一象限内与圆相切时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．此时圆心到直线x+y﹣z=0的距离d=，即|z|=，解得z=或z=，故目标函数z=x+y的最大值为．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1）；∴f′（1）=2×1+f′（2）×（1﹣1）=2．故选：B．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差，b=1，则a+c的取值范围是（）A．（1，2]B．（0，2]C．（1，]D．（0，]【解答】解：在△ABC中，由A，B，C成等差，可得2B=A+C，由A+B+C=π，得3B=π，B=．由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac•cosB，得，即1=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，则，解得：﹣2≤a+c≤2．又a+c＞b=1．∴a+c的取值范围是（1，2]．故选：A．12．（5分）如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B． C．D．【解答】解：当x由0→时，t从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t从0→+∞，且单调递增，∴排除A，B，C，故选：D．二、填空题（每小题5分，满分20分）13．（5分）已知θ为第二象限角，且sinθ=，则cos（θ﹣π）=．【解答】解：∵θ为第二象限角，且sinθ=，∴cosθ=﹣=﹣，∴cos（θ﹣π）=cos（π﹣θ）=﹣cosθ=，故答案为：．14．（5分）向量，满足：•=4，|+|=5，则|﹣|=3．【解答】解：因为|﹣|2=|+|2﹣4•=52﹣4×4=9；所以|﹣|=3；故答案为：3．15．（5分）正项数列{a n}中，a1=4，a n+a n2=2（a n+1）a n﹣1（n≥2），则它的前10项之和S10=4092．【解答】解：由a n+a n2=2（a n+1）a n﹣1，得a n（1+a n）﹣2（a n+1）a n﹣1=0，）=0，（a n+1）（a n﹣2a n﹣1∵a n＞0，∴a n+1≠0，则a n﹣2a n=0，a n=2a n﹣1（n≥2）．﹣1∴数列{a n}是以4为首项，以2为公比的等比数列，则．故答案为：4092．16．（5分）定义在[0，+∞）的函数f（x）=e x﹣bx有且只有一个零点，则实数b=e．【解答】解：（法一）易知x=0不是函数f（x）=e x﹣bx的零点，故函数f（x）=e x﹣bx有且只有一个零点可化为y=与y=b只有一个交点；作y=与y=b的图象如下，故由图象知，y=在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故b==e；（法二）y′=；故y=在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，从而可得b==e；故答案为：e．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）从一批香梨中，随机抽取100个，其质量（单位：克）的频数分布表如表：（Ⅰ）试估计该批香梨质量在[87.5，95）内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法从质量在[80，85）和[90，95）的香梨中共抽取5个，再从抽取到的5个香梨中随机取出2个，求取出的这2个其质量都在[90，95）内的概率．【解答】解：（Ⅰ）质量在（87.5，90）频数估计为10，在[90，85）的频数是40．所以质量在（89.5，95）的估计频率为=（Ⅱ）分层抽样的方法从质量在[80，85）和[90，95）的香梨中共抽取5个，故在[80，85）和[90，95）中分别应取10×=1个和40×=4个设这4个香梨中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1，重量在[95，100）段的有4个，编号分别为2、3、4，5从中任取两个，可能的情况有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种．设任取2个，重量在[95，100）中的事件为A，则事件A包含有（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共6种，故取出的这2个其质量都在[90，95）内的概率P（A）==．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，且C=．（Ⅰ）求角A，B的大小；（Ⅱ）设函数f（x）=sin（2x+A）﹣sin2x+cos2x，求函数f（x）的最小正周期及最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵=，由正弦定理得，即sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=（舍去），又∵C=，∴A=B=．（Ⅱ）f（x）=sin（2x+A）﹣sin2x+cos2x=sin（2x+）+cos2x=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴最小正周期T==π，最小值为﹣．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD，PA=1，点M是棱PC上的一点，且AM⊥PB．（Ⅰ）求三棱锥C﹣PBD的体积；（Ⅱ）证明：AM⊥平面PBD．【解答】解：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD，PA=1，即三棱锥P﹣BCD的高为PA=1，，…2分=V P﹣BCD，…4分所以，三棱锥C﹣PBD的体积V C﹣PBD=AP•S△BCD=…6分（Ⅱ）由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，…7分设AC，BD的交点为O，由正方形知，BD⊥AC，…8分所以，BD⊥平面PAC，…9分从而，BD⊥AM…10分又AM⊥PB，所以，AM⊥平面PBD…12分20．（12分）在等比数列{a n}中，公比q≠1，等差数列{b n}满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=，数列{c n}的前n项和为S n，证明：Sn＜（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：∵等比数列{a n}中，公比q≠1，等差数列{b n}满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3，∴，b4=3+3d，b13=3+12d，依题意有，消d，得q2﹣4q+3=0，解得q=3或q=1（舍），∴d=2，∴a n=，b n=2n+1．（Ⅱ）证明：∵c n===，∴n≥2时，S n==＜．又S1=，∴Sn＜（n∈N*）．21．（12分）已知函数f（x）=，且f（1）=0，f′（1）=1．（Ⅰ）求常数a，b的值；（Ⅱ）若1≤λ≤2，证明：函数g（x）=f（x）﹣λlnx（0＜x≤1）的值恒非负．【解答】（I）解：．∵f（1）=0，f′（1）=1，∴，解得．（II）证明：g（x）=f（x）﹣λlnx=（0＜x≤1）．∴g′（x）=．令h（x）=x2﹣λx+lnx（0＜x≤1）．h′（x）=2x﹣λ+．由于，当且仅当时取等号．∴时，h′（x）≥0，此时函数h（x）是增函数．因此h（x）≤h（1）=1﹣λ，由于，0＜x≤1，h（x）≤h（1）=1﹣λ≤0，g′（x）≤0，故，g（x）（0＜x≤1）是减函数，∴g（x）≥g（1）=0，即时，g（x）的值恒非负．22．（10分）已知函数f（x）=e|x|+|x﹣a|是偶函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求不等式f（x）≥x的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e|x|+|x﹣a|是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即e|﹣x|+|﹣x﹣a|=e|x|+|x﹣a|，∴|x+a|=|x﹣a|，则a=0，故f（x）=e|x|+|x|，f（1）=e+1，当x＞0时，f（x）=e x+x，得f′（x）=e x+1，∴f′（1）=e+1．从而曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率k=e+1，∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣（e+1）=（e+1）（x﹣1），即y=（e+1）x；（Ⅱ）当x≥0时，e x≥1恒成立，从而原不等式f（x）≥x，即e x≥0成立，此时不等式的解集为{x|x≥0}；当x＜0时，原不等式f（x）≥x即为e﹣x≥2x，而x＜0时，e|x|=e﹣x＞1，2x＜0，故此时e﹣x≥2x恒成立，即此时不等式的解集为{x|x＜0}，∴原不等式的解集为R．。
江苏省扬州市2014—2015学年度高三第一学期期中考试数学试题(扫描版,答案word)
扬州市2014—2015学年度第一学期期中调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1．A 2．1i + 3．x R ∀∈，0322≠++x x4．42-5．2 6．必要不充分 7．[0,2] 8．72x =9. π3210．311．12．y = 13．2514．(0,2)e 15(1)由已知可得()cos 1sin f x x x =++)14x π=++, ……4分令3[2,2]422x k k πππππ+∈++，得()f x 的单调递减区间为5[2,2]()44k k k Z ππππ++∈； ……7分(2)由(1)())14f x x π=++．因为[,]22x ππ∈-，所以3[,]444x πππ+∈-， ……9分当sin()14x π+=时，即π4x =时，()f x 1； ……12分当sin()42x π+=-2x π=-时，()f x 取得最小值0． ……14分16(1)由已知，()()f x f x -=-，即1212x x m--+-++=1212x x m +-+-+，则1222x xm -++⋅=1212x x m +-+-+， ……4分 所以(21)(2)0xm -⋅-=对x R ∈恒成立，所以2m =． ……7分（本小问也可用特殊值代入求解，但必须在证明函数为奇函数，否则只给3分） (2)由11()221x f x =-++， 设21x x >，则12122122()()0(12)(12)x x x x f x f x --=<++，所以()f x 在R 上是减函数，（或解：22ln 2'()0(21)x x f x -=<+，所以()f x 在R 上是减函数，） ……10分由()(1)0f x f x ++>，得(1)()f x f x +>-，所以1x x +<-，得12x <-， 所以()(1)0f x f x ++>的解集为1{|}2x x <-．（本小问也可直接代入求解） ……….14分17(1)当0k =时，y b =，设,A B 两点横坐标为12,x x ，则1,2x =2214||||222b b S b b +-=⨯⨯=≤=，……4分当且仅当||b =即b =所以OAB ∆的面积为S 的最大值为2； ……7分(2)1sin 2S OA OB AOB =⨯⨯⨯∠=则s i n A O B ∠=所以3AOB π∠=或23AOB π∠=，……9分 当3AOB π∠=时OAB ∆为正三角形，则O 到3y kx =+的距离d ==k = …11分当23AOB π∠=时O 到3y kx =+的距离为cos 13R π⨯=，即1d ==，得k =± ……13分经检验，k =k =±3,3y y =+=±+． ……14分18(1)如图2，△ABF 中，AB=∠ABF =135°,BF =15t ,AF =t ， 由余弦定理，2222c o sAF AB B F =+-⋅，…3分得22211()2(55t t t =+-⨯⨯， 得232525000t t --=，(25)(3100)0t t +-=， 因为0t >，所以1003t =（秒）， ……6分 答：若营救人员直接从A 处入水救人，t 的值为1003秒． ……7分(2)如图3，20AC BD CH =+-，在Rt CDH 中，20tan CH α=，20sin CD α=， 则12020205tan sin 71t t αα+-+=，得507c o s (1)17s i n t αα-=+， ……10分 设7cos ()sin f ααα-=，则217cos '()sin f ααα-=，令'()f α=0，得1cos 7α=，记0(0,)2πα∈，且01cos 7α=，则当0(0,)αα∈时，'()0f α<，()f α是减函数；当0(,)ααπ∈时，'()0f α>，()f α是增函数，所以当1cos 7α=时，()f α有极小值即最小值为，从而有最小值图2C图250(117+秒， ……15分 答：507cos (1)17sin t αα-=+，的最小值为50(117+秒． ……16分19(1)依题意21,310,c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得1,3c a ==，则2228b a c =-=，所以椭圆方程为22198x y +=； ……4分 (2)连结PG 、QG ，∵(1,0)G 为椭圆的右焦点，所以13PH PG PG e==， 所以PQ PH=13PQ PG ⋅== ……7分 因为[,][2,4]PG a c a c ∈-+=，所以PQPH ∈； ……10分 方法2：设(,)P x y ，PQ PH=[3,3]x ∈-， ……7分 得PQPH [612∈； ……10分 (3)设圆M ：222()()(0)x m y n r r -+-=>满足条件，(,)N x y其中点(,)m n 满足22198m n +=，则2222222x y mx ny m n r +=+--+，NF =NT =要使NFNT=222NF NT =，即22610x y x +--=， ……13分 代入2222222x y mx ny m n r +=+--+，得2222(3)210m x ny m n r -+---+=对圆M 上点(,)N x y 恒成立，只要使22230,0,1,m n r m n ⎧-=⎪=⎨⎪=++⎩得23,0,10,m n r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩经检验3,0m n ==满足22198m n +=， 故存在以椭圆上点M 为圆心的圆M ，使得过圆M 上任意一点N 作圆G 的切线（切点为T ）都满足NFNT=M 的方程为22(3)10x y -+=． ……16分 （本题也可直接求出轨迹方程后再说明圆心恰好在椭圆上） 20(1)函数的定义域是(0,)+∞，当6a =时，()2626(23)(2)'21x x x x f x x x x x--+-=--==令'()0f x =，则2x =，（32x =-不合题意，舍去） ……3分 又(0,2)x ∈时'()0f x <，()f x 单调递减；(2,)x ∈+∞时'()0f x >，()f x 单调递增；所以，函数的最小值是(2)26ln 2f =-； ……5分 (2)依题意(1)0f =，且()0f x ≥恒成立， ……6分方法一：()()22'210a x x af x x x x x--=--=>，故1x =必是函数的极小值即最小值点，所以'(1)0f =，此时1a =，而当1a =时，()2121(21)(1)'21x x x x f x x x x x--+-=--==，当(0,1)x ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；函数()f x 的最小值是(1)0f =，即()0f x ≥恒成立； ……10分 方法二：若0a ≤，当(0,1)x ∈时，20x x -<，ln 0x <，不等式2ln 0x a x x --≥不成立，若0a >，设'()0f x =，得：x =，或x =（舍去）.设t =若01t <<，则()f x 在(,)t +∞上单调递增知，()(1)0f t f <=，不合题意， 若1t >，在(0,)t 上单调递减，，则()(1)0f t f <<，不合题意．即1t =，所以1a =； ……10分方法三：不等式即为2ln x x a x -≥，分别作出2y x x =-，和ln y a x =的图象，它们都过点(1,0)，故函数2y x x =-，和ln y a x =在(1,0)处有相同的切线，可得1a =，再证明，以下同方法一； ……10分 (3)122'()3x x f k +> ……11分 证明：()'21a f x x x =-- ，()1212122+2+23'133+2x x x x a f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由题，()()()()12212121212212121212lnln ln 1x a x x a x x x x y y x k x x x x x x x x ------===+-----……13分则()()112122121212ln2+2+23'+33+2x a x x x x x a f k x x x x x x ⎛⎫-=--+ ⎪-⎝⎭ 12121212ln33+2x a x x x ax x x x -=-+- 21121121223()[ln ]3+2x x x x x a x x x x x --=---， 令12x t x =，则()0,1t ∈，设()()31ln +2t g t t t -=- 则：()()()()()221491'0+2+2t t g t t t t t --=-=-<， 故()g t 在()0,1上单调递减. 所以：()()10g t g >= 即1211223()ln 0+2x x x x x x -->，考虑到0a >，12x x <，故2103x x ->，120ax x ->-， 所以122112112122+23()'()[ln ]033+2x x x x x x x af k x x x x x ---=-->-即122'()3x x f k +>． ……16分BA CDS Exy z第二部分（加试部分）21．由题意A αλα=，即111311b λλλ 2---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以213b λλ-+=-⎧⎨-+=⎩，解得2,4b λ==． ……10分22．3211()(0,1,2,,)2rn rn rrr r r nnT C xC x r n --+===⋅⋅⋅ ……3分(1)由题意，112211()()22n n C C =，解得5n =； ……5分(2)352151()(0,1,2,3,4,5)2rr r r T C xr -+==，当0,2,4r =时为有理项， ……7分 即0055222244115355511515(),(),()222216T C x x T C x x T C x x-======．……10分23．如图，以{,,}DA DC DS 为正交基底，建立空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,2)A B C S E λ， ……2分(1)当12λ=时，(0,0,1),(2,0,1),(2,2,2)E AE SB =-=-cos ,||||AE SB AE SB AE SB ⋅<>==-⋅ 所以异面直线AE 与SB 所成角的余弦值为5； …5分 (2)(0,2,0)DC =是平面AED 的一个法向量，设(,,)n x y z =是是平面AEC的一个法向量，(2,2,0),C A C E λ=-=-，则220220n CA x y n CE y z λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，得x y z λ==，取x λ=，则(,,1n λλ=， ……8分 因为二面角C AE D --的大小为60，01λ<<， 所以1cos ,2||||2DC n DC n DC n λ⋅<>===⋅，得212λ=，所以2λ=． ……10分 24．(1)11kk n n k C n C --⋅=⋅； ……2分 证明过程 ……4分(2)①由二项分布得：11221(1)2(1)n n n nn n n EX C p p C p p n C p --=⋅-+⋅-++⋅01121111(1)(1)....n n n nn n n n C p p n C p p n C p ------=⋅-+⋅-+⋅ 011211111[(1)(1)....]n n n n n n n np C p C p p C p-------=-+-+ npp p np n =+-=-1)1(；……6分 ②因为211C C C kkk n n n k k k k n --=⋅=⋅， 而()()1112111121C 1C C 1C C (2)k k k k k n n n n n k k n k ----------=-+=-+≥， 所以，22121C [(1)C C ]kkk k kn n n k p n n n p ----=-+ ……8分21Cnk knk k p =∑()2221121211CC nnk k k k n n k k n n ppnp p------===-+∑∑()22121(1)(1)(1)(1)n n n n n p p np p np np p ---=-+++=++.……10分。
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2014-2015学年度上学期期中考试高三数学试卷
一、选择题：有且仅有一个正确选项，每小题5分，共50分。
1.
150cos 的值等于（ ）
A. 23
B. 21
C.
21-
D.
23-
2. 设A 、B 是非空集合，则“B A ⊆”是“B B A = ”的（ ） A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件21世纪教育网
C. 充要条件
D. 不充分不必要条件
3. 已知数列{}n a 的前n 项和()12-=n n a S ，那么=9a （ ）
A. 128
B. 256
C. 512
D. 1024
4. 设a 、b 是两个非零向量，则b a
//的一个充分不必要条件是（ ）
A. 0=⋅b a
B. 0 =+b a
C.
b
a =
D. 存在R ∈λ，使b a
λ=
5. 设偶函数()x f 满足
()()083
≥-=x x x f ，则集合(){}=>-03|x f x （ ） A. ()()+∞∞-,51, B. ()5,1 C. ()()+∞∞-,40,
D. ()4,0
6.要得到函数x y sin =的图象，只需将函数⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-=6cos πx y 的图象（ ） A. 向右平移3π
个单位
B. 向右平移6π
个单位 C. 向左平移3π
个单位
D. 向左平移6π
个单位
7. 锐角ABC ∆中，
()53sin =
+B A ，
()51
sin =
-B A ，则=⋅B A cot tan （ ） A. 21
B. 2
C. 3
D. 31
8. 定义在R 上的函数()x f 存在导函数()x f y '=，如果1x ，R x ∈2，21x x <，且 ()()x f x f x ->'对一切R x ∈恒成立，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. ()()2211x f x x f x >
B. ()()2211x f x x f x <
C. ()()1221x f x x f x >
D. ()()1221x f x x f x <21世纪教育网
第II 卷 （非选择题，满分100分）
二、填空题：把最后结果写在答卷上，每小题5分，共25分。
11. 已知集合
{}
04|2
≤-∈=x R x A ，{}
4|≤∈=x Z x B ，那么=B A . 12. 函数
x x y 42cos sin +=的值域是 . 13. 用{}b a ,min 表示a 、b 两数中的最小值，若
(){}
t x x x f -=,min 的图象关于直线
2=x 对称，则t 的值是 .
14. 设非零向量a 与b 的夹角为θ，a b 2=，如果关于x 的方程0
22=⋅+-b a x a x
有实根，那么θ的范围是 .
15. 对于一切实数x ，令[]x 表示不大于x 的最大整数，则函数()[]x x f =称为高斯函数
或取整函数。
若⎪⎭⎫ ⎝⎛=4n f a n ，+∈N n ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则=⋅-∞→n n n S a n 414lim
.
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三、解答题：写出主要解题过程，6个小题，共75分。
16. （本小题满分13分）
设向量()x x a ωω
c o s 2,c o s =
，()x x b ωωsin ,cos 2= ()0,>∈ωR x ，已知函数
()1+⋅=b a x f
的最小正周期是2π。
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⑴求ω的值；
⑵求()x f 的最大值，并求出()x f 取得最大值的x 的集合.
17. （本小题满分13分）
已知函数
()()R x x ax x x f ∈++=2
34 (I)若2-=a ，求()x f 的单调区间；
(II)若()x f 仅在0=x 处有极值，求实数a 的范围.
18. （本小题满分13分）
ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别是a 、b 、c ，且c a b
C B +-
=2cos cos .
⑴求B 的大小；
⑵若13=b ，4=+c a ，求ABC ∆的面积.
19. （本小题满分12分）
设常数0≠c ，数列{}n a 满足：11=a ，c a a n n +=+1
，已知2a 、4a 、8a 成等比数列.
⑴求数列
{}n a 的通项公式；
⑵记
()0>⋅=p p a b n
a n n ，求数列{}n
b 的前n 项和n T .
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21. （本小题满分12分）
在数列
{}
n a 中，11=a ，
⎪⎩⎪⎨⎧-+=+为偶数为奇数n n a n n a a n n
n ,2,21
1，设22-=n n a b ，n
n b b b S +++= 21.
⑴求数列{}n b 的通项公式；
⑵若
122321++++++=n n n a a a a a T ，试比较n S 与n T 的大小.。