高三上学期期中考试理科数学

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陕西师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题含解析

9.双曲线的左，右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线的右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）
A. B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将代入双曲线方程求出点的坐标，通过解直角三角形列出三参数，，的关系，求出离心率的值．
【详解】由于轴，且在第一象限，设
所以将代入双曲线的方程得即，
7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）
A.Sn无限大B.Sn<3(3＋ )m
C.Sn＝3(3＋ )mD.Sn可以取100m
17.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交AB于点D，且，求的最小值；
【答案】（1）；（2）4
【解析】
【分析】（1）由，利用正弦定理将边转化为角得到，再根据，有，然后利用两角差的正弦公式展开求解.
（2）根据的平分线交AB于点D，且，由，可得，化简得到，则，再利用基本不等式求解.
【详解】设，，
则，，
如图所示，
连接交于点，连接、，
因为平面，平面，
所以，而，所以四边形是直角梯形，
则有，
，，
所以有，
故，
因为平面，平面，
所以，又因为为正方形，所以，
而平面，
所以平面，即平面，
,
所以，，
故答案为：③④.

【Word版解析】云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理科数学

玉溪一中高2013届高三上学期期中考试数学（理科）一、选择题：第小题5分，共60分。

1.复数z 1=3+i,z 2=1-i,则复数21z z 的虚部为（） A.2 B.-2i C.-2 D.2i 【答案】A【解析】123(3)(1)24=121(1)(1)2z i i i i i z i i i ++++===+--+，所以虚部为2，选A.2. 设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}2,3,4A =,{}2,5B =,则()U B C A =（） A.{}5B. {}125，，C. {}12345，，，，D.∅【答案】B【解析】{1,5}U C A =，所以()={1,5}{2,5}={1,2,5}U B C A ，选B. 3、函数()cos()26y x x ππ=++-的最大值为 ( ) A.413 B.413 C.213 D.13【答案】C【解析】1()cos()sin 262y x x x x xππ=++-=++1sin 2x x +,===，选C. 4、椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y += B.221128x y += C.22184x y += D.221124x y +=【答案】C【解析】因为椭圆的焦距是4，所以24,2c c ==又准线为4x =-，所以焦点在x 轴且24a c-=-，解得28a =，所以222844b a c =-=-=，所以椭圆的方程为22184x y +=，选C.5、已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为( )A. 3B. 2C. 1D.21【答案】A【解析】函数的定义域为(0,)+∞，函数的导数为3'2x y x =-，由31'22x y x =-=，得260x x --=，解得3x =或1x =-（舍去），选A. 6、已知某程序框图如图所示，则输出的i 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C【解析】解：第一次循环，=13,5S i ⨯=；第二次循环，=135,7S i ⨯⨯=；第三次循环，=1357100,9S i ⨯⨯⨯>=，此时退出循环，输出9i =，故选C ．7、某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（）A ．474种B ．77种C ．462种D ．79种【答案】A【解析】首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有39504A =种排法，其中上午连排3节的有33318A =种，下午连排3节的有33212A =种，则这位教师一天的课表的所有排法有504-18-12=474种，故选A ．8、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A.12πB.C.3πD. 【答案】C【解析】由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE 与底面垂直，∴根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC 根据直角三角形的勾股定理知AC ==，所以外接球的面积为243ππ=，选C.9．设,,l m n 表示不同的直线，αβγ，，表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，且.m α⊥则l α⊥； ②若m ∥l ，且m ∥α.则l ∥α；③若,,l m n αββγγα=== ，则l ∥m ∥n ； ④若,,,m l n αββγγα=== 且n ∥β,则l ∥m . 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①正确；②中当直线l α⊂时，不成立；③中，还有可能相交一点，不成立；④正确，所以正确的有2个，选B.10．已知向量(1,2),(4,)a x b y =-= ，若a b ⊥，则93x y +的最小值为（）A．．12 C ．6 D．【答案】C【解析】因为a b ⊥ ，所以0a b = ，即4(1)20x y -+=，所以22x y +=。

山东省临沂市2014-2015学年高三上学期期中考试理科数学试题word版含答案

高三教学质量检测考试理科数学2014.11本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集2,{|1},{|20}U R A x x B x x x ==>=->，则()U C AB =（）A ．{}|2x x ≤B ．{}|1x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|02x x ≤≤ 2、下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A ．2(1)y x =- B ．2xy -= C ．ln y x = D ．y3、已知命题:22;p q ≤ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝4、设函数()()23,(2)f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x +5、如图，AB 是O 的直径，点,C D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，,AB a AC b ==，则AD =（）A ．12a b + B ．12a b - C ．12a b + D ．12a b - 6、函数(01)xxa y a x=<<的图象的大致形状是（）7、已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan2α=（）A ．13-B ．12- C ．2 D ．3 8、给出下列四个结论：①函数()2log f x x =是偶函数；②若393,log a x a ==，则x =③若,1x x R e x ∀∈≥+，则0:,1x p x R e x ⌝∀∈≤+；④“3x >”是“21x ->”的充分不必要条件，其中正确的结论的个数是（）A ．0B ．1C ．3D ．3 9、已知函数()sin()f x x ϕ=-，且()30f x dx π=⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（）A ．23x π=B ．56x π=C ．3x π=D ．6x π= 10、设()22x x f x -=-，若当,02πθ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，21()(3)0cos 1f m f m θ-+->-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．()2,1-C ．()[),21,-∞-+∞D ．(),2(1,)-∞-+∞第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

潍坊市高三数学期中考试真题试卷(理科)

潍坊市高三数学期中考试真题试卷（理科）查字典数学网小编编辑整理了潍坊市2021年高三数学期中考试真题试卷(理科)，本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分1 50分。

考试时刻120分钟。

请同学们做好以下练习!第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若AB={-4，0，1，2，16}，则a的值为()A.1B.2C.-4D.42.若定义在R上的函数满足则关于任意的，都有A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，阴影区域的边界是直线y=0，x=2，x=0及曲线，则那个区域的面积是A 4B 8C D4. ，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为5.已知，若是的最小值，则的取值范畴为A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]7.已知，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范畴是( )第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答案纸的相应位置上。

11.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像。

12.已知，且的夹角为锐角，则的取值范畴是。

13.已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范畴为。

14.已知，定义。

经运算，照此规律，则15.下图展现了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点m，如图①：将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图②：再将那个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)，如图③，图③中直线AM与x轴交于点N(n，0)，则m的象确实是n，记作。

下列说法中正确命题的序号是(填出所有正确命题的序号)①②是奇函数③在定义域上单调递增④是图像关于点对称。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2022-2023学年江西省临川一中上学期期中考试理科数学试卷及答案

临川一中2022-2023学年度上学期期中考试高三年级数学理科试卷1．已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,3,4,5,4,7,8U A B ===，则=⋃B A C U )(（卷面满分：150分一、单选题（每题5分，共60）A ．{}7,8B ．{}1,2,6C ．{}1,2,4,6,7,8D ．{}1,2,6,7,82．已知i 是虚数单位，若2(1)i z i +=-，则z 对应的点在复平面的()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”，则命题p 的否定为（）A ．0a ∀≤，有12a a+≥成立B ．0a ∀>，有12a a+≥成立C ．0a ∃≤，有12a a +≥成立D ．0a ∃>，有12a a+≥成立4．“幂函数()()21m f x m m x =+-在()0,∞+上为增函数”是“函数()222x xg x m -=-⋅为奇函数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要5．对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题中，真命题为（）①若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d ；②若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；③若a ＞b ＞0④若a ＞b ＞0，则2211>a b ．A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③6．已知曲线y =()1,4处的切线的倾斜角为2α，则1sin cos π14ααα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．2B ．12C ．D ．17．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸B ．秋分的晷长为75寸C ．立秋的晷长比立春的晷长长D ．立冬的晷长为一丈五寸8．在ABC 中，A,B,C 分别为ABC 三边a 、b 、c所对的角．若cos 2B B =且满足关系式cos cos 2sin 3B C a Bb c c+=，则ABC 外接圆直径为（）AB ．2C ．4D．9．定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时，()x f x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数)0(,1)()(>--=m mx x f x g 有5个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡--61e ,101e B ．)101e (0,5-C ．61e ,111e (--D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-101e 0,10．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率ω=e（其中12ω=）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为12222=+by a x ，()0>>b a ，若以原点O 为圆心，短轴长为直径作O ，P 为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P 作O 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，则=+2222ONa OMb （）A.ω1B.ωC.ω- D.ω1-11.已知定义在（－2，2）上的函数)(x f 导函数为)('x f ，若0)()(4=-+x f e x f x ，2)1(e f =且当0>x 时，)(2)('x f x f >，则不等式42)2(e x f e x <-的解集为（）A.)4,1( B.)1,-2( C.)4,0( D.)1,0(12.若函数b x a e x f x+-+=)1()(在区间[21，1]上有零点，则22b a +的最小值为（）A.54e B.2eC.21 D.e二、填空题（每题5分，共20分）13．已知向量a ，b 满足a =（3，4），a ·b=6，7a b -= ，则b ＝________.14．已知()f x 为偶函数且()2d 4f x x =⎰，则()()|22| 2e d x f x x x -+⎰等于_____．15．如右图，将函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的图象上所有点向右平移π6个单位长度，得到如图所示的函数()y g x =的图象，若π(0)3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭)0,(,>+b a b a ，则ba 11+最小值为_____．16．已知菱形ABCD 的各边长为2,60D ∠= .如图所示，将ACD ∆沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S ABC -，此时3SB =.若E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S ABC -的外接球上运动，且始终保持EF AC ⊥则点F 的轨迹的面积为__________.三、解答题17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和1*44(N )33n n S n +=-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（12分）如图,在边长为2的等边ABC 中，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点．将ADE 沿DE 折起，使得AB AD ⊥，得到四棱锥A BCDE -，连接BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ．(1)证明：AH BD ⊥；(2)设点B 到平面AED 的距离为1h ，点E 到平面ABD 的距离为2h ，求12h h 的值．19．（12分）甲，乙两位同学组队去参加答题拿纪念币的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，乙同样也是答两道题.每答对一道题得10枚纪念币.已知甲每题答对的概率均为p ，乙第一题答对的概率为23，第二题答对的概率为12.已知乙有机会答题的概率为1516.(1)求p ;(2)求甲，乙共同拿到纪念币数量X 的分布列及期望.20．（12分）已知双曲线C 与双曲线221123y x -=有相同的渐近线，且过点1)A -.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点(2,0),,D E F 是双曲线C 上异于D=，证明:直线EF 过定点，并求出定点坐标.21.（12分）已知函数ax e x f x -=)(,x x f x 2sin )()(+=ϕ,(R a ∈),其中 2.71828≈e 为自然对数的底数．(1)讨论函数)(x f 的单调性，(2)若*a N ∈，当0x ≥时，0)(≥x ϕ恒成立时，求a 的最大值．（参考数据：≈3e 20.1）四．选做题（共10分，请考生在22，23题任选一题作答，如果多选，则按所做第一题记分）22．（10分）以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox 中，曲边三角形OPQ 为勒洛三角形，且π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以极点O 为直角坐标原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．(1)求O Q 所在圆C 2的直角坐标方程；(2)已知点M 的直角坐标为(0,-1)，曲线C 1和圆C 2相交于A ，B 两点，求11||||MA MB -．23．（10分）已知函数()+1f x x x =+．(1)设()f x 的最小值为m ，求m ；(2)若正数,,a b c 满足abcm =，证明：cb a abc ac b bc a 111++≥++．临川一中2022-2023学年度高三上学期期中考试数学试卷答案（理）一、单选题1．【答案】C 【详解】{}1,2,6,7,8U A =ð，则(){}1,2,4,6,7,8U A B = ð.故选：C 2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】A【详解】要使函数()()21mf x m m x =+-是幂函数，且在()0,+∞上为增函数，则2110m m m ⎧+-=⎨>⎩，解得：1m =，当1m =时，()22x x g x -=-，x ∈R ，则()()()2222xx x x g x g x ---=-=--=-，所以函数()g x 为奇函数，即充分性成立；“函数()222x xg x m -=-⋅为奇函数”，则()()g x g x =--，即()222222222----⋅=--⋅=⋅-x x x x x xm m m ，解得：1m =±，故必要性不成立，故选：A ．5．【答案】B6．【答案】B44b a ∴>，故错C 误.8．【答案】B9．【答案】D 【详解】由题，令2x +替换x ，则()()()()22224f x f x f x f x -+=-=++=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，又()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，则()()4f x f x +=，所以()f x 是周期函数，4T =，10.【答案】A【详解】依题意有OAPB 四点共圆,将两圆方程：222b y x =+与00202=-+-y y y x x x 相减，得200:b yy xx l AB =+，解得)b (0, ,0)b (0202y N x M ，因为=+2222ONaOMb2242242022024*******422042b a b b a b y a x b b y a b x y b a x b b ==+=+=+，所以=ω1-52=ω1.11.【答案】A 解：令xex f x g 2)()(=则由0)()(4=-+x f e x f x得0)()(=-+x g x g ，∴)(x g 为奇函数又xex f x f x g 2'')()()(-=，∴当0>x 时，)(,0)('x g x g >单调递增，∴)(x g 在（－2，2）上单调递增又1)1()1(2==e f g ，∴⇒<-⇒<-⇒<--)1()2(1)2()2()2(242g x g e x f e x f e x x 4112222<<⇒⎩⎨⎧<-<-<-x x x 选A12.【答案】A)(t g 在[21，1]单调递增.)(t g 最小值为54e .二、填空题13.【答案】614.【答案】1615．【答案】116．【答案】π1225设三棱锥S ABC -外接球的球心为,,O SAC BAC 的中心分别为易知1OO ⊥平面2,SAC OO ⊥平面BAC ，且12,,,O O O 由题可得1121602OMO O MO ∠∠==，113O M SM =解Rt 1OO M △，得1131OO O M ==，又123O S SM =易知O 到平面α的距离12d MH ==，三、解答题18．【答案】(1)见解析；【详解】（1）证明：在图1中，ABC 为等边三角形，且D 为边AC 的中点，BD AC ∴⊥，........1分（2）B AED E ABD V V --= ，∴121133AED ABD S h S h = ，则12ABDAEDh S h S = ．...........................................8AED 是边长为1的等边三角形，∴34AED S =在Rt ABD 中，3BD =，1AD =，则2AB =．19．【答案】(1)34p =；(2)分布列见解析，415()16E X =119133415E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (12)()01020304016163232161621【答案】（1）由ax e x f x -=)(可得a e x f x -=)(' (1)当0a ≤时，()f x 在()0,+∞单调递增； (2)22．【答案】(1)222:((1)4++=C x y ；(2)3m=；；(2)证明见解析. 23．【答案】(1)1。

2022-2023学年四川省成都市高三年级上册学期期中考试数学(理 )

2022-2023学年四川省成都市高三上学期期中考试理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 143. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,64. 函数在区间的图象大致为（）()33cos x x y x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（）a b = a b∥A. B.C.D.p q∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π8. 数列中，，对任意，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=-（）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11C. 12D. 1310. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C.D.12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（）AB A. 8B. 6C. 5D. 4.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭15. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：b M ∈211222a b ab +--<+2022-2023学年度上期高2023届11月半期考试理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】B 2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 14【答案】C 3. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,6【答案】A4. 函数在区间的图象大致为（）()33cos xxy x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.【答案】A5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π【答案】A6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（）a b = ab ∥A. B.C.D.p q ∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝【答案】D7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π【答案】B8. 数列中，，对任意，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=- （）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C9. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】C10. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<【答案】D 11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C. D. 【答案】C12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（）AB A. 8 B. 6C. 5D. 4.【答案】B二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 【答案】12-14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】13515. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △【答案】16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）【答案】5三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 【答案】（1）π3C =（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直可得数量积为0，结合正余弦定理边角互化即可求解，（2）根据余弦定理可求值，进而可求，根据三角形面积公式即可求解.CD a 【小问1详解】因为，所以，m n ⊥()sin (sin sin )()0a b B A C c a -⨯++-=由正弦定理得．()()()a b b a c a c -⨯=+-即，由余弦定理得，222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以．0πC <<π3C =【小问2详解】在三角形中，，ADC 2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠即，解得或，即或，213164CD CD =+-1CD =3CD =2a =6a =因为，故，sin sin B C <B C <因为，所以，故，所以，π3C =A CB >>a c b >>6a =所以11sin 6422ABC S ab C ==⨯⨯=△18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ【答案】（1），中位数；0.012m =68（2）分布列见解析，.911【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，，(0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=解得，0.012m =设中位数为，解得；a ()0.004100.02210600.30.5a ∴⨯+⨯+-⨯=68a =【小问2详解】的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1[)[)[]70,80,80,90,90,100 从中分别抽取7人，3人，1人，∴[)[)[]70,80,80,90,90,100所有可能取值为0，1，2，3，ξ，，，38311C 56(0)C 165P ξ===2183311C C 28(1)C 55P ξ===1283311C C 8(2)C 55P ξ===33311C 1(3)C 165P ξ===故的分布列为：ξξ0123P5616528558551165故()56288190123.165555516511E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）由已知得为等边三角形，，再由，能证明⊥平1A AD1A O AD ⊥1A O CD ⊥1AO 面．ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当的长为时，O //Ox AB O O xyz -BP 23二面角的值为1D A A P --3π【详解】（1）证明：∵，且，13A AD π∠=12AA AD ==∴为等边三角形1A AD∵为的中点O AD ∴，1A O AD ⊥又，且，1CD A O ⊥CD AD D = ∴平面．1A O ⊥ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）O //Ox AB O O xyz -则，，(0,1,0)A-1A 设，(1,,0)P m ([1,1])m ∈-平面的法向量为，1A AP 1(,,)n x y z =∵，，1AA =(1,1,0)AP m =+且，1110(1)0n AA y n AP x m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 取，得1z=11),n m =+平面的一个法向量为11A ADD 2(1,0,0)n =由题意得12cos ,n n = 解得或（舍去），此时13m =-53m =-12133BP =-=∴当的长为时，二面角的值为.BP 231D A A P --3π20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 【答案】（1）22143x y +=（2）94【解析】【分析】（1）由题意列出曲线方程化简即可求解；（2）设直线AB 的方程为，，，表示出，联立直线与椭圆方程消去，1,x my =-()11,A x y ()22,B x y P x 表示出关于的韦达定理，结合求出直接PB 的方程，令，求出坐标，进而得到，由y ,B P 0y =M FM求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值.1212ABM S FM y y =-△ABM 【小问1详解】设曲线C 上的任意一点的坐标为，(),x y，即，所以曲线C 的方程为；12=22143x y +=22143x y +=【小问2详解】由题意，设直线AB 的方程为，，，则.1,x my =-()11,A x y ()22,B x y ()14,P y -联立方程得，则，221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my +--=()214410m ∆=+>所以，，所以122634m y y m +=+122934y y m -=+()121223my y y y -=+又因为，所以直接PB 的方程为.2124PB y y k x -=+()211244y y y y x x --=++令，则，0y =()()1212121212121343352444422y y y x my y y x y y y y y y -++=--=--=--=-+=----所以，.5,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭32FM =因为12y y -====所以121324ABMS FM y y =-==△令，，则.t =1t ≥2991313ABM t S t t t ==++△又因为在上单调递减，所以当时，，()913f t t t =+[)1,+∞1t =()max94ARM S =△故面积的最大值为.ABM 94【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+【答案】（1） 1m n ==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，由可求对应的m 和n 的值；()()10,11f f '==（2）设，由可判断，由得，设0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b <<<0a b <<11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，得，代换整理得，原不等式要11x b =21x a =21x tx =()()11221ln 1ln x x x x -=-11ln ln 1t t t x t --=-证，只需证，全部代换为关于的不等式得，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<t ()()1ln 1ln 0t t t t -+-<设，，由导数得，再证，放缩得()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-1t >()12ln 11S t t t ⎛⎫'=+-⎪+⎝⎭()ln 1x x ≤+，进而得证.112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭【小问1详解】由，得.()ln m x n f x x +=()2ln m m x nf x x --'=因为函数在处的切线方程为，()f x ()()1,1f 1y =所以，，则；()10f m n '=-=()11f n ==1m n ==【小问2详解】证明：由（1）可得，，，()ln 1x f x x +=()2ln xf x x -'=所以当时，，单调递增；()0,1x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减.()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 因为，是函数的图象上两点，且，()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =不妨设，且，所以.0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b<<<由，得，即.()()f a f b =ln 1ln 1a b a b ++=11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，.11x b =21x a =设，则，所以，21x tx =1t >()()11221ln 1ln x x x x -=-即，故.()111ln 1ln ln x t t x -=--11ln ln 1t t tx t --=-要证，只需证，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<即证，即证，即证，12e x x +<()11e t x +<()1ln 1ln 1t x ++<即证，即证.()1ln ln 111t t tt t --++<-()()1ln 1ln 0t t t t -+-<令，，()()()1ln 1ln S t t t t t=-+-1t >则，()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭证明不等式；()ln 1xx ≤+设，则，()()ln 1u x x x=+-()1111xu x x x -'=-=++所以当时，；当时，，10x -<<()0u x '>0x >()0u x '<所以在上为增函数，在上为减函数，()u x ()1,0-()0,∞+故，所以成立.()()max 00u x u ==()ln 1xx ≤+由上还不等式可得，当时，，故恒成立，1t >112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭()0S t '<故在上为减函数，则，()S t ()1,+∞()()10S t S <=所以成立，即成立.()()1ln 1ln 0t t t t -+-<12e x x +<综上所述，.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +【答案】（1） y =2220x y x +--=（2）79【解析】【分析】（1）利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l 的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标判断得P 在直线l 上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l 代入曲线C 的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.【小问1详解】因为直线l 的参数方程为（t 为参数），12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为y =因为，即，π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2cos ρθθ=+所以，得，22cos sin ρρθθ=+222x y x +=+所以曲线C 的直角坐标方程为.2220x y x +--=【小问2详解】因为点P 的极坐标为，所以点P 的直角坐标为，所以点P 在直线l上，3π2⎫⎪⎭(0,将直线l 的参数方程（t 为参数），代入，化简得，12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2220x y x +--=2790t t -+=设A ，B 两点所对应的参数分别为，，则，，故，，1t2t 127t t +=129t t =10t >20t >所以，，11PA t t ==22PB t t ==所以.121212111179t t PA PB t t t t ++=+==23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：.b M ∈211222a b ab +--<+【答案】（1）{}11M x x =-<<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）采用零点讨论法去绝对值可直接求解；（2）结合绝对值三角不等式得，要证()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+，即证，即证，去平方结合因式分解即可求211222a b ab +--<+1a b ab +<+221a b ab +<+证.【小问1详解】.()21110f x x x =+-+-<①当时，不等式可化为，解得，则；1x <-()21110x x -+++-<1x >-x ∈∅②当，不等式可化为，解得，则；112x -≤≤-()()21110x x -+-+-<1x >-112x -<≤-③当时，不等式可化为，解得，则.12x >-()()21110x x +-+-<1x <112x -<<综上所述，；{}11M x x =-<<【小问2详解】证明：因为（当且仅当时取等号），()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+()()21120a b +-≥所以要证，只需证，211222a b ab +--<+2222a b ab +<+即证，即证，即证，1a b ab +<+221a b ab +<+222210a b a b --+>即证.()()22110a b -->由（1）可知，.{}11M x x =-<<因为a ，，所以，所以成立.b M ∈221,1a b <<()()22110ab -->综上所述，.211222a b ab +--<+。

山东省潍坊市2022届高三上学期期中考试理科数学Word版含答案

山东省潍坊市2022届高三上学期期中考试理科数学Word版含答案高三数学试题（理科）注意事项：1．本试卷分4页，本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上．3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．4．第Ⅱ卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题．5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一个符合题目要求的选项．）1．设某∈Z，集合A为偶数集，若命题p：某∈Z，2某∈A,则pA．某∈Z，2某AC．某∈Z，2某∈AB．某Z，2某∈AD．某∈Z，2某A2．设集合A={1,2,3}，B={4,5}，C={某|某=ba,aA,bB}，则C中元素的个数是A．3B．4C．5D．63．已知幂函数yf(某)的图像过点（A．21，），则log2f(2)的值为22D．12B．－C．－124．在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若A．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形|某|coAb，则△ABC为coBaB．直角三角形D．等腰直角三角形5．若当某∈R时，函数f(某)a(a0且a1）满足f(某)≤1，则函数yloga(某1)的图像大致为6．已知110，给出下列四个结论：①ab②abab③|a||b|ab④abb2其中正确结论的序号是A．①②B．②④C．②③D．③④7．等差数列{an}的前20项和为300，则a4+a6+a8+a13+a15+a17等于A．60B．80C．90D．1202某a,某08．已知函数f(某)（aR），若函数f(某)在R上有两个零点，则a的取值2某1,某0范围是A．(,1)B．(,1]C．[1,0)某D．(0,1]9．已知数列{an}的前n项和为n，且n+an=2n（n∈N），则下列数列中一定是等比数列的是A．{an}B．{an－1}C．{an－2}D．{an+2}10．已知函数f(某)in(某3)（0）的最小正周期为，将函数yf(某)的图像向55D．126右平移m（m>0）个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则m 的最小值为A．62B．3C．11．设函数f(某)某某in某，对任意某1,某2(,)，若f(某1)f(某2)，则下列式子成立的是A．某1某222B．某1某2C．某1|某2|22D．|某1||某2|12．不等式2某a某yy≤0对于任意某[1,2]及y[1,3]恒成立，则实数a的取值范围是A．a≤22B．a≥22C．a≥113D．a≥92二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．23t2dt1，则inco.421某15．已知一元二次不等式f(某)0的解集为{某|某2}，则f(2)0的解集为。

河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理科)试题(含答案)

南阳市2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效.2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁,不折叠、不破损．第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合40,{54}1x A x B x x x -⎧⎫=≤=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣, 则()R A B ⋂=ðA. (,1](4,)-∞-⋃+∞B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. (-5,-1)D. (-5,-1]2. 若||||2z i z i +=-=, 则||z = A. 1D. 23. 若,x y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩ 则2y -的最小值是A. -1B. -3C. -5D. -74. 已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-. 若710k a <<, 则k = A. 9B. 10C. 11D. 125.已知sin 12x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 58-B. 58C. 4-D.46. 在ABC 中,30,C b c x ︒===. 若满足条件的ABC 有且只有一个, 则x 的可能取值是 A.12B.2C. 17. 若函数()(sin )x f x e x a =+在点(0,(0))A f 处的切线方程为3y x a =+, 则实数a 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 48. 在ABC 中, 角,,A B C所对的边分别为,,cos ),a b c c b A a b -==则ABC 的外接圆面积为A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π9. 函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示, 将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半 (纵坐标不变), 再向右平移(0)θθ>个单位长度后, 所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 则θ的最小值为A.76π B. 6πC. 8πD. 724π10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:(3)(3),(6)(6)f x f x f x f x +=-+=--, 且当[0,3]x ∈时,()21()x f x a a =⋅-∈R , 则(1)(2)(3)(2023)f f f f ++++=A. 14B. 16C. 18D. 2011. 已知:2221tan log 38,21tan 8a b c ππ-===+, 则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<12. 已知正数,a b 满足221ln(2)ln 1a a b b +≤-+, 则22a b +=A.52C.32第Ⅱ卷非选择题（共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知2()lg5lg(10)(lg )f x x x =⋅+, 则(2)f =_____.14. 在ABC 中,3,4,8AB BC CA CB ==⋅=, 则AB 边上中线CD 的长为_____.15. 已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩则1()2f x <的解集是_____.16. 若方程2ln 1x x e ax x -=--存在唯一实根,则实数a 的取值范围是_____.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分 10 分)已知函数22()2cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()y f x =的单调递增区间;(2) 若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. (本题满分 12 分)已知数列{}n a 和{}n b 满足:)*121,2,0,n n a a a b n ==>=∈N ,且{}n b 是以 2 为公比的等比数列. (1) 证明: 24n n a a +=;(2) 若2122n n n c a a -=+, 求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S . 19. (本题满分 12 分)已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-. (1) 求()f x 的极值;(2) 若()()f x g x ≥在[2,)+∞上恒成立, 求实数k 的取值范围. 20. (本题满分 12 分)数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,()()*24,21n n a S n a n ==+∈N . (1)求证: 数列{}n a 是等差数列,并求出其通项公式;(2) 求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .21. (本题满分 12 分)已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边, 向量(sin ,sin ),(cos ,cos )A B B A ==m n（1）若234,cos 3a b C ==, 证明: ABC 为锐角三角形; （2）若ABC 为锐角三角形, 且sin 2C ⋅=m n , 求ba的取值范围.22. (本题满分 12 分)已知函数21()12x f x e x ax =---, 若()()()2g x h x f x +=, 其中()g x 为偶函数,()h x 为奇函数.（1）当1a =时,求出函数()g x 的表达式并讨论函数()g x 的单调性;(2) 设()f x '是()f x 的导数. 当[1,1],[1,1]a x ∈-∈-时,记函数|()|f x 的最大值为M , 函数()f x '的最大值为N . 求证:M N <.高三（理）数学参考答案第1页（共6页）2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案DCDBBDBDCABA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114．215．13(2,2)()36k k k Z ππππ++∈16．(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x π⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭=+=+31sin 2cos 21sin 24423x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．………………………………3分令5222,,2321212k x k k k x k πππππππππ-+≤+≤+∈-+≤≤+Z，∴()y f x=的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………5分(2)()12()12233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．………………6分∵()y g x =关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，高三（理）数学参考答案第2页（共6页）∴222,,2332k k k ππππϕπϕ⋅++=∈=-+Z ，……………………………………7分∵02πϕ<<，∴3πϕ=．∴()1)1sin 222g x x x π=++=-………………………………………8分当2,,2,6333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴sin 2x ⎤∈⎥⎣⎦…………………………………9分所以1()1,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.………………………………………………………10分18．【解析】(1)由n b =得，2211==a a b ，故211222--=⋅=n n n b …………………………………………………………2分则12212)(-+==n n n n b a a ①所以，12212+++=n n n a a ②………………………………………………………4分由①②得，n n a a 42=+．…………………………………………………………6分(2)由（1）知数列}{2n a 和数列}{12-n a 均为公比为4的等比数列，…………8分所以，1212224--=⋅=n n n a a ，22111-224--=⋅=n n n a a 2122n n n c a a -=+=1122245222---⨯=⋅+n n n .…………………………………10分所以，)14(3541455-=-⨯-=nn n S ………………………………………………12分高三（理）数学参考答案第3页（共6页）19．【解析】(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,()ln 1f x x '=+,令()0,f x '=则1x e=，……………………………………………………………2分当1(0,)x e∈，()0,f x '<()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，()0,f x '>()f x 单调递增，所以()f x 在1x e=处取得极小值，………………………………………………4分故()f x 有极小值1e-，无极大值.…………………………………………………5分(2)（法一）由()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立,即ln 1x x k x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需min ln ()1x xk x ≤-…………………………7分令ln ()1x xh x x =-，则2ln 1()(1)x x h x x --'=-，………………………………………9分令()ln 1x x x ϕ=--，则1()x x xϕ-'=，………………………………………10分易知当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以ln 10x x -->，即()0h x '>，即()h x 单调递增，故min ()(2)2ln 2h x h ==.…………………………………………………………11分所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分（法二）由题(ln 1)k x x x -≥，即(n 1)l k x x x -≥，令(1)()ln h x x k x x=--………6分则22(11())kx k x x kh x xx x '=--=--，…………………………………………………7分高三（理）数学参考答案第4页（共6页）当2k ≤时，0x k ->，()0f x '>，()f x 递增，所以min ()(2)ln 202kh x h ==-≥，所以2ln 2k ≤；…………………………………9分当2k >时，有x k >时，()0f x '>，()f x 递增，x k <时，()0f x '<，()f x 递减，即min ()()ln (1)h x h k k k ==--，可证ln (1)0k k --<，显然不合题意，舍去.…11分综上，所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分20．【解析】(1)当1n =时，则1121a a =+，所以11a =，因为)1(2+=n n a n S ①所以，当2n ≥时，)1(1-21-1-+=n n a n S ）（②…………………………2分①-②得：()()()1211,2n n n a n a n --=--≥，③故，()()()12321,3n n n a n a n ---=--≥，④③-④得：()1223n n n a a a n --=+≥，所以{}n a 为等差数列，…………………………5分又213d a a =-=，所以，()13132n a n n =+-=-；…………………………6分(2)由()()21n n S n a n N *=+∈得2)13(-=n n S n ，故1221211(2(33)3(1)31n S n n n n n n n ==⋅=-++++，.………………………9分故1231111211111...)()...()]246232231n n T S S S S n n n =++++=-+-+++++++212(1313(1)nn n =-=++…………………………………………………………12分21．【解析】高三（理）数学参考答案第5页（共6页）（1）令3412(0)a b k k ==>，由2222222(4)(3)cos ,32243a b c k k c C ab k k +-+-===⨯⋅3c k ∴=.………………………………………………………………………………2分即4,3,3a k b k c k ===，从而a 边最大，…………………………………………3分又222222(3)(3)(4)21cos 02233189b c a k k k A bc k k +-+-====>⋅⋅，即A 为锐角,………5分∴ABC ∆为锐角三角形．……………………………………………………………6分（2）因为sin cos sin cos sin()A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+m n ，而在ABC △中，π,0πA B C C +=-<<，所以sin()sin A B C +=，又sin 2C ⋅=m n ，所以sin 2sin ,C C =得1cos 2C =，所以π3C =.……………………………………7分又ABC ∆为锐角三角形，1022π1032A A ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得,tan 623A A ππ<<>, (8)分1sin sin sin 1322sin sin sin 2A A Ab B a A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭==== ,………………………10分结合3tan 3A >12+∈1,22⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………11分所以1,22b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………………12分22．【解析】(1)当1=a 时，21()12xf x e x x =---，由题()()()2g x h x f x +=，其中)(x g 为偶函数，)(x h 为奇函数，易知()()()g x f x f x =+-，从而得2()2x x g x e e x -=+--.………2分所以'()2x x g x e e x -=--.令()'()x g x ϕ=，则'()2x x x e e ϕ-=+-.因为'()220x x x e e ϕ-=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立，高三（理）数学参考答案第6页（共6页）所以'()g x 在R 上单调递增.………………………………………………………………4分注意到()'00g =，当(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >.所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.………………………………5分（2）由()f x 的定义域是R .'()x f x e x a =--，设函数()x h x e x a =--，则'()1x h x e =-.令'()0h x =，得0x =.……………………6分因为)'(h x 在R 上单调递增，所以当(,0)x ∈-∞时'()0h x <，当(0,)x ∈+∞时'()0h x >.因此()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.于是()()010h x h a ≥=-≥，即'()0f x ≥,所以()f x 在R 上单调递增..………………………………………………………………7分注意到()00f =，所以在(),0-∞上()0f x <，在()0,∞+上()0f x >.所以函数(),0()(),0f x x y f x f x x -<⎧==⎨≥⎩，()y f x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.故()(){}()-1,1max f x maxf f =，…………………………………………………8分又]1,1[-∈a ()()3313311,12222f e a e a f a a e e=--=---=-+=--|(1)||(1)|f f --=013<--e e ，因此max 3|()||(1)|2f x f e a ==--.……………9分又()max max 3|'()|111|()|2f x f e a e a e a f x '≥=--=-->--=，……………11分所以|()||'()|max max f x f x <,即M N <…………………………………………………12分。

2019华师一附中高三期中理科数学试题及答案

华中师中2019—2020学年度上学期测高三年级数学(理题：12满分：150分命题人庆审题丹一题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合A {2,1,0,1,2}，B {x (1x )(x 2)0AIB 的子集个数为() A.2B ．4C ．6D ．8 2.设命题p ：n N ，n 22p 为() A ． 2n nN,n2B ．2 nN,n ≤2 nC ． 2n nN,n=2D ． 2 nN,n ≤2 n 3.若复数z 满足(34i )z 112i ，其中i 为虚z 的虚部为()A.2B.2C.2iD.2i 4.我国古代数学典籍《九章第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。

问两鼠在第几？() A.第2天B.第3天C.第4天D.第5天 x1 z y 的为() 5.已x ,满足件xy3 x2y30 A.1B.2C.3D.6 6.已知等 S S 且{S n }的最大项为 120,130, S ，a m 12，则 m S() 13 A.20B.22C.24D.26 7.右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论 ①ANGC ②CF 与EN 所成的角为60 ③BD//MN ④二面角EBCN 的大小为45 其中正确的个数是() A.1B.2C.3D.4uu u r uu u r uu u r8.已知ABC 中，AD2DC ，E 为BD 中点，若BCAEAB，则2的值为()A.2B.6C.8D.10高三年级理科数学试题第1页共8页4alog ， 9.若19 163 blog ， 3 20.2 c0.6，则a,b,c 的大小关系为() A.cbaB.cabC.bacD.abc10.已知函数f(x)2sin(x)(0,||)的部分图像如右图所示，且A(,1),B(,1)，则的值为()2A.5 6 B. 6C.5 6D.611.已知函数f xx 2x x，则使不等式f(x1)f(2x)成立的x 的取值范围是 ()ln(1)22fxx 2x x，则使不等式f(x1)f(2x)成立的x 的取值范围是()A.(，1)(1,)B.(1,+)C. 1 (,)(1,+) 3D .(,2)(1,) 12.已知函数f(x)xsinx2sin(x)，若对于任意的x 1,x 2[0,),(x 1x 2)，均有42xx|f(x)f(x)|a|ee|成立，则实数a 的最小值为()1212A. 2 3B.1C.3 2D.3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13.曲线 x yxe 在点1 (1,)e处的切线方程为____________. 14.已知 3 sin()2cos()sin2 ，则 2sinsincos____________. 15.已知ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若c1，ABC 的面积为221ab ，则ABC4面积的最大值为____________.uuruuu u r uuru16.已知ABC 的外接圆圆心为O ，|AB|6,|AC|8，AOABAC(,R)，若21sinA(t)(t 为实数)有最小值，则参数t 的取值范围是____________.2三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)高三年级理科数学试题第2页共8页17.(本小题满分12分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2A1b222ccos(1)求角C；(2)BM平分角B交AC于点M，且BM1,c6，求cosABM.18.(本小题满分12分)已知数列{a}的前n项和为n1S，1a，n2S1n*a1,nN2nnn(1)证明：数列n1{Sn}n为等差数列；(2)若数列{bn}满足nbnnSS12nn，求数列{b n}的前n项和Tn.xxxxxx19.(本小题满分12分)已知函数f(x)(cossin)(cossin)23sincos20.222222(1)求函数f(x)的最大值并指出f(x)取最大值时x的取值集合；(2)若,为锐角，126cos(),f()，求f()的值.135621.(本小题满分12分)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，ABBC，AB3,BC2AD2,E为CD的中点，PBAE(1)证明:平面PBD平面ABCD；，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，(2)若PBPD，PC与平面ABCD所成的角为4使得BN平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.22.(本小题满分12分)高三年级理科数学试题第3页共8页1 (1)已知f(x)lnx2x ，证明：当x2时，212xlnx1(ln2)x；411(2)证明：当a(24,12) ee 时，13a133g(x)xlnxxx(x2)有最小值，记39g(x)最小值为(a)，求(a)的值域.23.(本小题满分10分)已知函数f(x)|x2||2x4|(1)解不等式f(x)3x4；(2)若函数f(x)最小值为a，且2mna(m0,n0)，求21m+1n的最小值.高三年级理科数学试题第4页共8页华中师中2019—2020学年度上学期期中考试高三年级数学(理科)答案：12满分：150分命题人庆审题丹二题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项项是符合题目要求的．) 1234567891011 BDBBADCCACD 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 24. y 1 e 25. 6 5 26. 21 4 27. 3315 (,) 1616 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 28.解：(1)由题1cosA1bb cosA 222cc ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..2 cosAsinCsinBsin(AC)sinAcosCcosAsinCsinAcosC0又(0,)sin0cos0 AACC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分4 2 (2)记A BM ，则M BC ，在RtMCB 中，CBcos ，在RtACB 中，cos ABC B C AB ，即 cos2c os 6 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..10 即 2cos 2cos1 6 cos 3 4 或 2 3 (舍) cos3 ABM ⋯⋯⋯.⋯⋯⋯分.124 29.解：(1)n2时， 2222 Snannn(SS)nn ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分2 nnnn1即 22 (n1)S n nS n n(n1)(n 2)1同除以n (n 1)得n 1n SS1(n2) nn1 nn1n1 {S n } n为等差数列，首项为1，公差为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分6 (2)由(1)知2 n1n SnS nn nn1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..8n211 bnnn1nn(n1)2n2(n1)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.10111111T(1)()()1n112n1nn222232n2(n1)2(n1)2⋯⋯⋯.. 12分30.解：(1)xxxx 22f(x)cossin23sincoscosx3sinx2sin(x)⋯⋯⋯.分.322226令x2k得x2k,k Z623所以最大值为2，此时x的取值集合为{x|x2k,k Z}⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.63(2)由,为锐角，cos() 1213得sin()513Q022663又312sin()(,)65226644cos()65⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..8cos()cos[()()]6663cos()cos()sin()sin()6665⋯⋯⋯⋯⋯⋯分10126 f()2sin()2sin()2cos()⋯⋯⋯⋯⋯⋯163266652分31.解(1)证明:由四边形ABCD是直角梯形,AB=，BC=2AD=2，AB⊥BC，可得DC=2,∠BCD=，从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC.3∵E为CD的中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE?平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4分(2)在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接O C,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,高三年级理科8页∴PO ⊥平面ABCD∴∠PCO 为P C 与平面ABCD 所成的角,则∠PCO= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.64∴易得OP=OC=∵PB=PD,PO ⊥BD,∴O 为B D 的中点,∴OC ⊥BD.以O B ,O C ,OP 所在为x ,y 建直系,则B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,), 假设在侧面PCD 内存在点N ，使得BN 平面PCD 成立，uuruuu u r uu u r 设PNPDPC(,0,1) ，易得N(,3,3(1))⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分8 由u uruuu u r BNPC0 uuruuu u r 得 BNPD012 , 55 ，满足题意⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分10 所以N 点到平面ABCD 的距离为3(1) 23 5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.12(说明：若没有说明,0,1或者用其它方法解答但没有说明点N 在侧面PCD 上，扣2分)32.解：(1)证明：212x2/ f(x )033 xxx f x 在[2,)上单增 ()x2时，f(x)f(2)即11lnxln22 x4x2时，212xlnx1(ln2)x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分44(2)13a11/2222g(x)xlnxxx1x(lnxa)233x11由f(x)在[2,)上单增且2f(e)1,f(e )2,24 eea11 (2,1)42 ee知存在唯一的实数2x 0(e,e)，使得 / g(x)0，即1 lnxa002x 0//x(x,),g(x)0,g(x)单增x(2,x),g(x)0,g(x)单减；00⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..81lnxa0g(x)g(x)，x0满足02min0x7页共8页高三年级理科数学试题第1 alnx02x 013a1 33g (x )xlnxxx00000393 0 x 2932 x(exe)⋯⋯.10分 00 122/2x 32记h (x)xx(exe)，则h xh(x)在 ()093332(e,e)上单减63e2e222eh(e)h(x)h(e)e939363 e2e2所以(a)的值域为2(e,e)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.12939333.解：(1)当x2时，3x23x4，无解当2x2时，x63x4，得12 x2当x2时，3x 23x4，得x21 [,)所以不等式解集为2⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..5 (2)f(x)|x2||2x4||x2||x2||x2| |(x2)(x 2)||x2|当且仅当2x2时取等 4|x2|4当且仅当x2时取等所以当x2时，f(x)最小值为4，即a4，⋯⋯⋯⋯⋯分7所以2mn4所以 21121[2(m1)n]()m1n6m1n 12(m1)2n (5) 6nm112(m1)2n3 (52) 6nm12所以21m+1n2(m1)2nnm1当且仅当3最小值为⋯⋯⋯⋯⋯分.102且2mn4即m1,n2时取“=”高三年级理科8页。

陕西省西安市第一中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

市一中高校区2022—2021学年度第一学期期中考试高三数学（理科）试题命题人：付功一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1. 已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2x B x =-≥,则=⋂B C A R ( )(A))1,2(-- (B))0,1(- (C))0,1[- (D)]1,2(--2.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立； ④“平面对量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”. (A)1 (B)2 (C)3 (D)43．复数z 满足i z i 34)23(+=⋅-，则复平面内表示复数z 的点在( )（A ）第一象限（B ）其次象限（C ）第三象限（D ）第四象限4.将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) （A ） 12π （B ）6π （C ） 3π（D ）56π5. 已知数列{}n a 为等差数列，满足OC a OB a OA 20133+=，其中C B A ,,在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（）（A ）22015（B ） 2015 （C ）2016 （D ）2013 6. 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则[])()(22x f x f y +=的最大值为（）（A ）33 （B ）22 （C ） 13 （D ）67.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是（）A ．（0，6π] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3π，π）8. 在ABC∆中，060=A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为23，则BC 的长为（）（A ）2 （B ）23 （C ）32 （D ）39.已知向量（，），（，），与的夹角为060,则直线021sin cos =+-ααy x 与圆()()21sin cos 22=++-ββy x 的位置关系是（）（A ）相交（B ）相离（C ）相切（D ）随的值而定10．设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点N M ,，则MN 的最小值为（）（A ）2ln 2121+ （B ）2ln 2121- （C ） 2ln 1+ （D ）12ln - 11.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（）（A ）62 （B ）92 （C ） 122 （D ）15212．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．（A ）f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12 （B ）f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12 （C ）f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12 （D ）f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12二、填空题 :(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上). 13. 设向量)2,1(),1,(=+=b x x a ,且b a ⊥,则=x .１４．已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ，则当k =______时，0)(=k a f15在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足2223()4S a b c =+- 则角C 的大小为。

高三理科数学期中考试卷

高三理科数学期中考试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x + 12. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. 4B. 5C. 6D. 73. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则第5项a_5的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 125. 圆x^2 + y^2 = 9的圆心坐标为（）A. (0, 0)B. (3, 0)C. (0, 3)D. (-3, 0)6. 函数y = sin(x)的周期为（）A. πB. 2πC. π/2D. 4π7. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B = （）A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 3, 4}D. {1, 2}8. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x) - g(x) = （）A. 4xB. 2xC. 2D. 49. 已知直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为（）A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3)D. (0, 3)10. 函数y = ln(x)的定义域为（）A. (-∞, 0)B. [0, +∞)C. (0, +∞)D. (-∞, +∞)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = 3x - 2，若f(a) = 7，则a = _______。

12. 已知等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，则第4项b_4 =_______。

13. 已知函数y = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1，求导数y' = _______。

甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试卷

西北师大附中2022—2023学年第一学期期中考试试题高三数学（理）命题人：张丽娇审题人：惠银东一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60项是符合题目要求的．）1.已知集合{}3,2,1,2A =---，{B x =2|56x x --≤}0，则A ⋂C R B =（）A ．{}3-B ．{}3,2,1---C ．{}3,2--D ．{}1,2- 2.集合{}{}201A x x ax a =++=⊆，则a 为（）A ．12-B ．()0,4a ∈C ．()[),04,a ∈-∞⋃+∞D ．()10,42a ⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭ 3.已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的（）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知命题000:,3sin 4cos p x x x ∃∈+=R ；命题 1:,1xq x e ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R ，则下列命题中为真命题的是( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∨⌝D ．()p q ⌝∨5.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝⎛⎭⎫1＋S N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升到8000，则C 大约增加了(lg 2≈0.301)( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．50%6.已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（）①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥； ③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥；A ．②③B ．③④C ．②④D ．③7.已知非常数函数f(x)满足f (−x )f (x )=1(x ∈R)，则下列函数中，不是奇函数的是（）A ．f (x )−1f (x )+1B ．f (x )+1f (x )−1C ．f (x )−1f (x )D ． f (x )+1f (x )8．已知3log 2a =，4log 3b =，23c =，则( ) A ．a c b << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<9．函数f (x )＝3|x |·cos 2x x的部分图象大致是( )10.若()f x 的定义域为R ，对,x y R ∀∈，()()()()(),11f x y f x y f x f y f ++-== 则()221k f k ==∑( )A ．－3B ．－2C ．0D ．111.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π，且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A.[18,814]B.[274,643]C.[274,814]D.[18,27]12.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)<f(x)，则不等式e x f(x +1)<e 4f(2x －3)的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()3,01,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则()()2f f -=__________． 14.函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为__________． 15.∫(3−3sinx +√9−x 2)dx =__________．16．已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]上单调递增，则 ①函数f (x )的一个周期为4；②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减；④函数f (x )在[0,100]上有25个零点．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（14分）在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．“①函数y =√x 2+2x −k 的定义域为R ，②∃x ∈R ，使得|x −1|+|x −2|+k ⩽0， ③方程x 2+k =0有一根在区间[1,+∞)内”问题：已知条件p ：______，条件q ：函数f(x)=2x 2−kx 在区间(−3,a)上不单调，若p 是q 的必要条件，求实数a 的最大值．18.（14分）已知函数f (x )=ln (m x x+1−1)(其中m ∈R 且m ≠0)是奇函数．（1）求m 的值；（2）若对任意的x ∈[ln2,ln4]，都有不等式f (e x )−x +lnk ≥0恒成立，求实数k 的取值范围．19.（14分）已知函数f (x )＝x 2－2x +aln x(a ∈R)．(1)若函数在x ＝1处的切线与直线x －4y －2＝0垂直，求实数a 的值；(2)当a >0时，讨论函数f(x)的单调性．20.（14分）已知函数f (x )=2a+1a −1a 2x ，a >0 (1)证明:函数f (x )在（0，+∞）上单调递增；(2)设0<m <n ，若f (x )的定义域和值域都是[m,n ]，求n −m 的最大值.21.(14分)已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，，（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：()()122f x f x +>.。

江西省南昌市三校(一中、十中、铁一中)2022-2023学年高三上学期11月期中联考《理数》含答案

南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考数学试卷（理科）学校：南昌十中考试时长：120分钟试卷总分：150分一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合403x M x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，133xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪≤⎪⎩⎭∣，则M N = （）A. []4,1-- B.[)1,3- C.[)4,3- D. []1,3-2.设平面向量a ，b 均为单位向量，则“|a −2b |=|2a +b |”是“a ⊥b ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知函数则A． B ． C ． D ．（第4题图）4.如图，在△ABC 中，BN =14BC ，设AB =a ，AC =b ，则AN =( )A. 14a−34bB. 34a−14bC. 14a +34bD. 34a +14b5.如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA 和OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是（）A B C.D 6.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒2sin18=︒.记2sin18m =︒=（）A. 2-B.1-7.已知过点(),0A a 作曲线()1e xy x =-切线有且仅有1条，则=a （）0()(1)0x e x f x f x x ⎧=⎨->⎩，，，，…(ln 2)f =2e 4e 2e 4e 的A.3-B.3C.3-或1D. 3或18.已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a =−f(log 215)，b =f(log 24.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为()A. a <b <cB. c <b <aC. b <a <cD. c <a <b9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2cos 2cos a C b c A +=，c =，则A ∠=( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π310.已知函数f (x )=(3−a )x−4,x ≤8a x−7,x >8，若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N ∗)且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A. (2,3)B.[2,3) ,311.已知函数π()2sin()cos sin (||)2f x x x ϕϕϕ=+-<，且对于任意x ∈R ，都有ππ(+)()33f x f x =--，下列序号中，① ()f x 在区间ππ[,]66-上单调递增；② (0)f ；③ 若0(2x f =0π1()123f x -=-；④若实数m 使得方程()0f x m -=在4π(0,)3上恰有1x ，2x ，3123()x x x x <<三个实数根，则123102=π3x x x ++.正确的序号有（）A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④12.黎曼函数R(x)是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上，当x =pq （p,q都是正整数，pq 为最简真分数）时，R (x)=1q ;当x =0或1或x 为（0，1）内的无理数时，R (x )=0.若g(x +1)为偶函数，g (x +2)为奇函数，当x ∈[0,1]时，g (x )=R (x ),则（）A.>15且g (cos 2αsin 2β)≥g (cos 2α)g (sin 2β)B.>15且g (cos 2αsin 2β)≤g (cos 2α)g (sin 2β)C.=15且g (cos 2αsin 2β)≥g (cos 2α)g (sin 2β)D.=15且g (cos 2αsin 2β)≤g (cos 2α)g (sin 2β)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知aϵR,若复数z =a 2−a−2+(a 2+3a +2)i 为纯虚数，则a =14. 如图，扇环ABCD 中，弧⌢AD =4，弧⌢BC =2，|AB |=|CD |=1，则扇环ABCD 的面积S =．15．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()30f =，则不等式()0f x >的解集为___________.16. 锐角△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为△ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围为______．三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知函数f(x)=1−3sin2x +2cos 2x ．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x 集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，f(A)=0.求b +c 的取值范围．18. （12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AAC C是菱形，160A AC ∠= ，90ACB ∠= ，2AC BC ==.（1）若D 为1AC 的中点，求证：1AD A B ⊥；（2）求二面角11A A C B --的正弦值.19. （12分）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.20．（12分）已知圆C ：22(1)1x y -+=，椭圆M ：22184x y +=．（1）求证：圆C 在椭圆M 内；（2）若圆C 的切线m 与椭圆M 交于P ，Q 两点，F 为椭圆M 的右焦点，求△FPQ 面积的最大值．21．(12分)已知函数2211()ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭．（1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．四、选做题22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于AB 、两点，若16AB =，求a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||2|1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x >成立，求实数a 的取值范围．高三上学期第一次三校联考数学（理科）试卷参考答案及评分标准一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）序号123456789101112答案BCADCBCBAADC二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.2 14.3 15. ()()3,03-+∞ ， 16.三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）17．已知函数f(x)=1−3sin2x +2cos 2x ．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x 集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，f(A)=0.求b +c 的取值围．【答案】解：(1)f(x)=1−3sin2x +2cos 2x =cos2x−3sin2x +2 =2cos(2x +π3)+2，····…..2分∵−1≤cos (2x +π3)≤1，∴0≤2cos(2x +π3)+2≤4，∴f(x)的最大值为4， …… 4分当2x +π3=2kπ(k ∈Z)，即x =kπ−π6(k ∈Z)时，函数f(x)取最大值，则此时x 的集合为{x|x =kπ−π6,k ∈Z}；· ………. 6分 (2)由f(A)=0得：2cos(2A +π3)+2=0，即cos (2A +π3)=−1，∴2A +π3=2kπ+π(k ∈Z)，即A =kπ+π3(k ∈Z)，又0<A <π，∴A =π3，∵a =1，sinA =32， ………….8分由正弦定理a sinA =b sinB =csinC 得：b =asinBsinA=23sinB ，c =23sinC ，又A =π3，∴B +C =2π3，即C =2π3−B ，∴b +c =23(sinB +sinC )=+−B=23(sinB +32cosB +12sinB)=2(32sinB +12cosB)=2sin(B +π6)，……….10分∵A =π3，∴B ∈(0,2π3)，∴B +π6∈(π6,5π6)，∴sin (B +π6)∈(12,1]，则b +c 的取值范围为(1,2]．………………..12分18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，侧面11AAC C 是菱形，160A AC ∠= ，90ACB ∠= ，2AC BC ==.（1）若D 为1AC 的中点，求证：1AD A B ⊥；（2）求二面角11A AC B --的正弦值.【答案】（1）见解析（2【详解】（1）∵侧面11AAC C 是菱形，∴1AA AC =，∵D 为1AC 的中点，∴1AD A C ⊥，∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 底面ABC AC =，90ACB ∠= ，BC ⊂底面ABC ，∴BC ⊥侧面11AAC C，∵AD ⊂侧面11AAC C ，∴BC AD ⊥，∵1A C BC C = ，∴AD ⊥平面1A BC ，∵1A B ⊂平面1A BC ，∴1AD A B ⊥………………………5分.【2】取11A C 中点E ，连接CE ，从而11CE A C ⊥，又由11A C AC ，则CE AC ⊥，∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 底面ABC AC =，∴CE ⊥底面ABC ，以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图：由已知条件和上图可知，(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，1A ，1(1,B -，由题意可知，平面1AA C 的一个法向量为(0,2,0)CB →= ………………………7分不妨设111(,,)n x y z →=平面11A CB 的一个法向量，因为1CA →=，1(1,CB →=-，从而111111100020x CA n CB n x y ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪-++=⎪⎩⎩，令1z =，则13x =-，13y =-，即(3,n →=--， ………………………9分设二面角11A AC B --为θ，由图可知θ为钝角，从而||cos |cos ,|||||CB n CB n CB n θ→→→→→→⋅=-<>=-=，即sin θ=故二面角11A ACB --. ………………………12分19. 某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.【答案】（1）见解析（2）3332048【详解】（1）由题意可知，X 可能取值为0，1，2，3 ，当X 0=时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，则312311115(0)(1C (1)(1222216P X ==-+⋅⋅--=，当1X=时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，则22241113(1)C ((1(1)22216P X ==⋅⋅-⋅-=；当2X =时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，则22241113(2)C ()(122216P X ==⋅⋅-⋅=，当3X =时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，则322311115(3)(C ()(1)222216P X ==+⋅⋅-⋅=，故X 的概率分布列如下：X0123P516316316516………………………6分【小问2详解】设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件A ，则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，故33335535333333()3A 31616161616161616162048P A =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为3332048. ………………………12分20．（12分）已知圆C ：22(1)1x y -+=，椭圆M ：22184x y +=．（1）求证：圆C 在椭圆M 内；（2）若圆C 的切线m 与椭圆M 交于P ，Q 两点，F 为椭圆M 的右焦点，求△FPQ 面积的最大值．21．（12分）已知函数2211()ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭．（1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．解：（1）()()ln f x x a x -'=．因为()f x 在(0,)+∞单调递增，所以()0f x '≥，即()ln 0x a x -≥（ⅰ）当1x >时，ln 0x >，则需0x a -≥，故min a x ≤，即1a ≤；（ⅱ）当1x =时，ln 0x =，则a R ∈；（ⅲ）当01x <<时，ln 0x <，则需0x a -≤，故max a x ≥，即1a ≥．综上述，1a =． ………………4分（2）()11()ln 24f x g x x a x x a x ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，11()ln 24a g x x x =-+'，21()2a g x x x '=+'．因为1344a e <<，所以()0g x ''>，所以()g x '在(0,)+∞单调递增又因为13(1)0,()04e 4a g a g e ''=-+<=-+>．所以存在0(1,)x e ∈，使()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 调递增．故()g x 最小值为()000011ln ()24g x x a x x a h a ⎛⎫=--+=⎪⎝⎭．由()00g x '=，得00011ln 24a x x x =+，因此000031()ln ln 42h a x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令11()ln ,(1,)24x x x x x e τ=+∈，则13()ln 024x x τ=+>'，所以()x τ在区间(1,)e 上单调递增，又因为1344a e <<，且13(1),()44e e ττ==，所以01x e <<，即0x 取遍(1,)e 的每一个值，令2311131()ln ln (1),()ln ln (2ln 3)(ln 1)0422444x x x x x x e x x x x x ϕϕ⎛⎫=-<<='--+=-+->⎪⎝⎭函数()x ϕ在(1,)e 单调递增．又e (1)0,()4e ϕϕ==，所以e0()4x ϕ<<，故函数()h a 的值域为e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．. ………………………12分22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于AB 、两点，若16AB =，求a 的值．（10y -=,24y x =;(2)1a =23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||2|1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x >成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当2a =时，()|2|2|1|f x x x =++-．当2x ≤-时，()2224f x x x =---+≤，解得43x ≥-，此时x ∈∅；当21x -<≤时，()2224f x x x =+-+≤，解得0x ≥，此时01x ≤≤；当1x >时，()2224f x x x =++-≤，解得43x ≤，此时413x <≤．因此，当2a =时，不等式()4f x ≤的解集为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………….5分（2）当12x ≤≤时，2||2|1|x a x x ++->可化为2||22x a x x +>-+，所以，222x a x x +>-+或222x a x x +<-+-，即存在[1,2]x ∈，使得232a x x >-+或22a x x <-+-．22313224a x x x ⎛⎫>-+=-- ⎪⎝⎭，因为[1,2]x ∈，所以21324x x -+≥-，则14a >-，2217224a x x x ⎛⎫<-+-=--- ⎪⎝⎭，因为[1,2]x ∈，所以222x x -+-≤-，所以2a <-，因此，实数a 的取值范围为1(,2),4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ ．。

高三数学(理科)上学期期中考试试卷(含标准答案)

高三数学（理科）上学期期中考试试卷（含标准答案）满分：150 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．设i 为虚数单位，则复数34ii+的共轭复数为（） A ．43i --B ．43i -+C ．43i +D ． 43i -2、设集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

（）A 、错误！未找到引用源。

B 、错误！未找到引用源。

C 、错误！未找到引用源。

D 、错误！未找到引用源。

3．已知向量21cos ,sin ,a b αα=-=（）,（），且//,a b 4tan πα-（）等于（） A ．－3 B ．3 C ．31 D ．31-4、设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（）A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B ．在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点5.下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若0xy =错误！未找到引用源。

，则0x =错误！未找到引用源。

”的否命题为：“若0xy =错误！未找到引用源。

，则0x ≠错误！未找到引用源。

”B ．“若0=+y x ，则x ，y 互为相反数错误！未找到引用源。

”的逆命题为真命题C ．命题“R ∈∃x 错误！未找到引用源。

，使得2210x -<错误！未找到引用源。

”的否定是：“R ∈∀x 错误！未找到引用源。

，均有2210x -<错误！未找到引用源。

”D ．命题“若cos cos x y =错误！未找到引用源。

，则x y =错误！未找到引用源。

”的逆否命题为真命题6、已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是（）7．已知函数1x y a-=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点，若点在一次函数y mx n=+的图象上，其中,0m n >，则11m n+的最小值为（） A ．4 B ．2 C ．2 D ．18.．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。

2010长春市十一高中高三上学期期中考试___理科数学

吉林省长春市十一高中2010届高三上学期期中考试数学试题（理科）（本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．答题时间120分钟，满分150分．）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．的值是（）A． B． C． D．2．复数等于（）A． B． C． D．3．已知全集，集合，则集合等于（）A． B． C． D．4．设为的最小内角，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．直线与抛物线围成的封闭图形的面积是（）A．B． C．D．6．已知平面向量，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（）A． B． C． D．7．设，若，则等于（）A B C D8．等于（）A B C D9．若函数的定义域是，则函数的定义域为（）A．B．C．D．10．已知，则（）A．B．C．D．11．函数在上存在一个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．或12．函数是奇函数，且在处有意义，则使的的取值范围为（）A B C D第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．方程的实数解的个数为．14．已知曲线上一点的切线为则．15．下列命题：①；②；③函数都不是偶函数；④使是幂函数，且在上递减．其中真命题有（把你认为正确的序号都填上）．16．等比数列的前项和为，已知，2，3成等差数列，则的公比为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的值域．18．（本小题满分12分）已知向量（1）求的值；（2）若，求的值．19．（本小题满分12分）设是定义在上的单调增函数，满足．（1）求的值；（2）若，求的取值范围．20．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求证：在上是减函数；（2）如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．22．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，点在直线上，数列满足，，且的前9项和为153．（1）求数列和的通项公式；（2）设记数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值．（本页不交，答案写到答题纸上）数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．二、填空题（每小题4分，共16 分）13． 14．13 15．①②④16．三、解答题（共6小题，共70分）17．解：……………………………………………2分（1）的最小正周期………………………………………………6分（2）的值域为…………………………………………10分18．解：（1）∵，∴又∴………………………6分（2）∵∴，由（1）得从而又，得代入，可得…………………………………12分19．解：（1）令，得…………………………………………4分（2）由，又由得∵是定义在上的单调增函数∴解得……………12分20．解：（1）∵，∴两式相减，得，∴∴，又由已知得从而∴数列是首项为1，公比为2的等比数列…………………8分（2）由（1），∴……………………12分21．解：（1）恒成立∴在上是减函数………………………………………………6分（2），由恒成立，∴，①当时，不成立②由时，得∴综上，实数的取值范围是…………12分22．解：（1）由题意当时，，当时，也适合上式∴………………………4分∵∴数列是等差数列，由的前9项和为153得，从而，又，得，∴………………………………………………6分（2），∴，数列是递增数列，∴只要，∴∴……………………………………………………………12分。

甘肃省兰州市第一中学2021届高三上学期期中考试数学(理)

兰州一中2020-2021-1学期期中考试试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( ) A.0B.1C.2D.32.已知z ＝11＋i ＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.2 3.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( ) A.12B.18C.24D.364.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( ) A.2 2B.17C.15D.2 56. ( )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]8.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( )212(),52xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩9.函数若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c ),则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( ) A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在 [a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 11.已知函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝e x ＋1(－1≤x ≤1)，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线y ＝1对称，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－e ，1e C.[－e ，＋∞) D.(]－∞，－e ∪⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 12.已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有()'()ln 2f x f x >成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x－1的解集为( )A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ()2log 013.30x x x f x x >⎧=⎨≤⎩已知函数，则18f f ⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ________．()22214.4=x x dx --+⎰定积分________.15.若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是_______________． ()()1123116.21x a x a x f x R a x -⎧-+<=⎨≥⎩已知函数的值域为，则实数的取值范围是______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足 (a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.18.(本题满分12分)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形， AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值.序号分组（分数段）频数（人数）频率 1 [0, 60) a 0.1 2[60, 75)15b19.(本题满分12分)为迎接我校建校120周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，成绩均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（1）求,,,a b c d 的值；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.20.(本题满分12分)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.21.(本题满分12分)已知函数f (x )＝－a ln x ＋x ＋1－ax .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝e x ＋mx 2－2e 2－3，当a ＝e 2＋1时，对任意x 1∈[1，＋∞)，存在x 2∈[1，＋∞)，使g (x 2)≤ f (x 1)，求实数m 的取值范围.选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22.(本题满分10分)平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.23.(本题满分10分)已知函数()|21||23|f x x x =++-. (1)求不等式6)(≤x f 的解集；(2)若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.兰州一中2020-2021学年度高三第一学期期中数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( C ) A.0B.1C.2D.32.已知z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( B )A.12B.22C.32D.23.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( D ) A.12B.18C.24D.364.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( C ) A.6B.5C.4D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( A ) A.2 2B.17C.15D.25.6.6.设123log 2,ln 2,5a b c -===，则 ( C )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( A ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]8.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( D )9.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x >2.若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( B ) A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在 [a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( B ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫－12，12 11.已知函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝e x ＋1(－1≤x ≤1)，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线y ＝1对称，则实数k 的取值范围是( D ) A.⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－e ，1eC.[－e ，＋∞)D.(]－∞，－e ∪⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 12.已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′（x ）ln 2成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x－1的解集为( C )A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数()2log ,0,3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 127． 14.定积分⎠⎛－22(4－x 2＋x )d x ＝___2π._____.15．若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是___2____________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是_0≤a <12.___.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值. 解 (1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc . ∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C .∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C .∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C ).故当B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取得最大值 3.18.（本题满分12分）如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值. (1)证明如图，连接B 1C ，ME .因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D .由题设知A 1B 1∥DC ，可得B 1C ∥A 1D ，故ME ∥ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED . 又MN ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ，所以MN ∥平面C 1DE .(2)解由已知可得DE ⊥DA ，以D 为坐标原点，DA →，DE →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，A 1(2，0，4)，M (1，3，2)，N (1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0).设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0).设n ＝(p ，q ，r )为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1).于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝232×5＝155，则sin 〈m ，n 〉＝105，所以二面角A －MA 1－N 的正弦值为105. 19.（本题满分12分）为迎接我校建校110周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数为均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.解：(Ⅰ(Ⅱ)X 的可能取值为2，3，4.12(2)0.20.20.04,(3)0.20.80.20.064,P X P X C ==⨯===⨯⨯=1233(4)0.20.80.80.896P X C ==⨯+=所以分布列为：()20.0430.06440.896 3.856E X =⨯+⨯+⨯=20.（本题满分12分）已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*) 因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4，则32<k <2或－2<k <－32. 则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎫32，2. 21.（本题满分12分）已知函数f (x )＝－a ln x ＋x ＋1－a x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝e x＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围.解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax＋1＋a－1x2＝（x－1）（x－a＋1）x2，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.当a≤1时，a－1≤0，由f′(x)<0得0<x<1，由f′(x)>0得x>1，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.当1<a<2时，0<a－1<1，由f′(x)<0，得a－1<x<1，由f′(x)>0得0<x<a－1或x>1，所以函数f(x)在(a－1，1)上单调递减，在(0，a－1)和(1，＋∞)上单调递增. 当a＝2时，a－1＝1，可得f′(x)≥0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a>2时，a－1>1，由f′(x)<0得1<x<a－1，由f′(x)>0得0<x<1或x>a－1，所以函数f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0，1)和(a－1，＋∞)上单调递增.(2)当a＝e2＋1时，由(1)得函数f(x)在(1，e2)上单调递减，在(0，1)和(e2，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(e2)＝－e2－3.对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，即存在x 2∈[1，＋∞)，使g (x 2)的函数值不超过f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值－e 2－3.由e x ＋mx 2－2e 2－3≤－e 2－3得e x ＋mx 2≤e 2，m ≤e 2－e xx 2. 记p (x )＝e 2－e xx 2，则当x ∈[1，＋∞)时，m ≤p (x )max . p ′(x )＝－e x x 2－2（e 2－e x ）x （x 2）2＝－e x x ＋2（e 2－e x ）x 3，当x ∈[1，2]时，显然有e x x ＋2(e 2－e x )>0，p ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，e x x ＋2(e 2－e x )>e x x －2e x >0，p ′(x )<0，故p (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，得p (x )max ＝p (1)＝e 2－e ，从而m 的取值范围为(－∞，e 2－e].四．选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22. （本题满分10分）坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.解 (1)将直线l 的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＝1化为直角坐标方程为x －y －1＝0.将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝9. (2)由(1)知点M (0，－1)，故直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)，代入圆的方程为t 2－2t －8＝0，设A ，B 对应的参数为t 1和t 2，所以t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝－8.故⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝28. 23．（本题满分10分）已知函数()|21||23|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）原不等式等价于即不等式的解集为}21|{≤≤-x x .，解此不等式得53>-<a a 或.。