高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的均值教案 3数学教案

2.3.1 离散型随机变量的均值
教学内容分析：
离散型随机变量的均值是刻画随机变量取值的平均水平的指标，教学中，要把重点放在用均值解决实际问题上，在解决实际问题的过程中理解均值的含义 学情分析：
学生已学习分布列以及正确求解事件的概率，具有一定的学习基础 教学目标 ：
知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望；
过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.
能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望；
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人
文价值
教学重点与难点
重点：离散型随机变量的均值或期望的概念； 难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望； 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学方法： 分析法，讨论法，归纳法 教学过程： 一、复习引入：
1、离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k n k k
n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
1
…
k
…
n
P
n n q p C 00 1
11-n n q p C
…
k n k k
n q p C - 0
q p C n n n
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记k
n k k n q
p C -＝b(k ；n ，p) 二、讲解新课：
根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
ξ 4 5 6 7 8 9 10 P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望
根据射手射击所得环数ξ的分布列，
我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有
n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；
n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；
…………
n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．
故在n 次射击的总环数大约为
+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，
从而，预计n 次射击的平均环数约为
+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．
对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:
+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．
1、 均值或数学期望:
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称 =)(ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 2、均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
3、平均数、均值:
一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有
=1p =2p …n p n 1=
=，=)(ξE +1(x +2x …n
x n 1
)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
4、 均值或期望的一个性质:
若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…
＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …)＝b aE +ξ，
由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5、若ξ
B （n,p ），则E （ξ）=np
证明如下：
∵ k
n k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)
1()(ξ， ∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×k
n k k n q p C -＋…＋n ×0
q p C n n n ．
又∵ 1
1)]!
1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅
=k n k
n nC k n k n n k n k n k kC ，
∴ =ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)
1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋
)0111q p
C n n n ---np q p np n =+=-1)(． 故 若ξ～B(n ，p)，则=ξE np 6、讲解范例：
例1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望
解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ，所以7.03.007.01=⨯+⨯=ξE 总结：若X 服从两点分布，则E(X)=P
例2、 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
例3、根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。

为保护设备，有以下种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元。

方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。

方案3：不采取措施，希望不发生洪水。

试比较哪一种方案好 7、课堂练习：
1、随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
ξ 1
2
3
4
5
6
P
61 61 61 61 61 61 所以 =ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×6
1
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×6
1
＝3.5．
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值
2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。

(保留三个有效数字)
3、某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数ξ的分布列为： 商场经销一件该
商品，采用1期付
款，其利润为200元，分2期或3
期付款，其利润为250元，分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润。

（1）求事件A ：”购买该商品的3位顾客中，至少有一位采用1期付款” 的概率P(A)； （2）求 η的分布列及期望E
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容． 1)、随机变量的均值； 2）、随机变量的均值的性质； 四、作业布置：。