2021北京初三二模分类汇编-专题18几何综合(教师版)

．
DE 平分∠ADC， ∠ADP=∠PDC ． AP=AD， ∠APD=∠ADP ．
∠APD=∠PDC ． AP//CM． ∠PAD=∠ADM= ， ∠APM=∠M ．
又由（2）知，∠ADM=∠APM= OP=OA， OM=OD ． OP+OM=OM+OD
PM=AD =AP . BM=BP +PM .
①用等式表示线段AP与CD之间的数量关系，并证明； ②在线段AP上取一点K，使得 ABK ACD ，画出图形并直接写出此时 KP 的值.
BP
第 7页（共 26页）
第 8页（共 26页）
【答案】27.（本小题满分 7 分） （1）解：补全图形如图 7 所示··························1 分
2021 初三二模几何综合分类整理（教师版）
①手拉手 ②K 字图 ③ 对 角 互 ④截长补短（1） ⑤ 三 线 合 ⑥特殊三
（3）
（3） 补（3）
一（1） 角形（1）
合计 12 题
一．手拉手（共 3 小题） 1（. 2021•海淀二模）已知∠MON=90°，点 A 在边 OM 上，点 P 是边 ON 上一动点，∠OAP=α，
（1）依题意补全图形；
（2）求 AEC 的度数； （3）用等式表示线段 AE ， CE ， EF 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形如图所示： ………….………..……….2 分
（2）∵ AC 是矩形 ABCD 的对角线，延长 DC 至 M ， ∴ ABC BCD BCM 90 . ∵将线段 CA 绕点 C 逆时针旋转，得到线段 CF ， 使线段 CF 在射线 CB 上， BAC 30 ∴ ACF 60 .
AP=2CD··························2 分 （2）①AP=2CD 证明：如图 8，作 BE⊥AP 于点 E，作 CF⊥BE 交 EB 的延长线于点 F，则∠F=∠FED= ∠BEP=90°
∵CD⊥PA 于点 D，
∴∠ADC=∠CDE=90°∴四边形 CDEF 为矩形∴∠DCF=90°
第 5页（共 26页）
∵ AEC 60 ，∴△ ECH 是等E CH EH .
∴ ECH HCA .
∵将线段 CA 绕点 C 逆时针旋转，得到线段 CF ，
∴CF CA .
在△ ECF 与△ HCA 中，
EC HC， ECH HCA，∴△ ECF ≌△ HCA . CF CA .
∵ ∠BAE=∠ACP,AB=AC,
∴△BAH ≌△ACP(AAS)．
∴BH=AP=DP．
∵∠BHF=∠DPF，∠BFH=∠DFP，
∴△BFH ≌△DFP(AAS)．
∴BF=DF． --------------------------------------------------------------------------------------------7 分
（2）①补全图形，如图：
----------------------------------------------------------------------------------------------------------2 分
证明：∵∠BAC=90°，
第 11页（共 26页）
∴∠BAE+∠CAE=90°．
；
法④：在 AP 右上方作等腰 Rt△APE，AE 交 CD 于 F，链接 CE。由 AA 旋转相似判得△ACE
∽
△
ABP
∴
；
法⑤：过点 B 作 BF⊥AB，使得 BF=AB，延长 AC 和 EB 交于点 F，∵∠AEB=∠APB=45°， ∴A、B、P、E 四点共圆，则△ACE∽△EAP，可得 AE=AF=AC+CF=2AC，∴AP=2CD。 ②画图见图 9························6 分
解析： 法②：类似法一，过 B 作 BF⊥CD 于 F，BE⊥AP 于 E，设 AD 为 x，DE=BF=CD 设为 y，则 DF=BE=EP=y-x，于是 AP=AD+DE+EP=x+y+y-x=2y=2CD ； 法③：延长线段 DC 和 PB 交于点 H，过 B 作 BE⊥DC 于 E,由 AA 判得△CHB∽BPA,∴
∴ EF HA .
∵ AE EH HA ，∴ AE CE EF . ………….………..……….7 分
第 6页（共 26页）
二．K 字图（共 3 题） 4.（2021•西城二模）如图，在△ABC中， ACB 90，AC BC ，点P为△ABC外一点，点
P与点C位于直线AB异侧，且 APB 45 ，过点C作 CD PA ，垂足为D. （1）当 ABP 90 时，在图1中补全图形，并直接写出线段AP与CD之间的数最关系； （2）如图2，当 ABP＞90 时，
等；
…………………………3 分
（2）∠ADM=∠APM 或∠ADM +∠APM=180°
…………5 分
（3）如图，线段 MC ， AE ， BD 之间的数量关系是： MC AE BD ． ………6 分
证明：由作图可知△ABP ≌△ACD．
∠APB=∠ADC , AP=AD, BP=CD, ． ∠ADM=∠APM
将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°，得到线段 AB，连接 OB，再将线段 OB 绕点 O 顺时 针旋转 60°，得到线段 OC，作 CH⊥ON 于点 H． （1）如图 1，α=60°．
①依题意补全图形；②连接 BP，求∠BPH 的度数； （2）如图 2，当点 P 在射线 ON 上运动时，用等式表示线段 OA 与 CH 之间的数量关系，
BM=CD+AP ． ……………………………………7 分
第 4页（共 26页）
3.（2021•房山二模）如图，已知 AC 是矩形 ABCD 的对角线， BAC 30，点 M 是 DC 延长线上一点， BAC 的平分线与 BCM 的平分线交于点 E ，将线段 CA 绕点 C 逆 时针旋转，得到线段 CF ，使点 F 在射线 CB 上，连接 EF .
第 10页（共 26页）
2 ························7 分
5.（2021•东城二模）已知△ADE 和△ABC 都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P 为 AE 的中点，连接 DP．
(1)如图 1，点 A, B , D 在同一条直线上，直接写出 DP 与 AE 的位置关系； （2）将图 1 中的△ADE 绕点 A 逆时针旋转，当 AD 落在图 2 所示的位置时，点 C，D，
第 12页（共 26页）
25．【答案】(1) 补全图形...........................................1 证明：∵AM⊥CP，BN⊥CP ∴∠AMC=∠BNC=90° ∴∠1+∠2=90° ∵∠ACB=90° ∴∠1+∠3=90° ∴∠2=∠3......................................2 ∵AC=BC ∴△ACM≌△CBN（AAS） ∴CM=BN............................3
∵ BAC 的平分线与 BCM 的平分线交于点 E ，
∴ BAE CAE 15 ， ECF 45 .
∴ AEC 60 . （3）答： AE CE EF . 证明：在 EA 上截取 EH EC ，连接 CH ，
………….………..……….4 分 ………….………..……….5 分
∴∠2+∠3=90°
第 9页（共 26页）
∵∠ACB=90°∴∠1+∠3=90°∴∠1=∠2 ∵AC=BC，∠ADC=∠F=90°
∴ CAD CBF ∴CD=CF，AD=BF
∴四边形 CDEF 为正方形∴DE=EF=CD ∵∠APB=45°，∠BEP=90°可得∠PBE=∠APB=45°∴EP=BE ∴AP=AD+DE+EP=BF+DE+BE=EF+DE=2CD·························5 分
P 恰好在同一条直线上. ①在图 2 中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP； ② 连接 BD，交 AE 于点 F．判断线段 BF 与 DF 的数量关系，并证明．
【答案】27.解：（1）DP 与 AE 的位置关系：DP⊥AE；-----------------------------------1 分
并证明．
【答案】27．（本小题满分 7 分） （1）下图即为所求：
第 1页（共 26页）
（2）∠BPH=90°， 解： ∵ 线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到 AB，∴ AB=AP，且∠PAB=60°． ∴ △ABP 是等边三角形．∴ ∠BPA=60°． ∵∠OAP=60°，∴ ∠APO=30°，∴ ∠BPO=∠BPA+∠APO=90°．∴ ∠BPH=90°．
D 不重合）．
（1）依题意补全图1 和图 2；由作图知，∠BAP 与∠CAD 的数量关系为
；
（2）探究∠ADM 与∠APM 的数量关系为
；
（3）如图 1,若 DP 平分∠ADC，用等式表示线段 BM，AP，CD 之间的数量关系，并证明.
第 3页（共 26页）
【答案】解：（1）依题意补全图1 和图 2；由作图知，∠BAP 与∠CAD 的数量关系为 相
第 2页（共 26页）
2. （ 2021 • 燕 山 二 模 类 似 石 景 山 一 模 ） 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 ， AB AC ，
BAC (0＜＜60) ．点 P 是 △ABC 内一动点，连接 AP，BP，将△APB 绕点 A 逆时针旋
转 ，使 AB 边与 AC 重合，得到△ADC，射线 BP 与 CD 或 CD 延长线交于点 M （点 M 与点
6.（2021•平谷二模）在 ABC 中， ACB 90，AC BC ，G 是 AB 边上一点，过点 G 作射线 CP，过点 A 作 AM CP于点M，过点 B 作 BN CP于点N .
(1)求证：CM=BN；
(2)取 AB 中点 O，连接 OM、ON，依题意补全图 2，猜想线段 BN、AM、OM 的数量关系，并证 明；
（3）OA=2CH. 证明：连接 BP，BC，由（2）可知，△ABP 是等边三角形， ∴ BA=BP，∠ABP=∠BPA=60°． ∵ 线段 OB 绕点 O 顺时针旋转 60°得到 OC，∴ OB=OC，∠BOC=60°． ∴ △BOC 是等边三角形．∴ BO=BC，∠OBC=60°．∴ ∠ABO=60°-∠OBP=∠ PBC．∴ △ABO≌△PBC． ∴ AO=PC，∠BPC=∠BAO． ∵∠OAP=α，∴ ∠BAO=∠BAP+∠OAP= 60°+α．∴ ∠BPC=60°+α． ∵ ∠ BPN=180°- ∠ APO- ∠ BPA=120°-(90°-α)=30 ° +α ， ∴ ∠ HPC= ∠ BPC- ∠ BPN=30°． ∵ CH⊥ON，∴ ∠CHO=90°． ∴ 在 Rt△CHP 中， PC 2CH ．∴ OA=2CH．
∵△ADE 是等腰直角三角形，且 P 为 AE 的中点，
∴DP⊥AE，即∠APD=90°． --------------------------------------------------------------------3 分
∵点 C，D，P 在同一条直线上，
∴∠ACP+∠CAE=90°．
∴∠BAE=∠ACP. -------------------------------------------------------------------------------4 分
(3) 线段 BF 与 DF 的数量关系：BF=DF． -----------------------------------------------------5 分
证明：如图，过点 B 作 BH⊥AE 于点 H．
∴∠AHB=∠APD=90°.
------------------------------------------------------6 分
(2)依题意补全图形
结论：AM=BN+ 2OM .............................................4