高一数学下学期期中试题理含解析 2

威远中学2021-2021学年高一数学下学期期中试题理〔含解析〕一.选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〕
1. 的值是〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：直接根据二倍角的余弦公式可得.
详解：由题可知：=cos30°=
应选C.
点睛：考察二倍角余弦公式的应用，属于根底题.
2. 假设向量＝(1，1)，＝(2，5)，＝(3，x)，满足条件(8－)·＝30，
那么x＝( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】C
【解析】试题分析：因为，量＝(1,1)，＝(2,5)，＝(3，x)，满足条件，
所以，=8〔1,1〕-〔2,5〕=〔6,3〕，=〔6,3〕·〔3，x〕=18+3x,故由18+3x=30得，x=4，应选C。

考点：此题主要考察平面向量的坐标运算。

点评：简单题，平面向量的和差，等于向量坐标的和差。

3. 假设、、、是平面内任意四点，给出以下式子：①，
②，③．其中正确的有〔〕．
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 0个
【答案】B
【解析】分析：利用向量的运算法那么即可判断出．
②的等价式是：-=-，左边=右边=，故正确；
③的等价式是：=+，左边=右边=，故正确；
所以综合得正确的有2个，所以选B.
点睛：纯熟掌握向量的运算法那么是解题的关键．
4. 向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，那么实数λ满足〔〕
A. λ<−
B. λ>−
C. λ>−且λ≠0
D. λ<−且λ≠−5
【答案】C
【解析】由题意知，向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，
那么根据向量的数量积可知，a(a＋λb)＞0，a２＋λa b＞0，而a２=5，a b=1+2=3,那么5+3λ>0,
同时a，a＋λb不能一共线且同向，那么λ，
据此可得λ>−且λ≠0，
此题选择C选项.
点睛：向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法那么是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．
5. 假设向量满足,且,那么向量与的夹角为〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设向量的夹角为,由,可得,
解得,根据∈[0,π],可知.
此题选择B选项.
6. 函数y＝－2cos2＋1是( )
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数
D. 最小正周期为的非奇非偶函数
【答案】A
【解析】分析：先根据二倍角公式以及诱导公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质确定奇偶性与周期.
详解：因为y＝－2cos2＋1，所以,
因此函数是最小正周期为π的奇函数，
选A.
点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、构造等特征．
7. α〔-，0〕且sin2α=-，那么sinα+cosα=〔〕
A. B. - C. - D.
【答案】A
【解析】,α〔-，，所以，且，
，所以
，选A.
8. 锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，那么α＋β等于( )
A. B. C. － D.
【答案】B
【解析】分析：由α、β∈〔0，〕，利用同角三角函数的关系算出cosα、sinβ的值，进而根据两角和的余弦公式算出cos〔α+β〕=，结合α+β∈〔0，π〕可得α+β的值
详解：∵α、β∈〔0，〕，sin α＝，cos β＝，由同角三角函数关系可得：
应选B.
点睛：此题给出角α、β满足的条件，求α+β的值．着重考察了特殊角的三角函数值、同角三角函数的根本关系、两角和的余弦公式等知识，属于中档题．
9. ，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：先将根据二倍角公式化简即可求值.
详解：由题可得：
=3
应选D.
点睛：考察三角函数的二倍角公式的运用，属于根底题.
10. 在中，假设，那么一定为〔〕
A. 等边三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 直角三角形
【答案】B
【解析】分析：将条件的原式移项，结合三角和差公式即可得出结论.
详解：由题可知：，故为锐角，由三角形的内角和为180°可知C为钝角，故三角形为钝角三角形，所以选B.
点睛：考察三角和差公式的应用，结合三角形的内角和结论即可，属于根底题.
11. 在平行四边形中，点为的中点，与的交点为，设，
那么向量〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,应选C.
12. 如图，的三内角所对的边的长分别为，为该三角形所在平面内一点，假设,那么是的( )
A. 内心
B. 重心
C. 垂心
D. 外心
【答案】A
【解析】如图，延长AM交BC于点D，设，
由可得,
即，
化简可得,
因为不一共线，所以，
故有，故AD为的平分线，
同理，也在角平分线上，
故M为三角形的内心.
此题选择A选项.
点睛：(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要擅长应用向量的有关性质解题.
二.填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.〕
13. |a|=6,|b|=3,a·b=−12,那么向量a在向量b方向上的投影是_________
【答案】-4
【解析】由向量数量积的几何意义可知：向量a在向量b方向上的投影为：
故答案为
点睛：在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量a，b的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0 14. ，，假设向量与垂直，那么的值是__________．
【答案】
【解析】分析：先计算出的坐标，然后根据向量垂直的结论即可求出m.
详解：由题可知：
，因为与垂直，所以：1+3〔m-3〕=0得：m，
故答案为
点睛：考察向量的坐标运算和向量垂直的结论，属于根底题.
15. sin α＝，那么＝________.
【答案】－
【解析】分析：先根据二倍角公式以及两角和正弦公式化简，再根据平方关系求cos α，代入即得结果.
详解：
＝，所以＝，
因此＝，
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑〞.
(2)变名：通过变换函数名称到达减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦〞、“升幂与
降幂〞等.
(3)变式：根据式子的构造特征进展变形，使其更贴近某个公式或者某个期待的目的，其手法通常有：“常值代换〞、“逆用变用公式〞、“通分约分〞、“分解与组合〞、“配方与平方〞等.
16. 在以下四个命题中：
①大小分别为与的两个力，要使合力大小恰为，那么它们的夹角为;
②，，那么；
③假设A,B,C是斜的三个内角，那么恒有成立；
④，那么的大小为;
其中错误
．．．．．．．．．〕
．．的命题有_________.〔写出所有错误命题的序号
【答案】①②④
【解析】分析：①先根据余弦定理求角，再根据向量夹角关系确定结果；②代入比拟大小，③利用两角和正切公式证明，④根据二倍角公式化简求三角方程.
详解：①因为，所以①错;
因为，所以②错
因为，
所以，③对；
因为，，
所以，④错.
点睛：判断命题真假，主要注意一些易错的点：向量夹角与三角形内角关系，余弦函数单调性，约分时因子不为零等.
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.17题10分，18题-22题各12分，解容许写
出文字说明、证明过程或者演算步骤〕
17. ,,当为何值时，
〔1〕与垂直？
〔2〕与平行？平行时它们是同向还是反向？
【答案】〔1〕〔2〕
【解析】试题分析：〔1〕两向量垂直，数量积等于0，所以先求两向量的坐标，再根据数量积的坐标表示，解出值；〔2〕用坐标表示的两个向量平行，利用公式．
试题解析：解：
〔1〕，
得
〔2〕，得
此时，所以方向相反
考点：1．向量垂直的坐标表示；2．向量平行的坐标表示．
18. 化简求值：sin 50°(1＋tan 10°)
【答案】1
【解析】原式＝sin50°＝sin50°·
＝2sin50°·
＝2sin50°·＝1.
19. α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β
【答案】
【解析】解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<．又tan2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1．
∵tanβ＝－<0，∴<β<π，∴－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－π．
20. ,.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性．
【答案】〔1〕最小正周期为π，最大值为〔2〕f(x)在上单调递增；在
上单调递减
.....................
详解：(1)f(x)＝sin sin x－cos2x
＝cos x sin x－ (1＋cos 2x)
＝sin 2x－ (1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而
当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减
点睛：考察三角函数的化简和根本性质的应用，考察学生分析问题和解决问题的思维才能，人审题计算是求解关键，属于根底题.
21. 函数，
(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；
(2)假设α∈(0，π)，且＝，求tan的值．
【答案】〔1〕最小正周期，单调减区间为〔2〕
【解析】分析：(1)先根据向量数量积得f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x，再根据二倍角公式以及配角公式化简，最后根据正弦函数性质求最小正周期及单调减区间；〔2〕先由
＝角，再代入求tan的值．
详解：解：(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2x sin 2x＋cos 4x
＝ (sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
∴f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴f(x)的单调减区间为，k∈Z.
(2)∵f＝，
即sin＝1.
因为α∈(0，π)，－ <α－<，
所以α－＝，故α＝.
因此tan＝＝＝2－.
点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、构造等特征．
22. 有一块半径为的正常数〕的半圆形空地，开发商方案征地建一个矩形的游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，在圆的直径上，在半圆周上，如图.
〔1〕设，征地面积为，求的表达式，并写出定义域；
〔2〕当满足获得最大值时，开发效果最正确，求出开发效果最正确的角的值，求出的最大值.
【答案】〔1〕〔2〕，最大值为
【解析】试题分析：(1)利用，四边形由一个直角三角形和一个等腰三角形组成，分别求三角形面积即可求的表达式；〔2〕，令，可得，利用单调性求最值即可.
试题解析：〔1〕连接，
在中，，因为，
.
〔2〕，
令，因为，所以，
所以
因为在上单调递增，所以时有最大值为，此时.
答：〔1〕；
〔2〕当时，有最大值为.
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博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。