高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题高效演练学案

第2讲 二次函数的最值
二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础．当自变量x 在某个范围内取值时，求函数y 的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题．最值问题在实际生活中也有广阔的应用． 【知识梳理】
1.二次函数解析式的三种形式： 一般式：y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0).
顶点式：y ＝a (x －m )2
＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. 2.二次函数的图象和性质
解析式
y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)
图象
对称性
函数的图象关于x ＝－b
2a
对称
3.二次函数的最值
（1）.当a ＞0时，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为2
4(,)24b ac b a a
--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b
a
-时，函数取最小值y ＝244ac b a
-．
（2）.当a ＜0时，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为2
4(,)24b ac b a a
--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b
a -时，函数取最大值y ＝244ac
b a
-．
【高效演练】
1.二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是y ＝________. 【解析】设y ＝a (x －2)2
－1(a ＞0)， 当x ＝0时，4a －1＝1，a ＝1
2，
所以y ＝12(x －2)2
－1＝12x 2－2x ＋1.
【答案】12
x 2
－2x ＋1.
2.已知函数y=x 2
＋2ax ＋1－a (x ∈[0，1])有最大值2，则a ＝________.
【解析】函数f (x )＝－x 2
＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2
＋a 2
－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a . 当a<0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1.
当0≤a≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2
－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)．
当a>1时，f(x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 【答案】－1或2.
3.已知函数y=x 2
﹣2x+3，求下列情况下二次函数的最值 （1）2≤x≤3； （2）-2≤x≤2．
【分析】（1）根据二次函数y=x 2
﹣2x+3的图象和性质，分析当2≤x≤3时，y 递增，进而可得y 的最大值、最小值；
（2）根据二次函数y=x 2
﹣2x+3的图象和性质，分析当-2≤x≤2．时，函数的单调性，进而可得y 的最大值、最小值．
【点评】熟练掌握二次函数的图象和性质是求取最值的关键。

4.二次函数y=ax2+bx+c
（1）若a=1，b=﹣1，c=﹣2，求此抛物线与坐标轴的交点坐标．
（2）若a=1，b=﹣4m，c=1﹣2m，当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点，求m的取值范围．
（3）若a=1，b=﹣4m，c=3，当﹣1＜x＜1时，二次函数的值恒大于1，求m的取值范围．
【分析】（1）将a=1，b=﹣1，c=﹣2代入原式，得到二次函数的解析式，令y=0即可求出函数与x轴的交点；
（2）将a=1，b=﹣4m，c=1﹣2m代入解析式，由于抛物线开口向上，分类讨论列不等式组解答：
①△=0，x=1时，y＞0；x=﹣1时，y＞0；
②x=1时，y＜0；x=﹣1时，y＞0；
③x=1时，y＞0；x=﹣1时，y＜0．
（3）将a=1，b=﹣4m，c=3代入解析式，令△＜0，x=1时，y＞0；x=﹣1时，y＞0，列不等式组解答即可．
（2）将a=1，b=﹣4m，c=1﹣2m代入解析式得，
y=x2﹣4mx+1﹣2m，
∵当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点，
∴可得以下几种情况：
①，解得m=．
②，解得m＞．
③，解得m ＜﹣1．
∴综上，m ＞，m ＜﹣1或m=时当﹣1＜x ＜1时，抛物线与x 轴有一个公共点．
（3）将a=1，b=﹣4m ，c=3代入解析式得，y=x 2
﹣4mx+3， ∵当﹣1＜x ＜1时，二次函数的值恒大于1，
∴，
解得﹣1＜m ＜或﹣＜m ＜．
【点评】此题考查了抛物线与x 轴的交点坐标及函数图象与不等式组的关系，根据题意转化为相应的不等式组是解题的关键．
5.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠，其两根分别为0,5，且当14x -≤≤时，最大值为12. (1)求函数的解析式；
(2) 当1t x t ≤≤+时，求函数的最小值．
【解析】(1)因为是二次函数，两根分别为0,5,所以可设y ＝ax (x －5)(a ＞0)， 所以当14x -≤≤时,的最大值是f (－1)＝6a .
由已知得6a ＝12，所以a ＝2，所以y ＝2x (x －5)＝2x 2
－10x .
(2)由(1)知y ＝2x 2
－10x ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －522
－25
2，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝52.
①当t ＋1≤52，即t ≤3
2时，y 在1t x t ≤≤+上单调递减，
所以h ＝2(t ＋1)2
－10(t ＋1)＝2t 2
－6t －8；
②当t ≥52
时,y 在1t x t ≤≤+上单调递增，所以h ＝2t 2
－10t ；
③当t ＜52＜t ＋1，即32＜t ＜52时，y 在x ＝52处取得最小值，所以最小值为－25
2
.
综上所述，h ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2
－6t －8，t ≤32
，
－252，32＜t ＜5
2
，
2t 2
－10t ，t ≥52
.
6.已知y ＝ax 2
－2x (0≤x ≤1)． (1)求函数的最小值；
(2)若y ≥－1恒成立，求a 的取值范围；
【解析】 (1)①当a ＝0时，y ＝－2x 在[0，1]上递减，所以y min ＝－2. ②当a >0时，y ＝ax 2
－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a
.
当0<1a
≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2
－2x 的图象的对称轴在[0，1]内，所以y 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，1a 上递减，
在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a
，1上递增．所以y min ＝1a －2a ＝－1a
.
当1a
>1，即0<a <1时，y ＝ax 2
－2x 的图象的对称轴在[0，1]的右侧，所以y 在[0，1]上递减． 所以y min ＝a －2.
(2)只需y min ≥－1，即可．
由(1)知，当a <1时，a －2≥－1，所以a ≥1(舍去)； 当a ≥1时，－1
a
≥－1恒成立，所以a ≥1.
故a 的取值范围为a ≥1.．
7.已知：y 关于x 的函数y=（k ﹣1）x 2
﹣2kx+k+2的图象与x 轴有交点。

（1）求k 的取值范围；
（2）若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足（k ﹣1）x 12
+2kx 2+k+2=4x 1x 2． ①求k 的值；
②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最大值。

【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x 轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x 轴有交点，则△≥0。

（2）①根据（k ﹣1）x 12
+2kx 2+k+2=4x 1x 2及根与系数的关系，建立关于k 的方程，求出k 的值。

②充分利用图象，直接得出y 的最大值和最小值。

【解析】（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x 轴有一个交点。

当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。

综上所述，k的取值范围是k≤2。

（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。

由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），
将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。

又∵x1+x2=
2k
k1
-
，x1x2=
k+2
k1
-
，
∴2k•
2k
k1
-
=4•
k+2
k1
-
，
解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。

∴所求k值为﹣1。

②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣1
2
）2+
3
2
，且﹣1≤x≤1，
由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=1
2
时，y最大=
3
2。

∴y的最大值为3
2
，最小值为﹣3。

【点评】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。

8. 如图，已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O，且与直线y=x﹣2交于B，C两点.
(1)求抛物线的顶点A的坐标及点B，C的坐标；
(2)求证：∠ABC=90°；
(3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1) A(1，1) ，B(2，0)，C(﹣1，﹣3) (2)见解析（3）(，)
【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标；（2）由A、B、C的坐标可求得AB2、BC2和AC2，由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；
（3）过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，设出P点坐标，则可表示出G点坐标，从而可表示出PG的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标.
【解析】（1）∵y=-x2+2x=-（x-1）2+1，
∴抛物线顶点坐标A（1，1），
联立抛物线与直线解析式可得，解得或，
∴B（2，0），C（-1，-3）；
（3）如图，过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，
设P（t，-t2+2t），则G（t，t-2），
∵点P在直线BC上方，
∴PG=-t2+2t-（t-2）=-t2+t+2=-（t-）2+，
∴S△PBC=S△PGB+S△PGC=PG[2-（-1）]=PG=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴当t=时，S△PBC有最大值，此时P点坐标为（，），
即存在满足条件的点P，其坐标为（，）
【点评】：本题为二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、函数图象的交点、勾股定理及其逆定理、相似三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中联立两函数解析式可求得其交点坐标，在（2）中利用勾股定理分别表示出AB、AC、BC是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．。