陕西省西工大附中2014届高三数学下学期第二次适应性训练试题 文 新人教A版

数学（文科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．设复数
2
1211,2(),z z i z x i x R z =-=+∈若
为实数，则x =（ ）
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
2．如图，程序框图所进行的求和运算是（ ） A ．1+2+22+23+24+25 B ．2+22+23+24+25 C ．1+2+22+23+24 D ．2+22+23+24
3．圆5)2(22=++y x 关于直线10x y -+=
A ．22(2)5x y -+=
B ．
5)2(2
2=-+y x
C ．22(1)(1)5x y -+-=
D ．2
2
(1)(1)5x y +++=
4.“3a =”是“直线30ax y +=与直线223x y +=平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数 C ．
()()
f x
g x +是偶函数 D ．
()()
f x
g x -是奇函数
6．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是（ ）
A ．A
B A
C BC +=
B ．
12
AB BC DA
=
+
C ．A
D DC AC -=
D ．2CD BA CA +=
7．设等比数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若23=S ，186=S ，则
=5
10
S S （ ）
A ．17
B ．33
C ．-31
D ．-3
8．在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
9．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F
，若曲线Γ上存在点P 满足
1122
::PF F F PF =4:3:2，则曲线Γ的离心率等于（ ）
A.132
2或 B.23或2 C.12或2 D.23
32或
10．设2
2)1(则,300
5满足约束条件,y x x y x y x y x ++⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-的最大值为（ ）
A ． 25
B ．
C ． 80
D ． 17
2
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 设(,sin )a α=34，
(cos ,)
b α=13，且a b ⊥，则tan α= ． 12．观察下列等式
311=
33129+= 33312336++= 33331234100+++=
照此规律，第6个等式可为 .
13．曲线
12
+=x y 在点)2,1(处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x 上的任意点Q 之间的最近距离是 .
14．将一X 边长为12cm 的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下
部分沿虚线折成一个有底的正四棱锥模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则四棱锥的体积是___________3
cm ．
图1 图2 图3
15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.)
A. (不等式选作题)已知0,0,1,a b a b >>+=则
2211a b +的最小值为 .
B.（几何证明选做题）如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线 和割线交圆于A ,B ，且PB =9，C 是圆上一点使得BC =4， ∠BAC =∠APB , 则AB = .
C. （坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为3cos (0)sin x y θ
θπθ⎧=⎪≤<⎨
=⎪⎩ 和23()2x t t R y t ⎧
=⎪
∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）． 16．（本小题满分12分） 已知向量(),sin ,cos x x a -=()x x x x b cos sin ,cos 3sin --=， 函数()b a x f ⋅= .
（1）若
3π
=
x ，求()x f 的值；
（2）求函数()f x 的对称中心和最大值，并求取得最大值时的x 的集合.
17. (本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，12n n a S +=．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设
29n n
b na =，求数列
{}n b 的前n 项和为n T .
18．（本小题满分12分）
（1）用茎叶图表示两组的成绩情况；
（2）分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩，求选取的这两名学生中，至少有一名学生的成绩在90以上的概率． 19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，
AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ， M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．
（1）证明：BM ⊥平面SMC ；
（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为
1V 与V ，求1
V V 的值．
20．（本小题满分13分）已知椭圆T ：22
2
21(0)x y a b a b +=>>的离心率
e =，,A B 是椭圆T 上两点，(3,1)N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆T 相交于,C D 两点.
（1）求直线AB 的方程；
（2）是否存在这样的椭圆，使得以CD 为直径的圆过原点O ？若存在，求出该椭圆方程；若不存在，请说明理由.
M
S D
C
B
A
21．（本小题满分14分）已知函数
()1x
f x e ax =--，其中a 为实数， （1）若1a =，求函数()f x 的最小值；
（2）若方程()0f x =在(0,2]上有实数解，求a 的取值X 围； （3）设,k k a b (1,2k =…，)n 均为正数，且1122a b a b ++…n n a b ≤12b b ++…n
b ，
求证：
12
12
1
n
b b b n a a a <.
数学（文科）参考答案 一、选择题：
二、填空题:
11．9
4-
12.4416543213
33333=+++++ 13. 1554-
14.
3 15.A. 8 B. 6 C.
(1,3 三、解答题：
16．解：（1）法1:2
2
()2sin cos 3cos
sin f x x x x x =--sin 2cos22x x =--
当
3π
=
x 时，
()23
322123232cos 32sin
-=-+=--=ππx f
法2:直接代入
3π
=
x ,算出
()f x =
.
（2）22
()2sin cos 3cos sin f x x x x x =--sin 2cos22)24x x x π
=--=-- 由
2()
4
x k k Z π
π-
=∈得
()28k x k Z ππ
=
+∈
所以()f x 对称中心为(
,2)()
28k k Z ππ
+-∈
当
3()8x k k Z π
π=+
∈时，()f x
2.
17．解：（1）当1n =时，
2122
a S ==
当2n ≥时，
1122n n
n n n a a a S S +-=-=
-，得13n n a a +=
所以
23,,,,
n a a a 为等比数列，223(2)n n a n -=⨯≥. 故
2
1,
123,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ （2）
29n n b na =29n n =⨯22[19299]
n n T n =⨯+⨯+
+⨯
23192[19299]
n n T n +=⨯+⨯+
+⨯
2182[(999)9]n n n T n +-=++
+-⨯11992[9]19n n n ++-=-⨯-1(18)994n n +--=
故1(81)99
32n n n T +-+=
18．解：（Ⅰ）茎叶图：略 …………………………
5分
（Ⅱ）分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩，所有可能的结果有16种，它们是：
()()()()78,86,78,95,78,82,78,96,()()()()92,86,92,95,92,82,92,96, ()()()()98,86,98,95,98,82,98,96,()()()()88,86,88,95,88,82,88,96,
设“选取的这两名学生中，至少有一名学生的成绩在90以上”为事件A ，则A 中包含的基本事件有12个，它们是：
()()78,95,78,96,()()()()92,86,92,95,92,82,92,96, ()()()()98,86,98,95,98,82,98,96,()()88,95,88,96,
所以所求概率为()123
.
164P A =
=………………………… 12分
19．（1）证明:
平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD
平面ABCD AD =,
SM ⊂平面SAD ，SM AD ⊥，SM ∴⊥平面ABCD ,…………………1分
BM ⊂平面,ABCD .SM BM ∴⊥………………………………2分
四边形ABCD 是直角梯形，AB //CD ,,AM AB =,DM DC =
,MAB MDC ∴∆∆都是等腰直角三角形,
45,90,.AMB CMF BMC BM CM ∴∠=∠=︒∠=︒⊥…………………………4分
SM ⊂平面SMC ，CM ⊂平面SMC ，SM CM M =,
BM ∴⊥平面SMC …………………………………………………………………6分
（2）解:三棱锥C SBM -与三棱锥S CBM -的体积相等, 由（ 1 ） 知SM ⊥平面ABCD ,
得111
3211()32SM BM CM
V V SM AB CD AD
⨯⨯=
⨯+⨯,……………………………………………9分
设,AB a =由3CD AB =,,AM AB =,DM DC =
得3,,,4,CD a BM CM AD a ==
==
从而
13.(3)48V V a a a ⨯==+⨯…………………………………………………………12分 20．解：（1
）离心率3e =
，椭圆T ：222
3(0)x y a a +=>
设
1122(,),(,),
A x y
B x y 直线AB 的方程为222
(3)1,3y k x x y a =-++=代入，
整理得
2222
(31)6(31)3(31)0.k x k k x k a +--+--=① 2224[(31)3(31)]0,a k k ∆=+-->②
1226(31)
,
31k k x x k -+=
+由(3,1)N 是线段AB 的中点，得
12
3.2x x += 解得1k =-，代入②得，2
12,a >
直线AB 的方程为1(3),40.y x x y -=--+-=即
（2）∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为13y x -=-，即20x y --=， 代入椭圆方程，整理得 2
2
412120.x x a -+-= 又设
),
,(),,(4433y x D y x C
∴
2
3434123,4a x x x x -+==
2
34344(2)(2)4a y y x x -=--=
假设存在这样的椭圆，使得以CD 为直径的圆过原点O ，则
34340
x x y y +=
得28a =，又212,a >故不存在这样的椭圆.
21．解：（1）
'()1x f x e =-，由()0f x '=得0x = 当0,'()0,()x f x f x >>时在(0,)+∞内递增； 当0x <时，'()0,()(,0)f x f x <-∞在内递减； 故函数()0f x x =在处取得最小值(1)0.f = （2）'()(02)x
f x e a x =-<≤
①当1a ≤时，'()0,f x >()f x 在(0,2]内递增；
()(0)0f x f >=，方程()0f x =在(0,2]上无实数解；
②当2
a e ≥时，'()0,f x ≤()f x 在(0,2]内递减；
()(0)0f x f <=，方程()0f x =在(0,2]上无实数解；
③当2
1a e <<时，由'()0,f x =得ln x a =，
当0ln ,'()0,()x a f x f x <<<时递减； 当ln 2a x <<时，'()0,()f x f x >递增；
又(0)0f =，
2
(2)21f e a =--
由2
(2)210f e a =--≥得
2112e a -<≤ 故a 的取值X 围为211,2e ⎛⎤
- ⎥⎝⎦
（3）由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，1x
e x >+，ln(1).x x +<即
,0
k k a b >，从而有
ln 1
k k a a <-，
得
ln (1,2,
,)
k k k k k b a a b b k n <-=，
求和得111
1
ln 0.
n
n n
b k
k k k k k k a
a b b ===<-≤∑∑∑
即12
12
ln()0,
n k k k n a a a <故
12
12
1.
n k k k n a a a <。