2021高考数学 第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图同步检测 文(1)

第八章立体几何
第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图
一、选择题
1. 以下四个几何体中，几何体只有主视图和左视图相同的是( )
A．①②B．①③
C．①④D．②④
解析由几何体分析知②④中主视图和左视图相同．
答案D
2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的选项是( )．
A．球的三视图老是三个全等的圆
B．正方体的三视图老是三个全等的正方形
C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解析画几何体的三视图要考虑视角，但关于球不管选择如何的视角，其三视图老是三个全等的圆．答案A
3．将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，取得图(b)所示的几何体，那么该几何体的侧视图为
( )．
解析还原正方体后，将D1，D，A三点别离向正方体右边面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C 被遮挡应为虚线．
答案B
4．假设某几何体的三视图如下图，那么那个几何体的直观图能够是( )．
解析A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.
答案D
5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，那么原平面四边形的面积等于( )．
A.
2
4
a2B．22a2 C.
2
2
a2 D.
22
3
a2
解析依照斜二测画法画平面图形的直观图的规那么，能够得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积
S′之间的关系是S′＝
2
4
S ，此题中直观图的面积为a2，因此原平面四边形的面积等于
a2
2
4
＝22a2.应选B.
答案B
6．一个锥体的正视图和侧视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是
( )．
解析选项C不符合三视图中“宽相等”的要求．
答案C
二、填空题
7.如下图，E、F别离为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，
那么四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________(填序号)．解析B在面DCC1D1上的投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应别离在边CC1和DD1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．
答案②
8．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，那么那个多面体最长的一条棱的长为________．
解析(构造法)由主视图和俯视图可知几何体是
正方体切割后的一部份(四棱锥C1- ABCD)，还原
在正方体中，如下图．多面体最长的一条棱即
为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长
AB＝2知最长棱AC1的长为2 3.
答案23
9．利用斜二测画法取得的：
①三角形的直观图必然是三角形；
②正方形的直观图必然是菱形；
③等腰梯形的直观图能够是平行四边形；
④菱形的直观图必然是菱形．
以上正确结论的序号是________．
解析 由斜二测画法的规那么可知①正确；②错误，是一样的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不必然是菱形，④也错误． 答案 ①
10．图(a)为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成；图(b)中的三视图表示的实物为________．
图(a) 图(b)
解析 (1)由三视图可知从正面看到三块，从侧面看到三块，结合俯视图可判定几何体共由4块长方体组成． (2)由三视图可知几何体为圆锥． 答案 4 圆锥 三、解答题
11．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．
(1)在主视图下面，依照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)依照给出的尺寸，求该多面体的体积； 解 (1)如图． (2)所求多面体的体积
V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2×2×2×2
＝284
3
(cm 3)．
12．已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，且正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1
内接于圆锥，求那
个正方体的棱长．
解 如下图，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥
内接正方体的棱
长为x ，那么在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长别离为x 和2x .∵△VA 1C 1∽△VMN ，
∴2x 2r ＝h －x h ，∴x ＝2rh 2r ＋2h
. 即圆锥内接正方体的棱长为2rh 2r ＋
2h
.
13．正四棱锥的高为
3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？
解 如下图，在正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝
3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝
7，
在Rt △SOA 中，
OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4.
∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2
2.
作OE ⊥AB 于E ，那么E 为AB 中点． 连接SE ，那么SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，∵OE ＝1
2BC ＝
2，SO ＝3，
∴SE ＝
5，即侧面上的斜高为
5.
14． (1)如图1所示的三棱锥的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，那么该三棱锥的侧视图是图2仍是图3? (2)某几何体的三视图如图4，问该几何体的面中有几个直角三角形？ (3)某几何体的三视图如图5，问该几何体的面中有几个直角三角形？
解 (1)该三棱锥在侧(右)投影面上的投影是一直角三角形，该三棱锥的侧视图应是图2. (2)该几何体是三棱锥，其直观图如下图，其中OA 、OB 、OC 两两垂直，
∴△OAB 、△OAC 、△OBC 都是直角三角形，但△ABC 是锐
角三角形．设AO ＝a ，
OC ＝c ，OB ＝b ，那么AC ＝a 2＋c 2，BC ＝c 2＋b 2，
AB ＝a 2＋b 2，∴cos
∠BAC ＝a 2
a 2＋
b 2·
c 2＋a 2
>0，∴∠BAC 为锐角．同理，
∠ABC 、∠ACB 也是锐
角．
综上所述，该几何体的面中共有三个直角三角形．
(3)该几何体是三棱锥，其直观图如下图，其中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，
BD ⊥CD ，∴DC ⊥面
ABD ，∴DC ⊥AD ，
∴△ACD 也是直角三角形．
∴该几何体的面中共有四个直角三角形.。