穿插滚动练 (4)

穿插滚动练(五)
1．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，2)
B ．(－∞，2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
答案 B
解析 如果a ≤1，则A ＝{x |x ≥1或x ≤a }，
而B ＝{x |x ≥a －1}，
由图(1)，可知A ∪B ＝R ；
如果a >1，则A ＝{x |x ≥a 或x ≤1}，
而B ＝{x |x ≥a －1}，
由图(2)，可知若想A ∪B ＝R ，必须a －1≤1，得1<a ≤2.
综上所述，选B.
2．如果复数m 2＋i 1＋m i
(m ∈R )是纯虚数，那么m 2 014等于( ) A ．－1 B ．0
C ．0或1
D ．0或－1
答案 C
解析 m 2＋i 1＋m i ＝(m 2＋i )(1－m i )
(1＋m i )(1－m i ) ＝m 2＋m ＋(1－m 3)i 1＋m 2
， 由题意，得m 2＋m ＝0且1－m 3≠0，
解得m ＝0或m ＝－1，则m 2 014＝0或m 2 014＝1，故选C.
3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin C sin A
等于( )
A.12
B ．1
C ．2
D ．3 答案 D
解析 由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C
＝k ， 则3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin A sin B
， 所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin A sin B
， 即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，
化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．
又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，
因此sin C sin A
＝3. 4．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2等于( )
A.n (n ＋1)2 B ．－n (n ＋1)2
C ．(－1)n
＋1n (n ＋1)2
D ．以上答案均不对 答案 C
解析 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2
＝－3－7－…－(2n －1)
＝－n 2(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2
； 当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2
＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2
＝－n －12[3＋2(n －1)－1]2
＋n 2 ＝n (n ＋1)2
， 综上可得，原式＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 5．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．4
D ．25
答案 B
解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p 2
＝3， ∴p ＝2，∴y 2＝4x .
∴y 20＝4×2＝8，
∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.
6．将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD (如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )
A ．相交且垂直
B ．相交但不垂直
C ．异面且垂直
D ．异面但不垂直
答案 C
解析 在图1中的等腰直角三角形ABC 中，斜边上的中线AD 就是斜边上的高，则AD ⊥BC ，翻折后如图2，AD 与BC 变成异面直线，而原线段BC 变成两条线段BD 、CD ，这两条线段与AD 垂直，即AD ⊥BD ，AD ⊥CD .又BD ∩CD ＝D ，故AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥BC .
7．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，12
) C ．(0,1) D ．(0，＋∞)
答案 B
解析 函数f (x )＝x (ln x －ax )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x －ax ＋x (1x
－a )＝ln x －2ax ＋1.如果函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，也就是说f ′(x )＝0有两个不等实根，即ln x －
2ax ＋1＝0有两个不等实根．参数分离得ln x ＋1x
＝2a ，若此方程有两个不等实根，只需函数y ＝ln x ＋1x 与y ＝2a 有两个不同交点．经过求导分析，如图所示，可知0<2a <1，则0<a <12
.故选B.
8．(2014·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，
y ≥1，
则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案 B
解析 根据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．
由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2. 先画出直线y ＝－12x ，然后将直线y ＝－12
x 进行平移． 当直线过点A 时，z 取得最小值．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝1，x ＋y －2＝0，得A (1,1)，故z 最小值＝1＋2×1＝3. 9．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( ) 答案 D
解析 方法一 当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ； 当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a 递增较慢，所以选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．
10．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线
x ＋12
＝0的距离等于( ) A.74
B ．2 C.94
D ．4 答案 C
解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14
)， 即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14
，0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则|AB |＝x 1＋x 2＋12
＝4， 故x 1＋x 2＝72，
则弦AB 的中点的横坐标是74
， 弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94
. 11．(2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ
＝________.
答案 4
解析 以向量a 和b 的交点为原点建立直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)， 根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解之得λ＝－2且μ＝－12
， 故λμ
＝4. 12．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
答案 22
解析
由题意知，当弦的中点与圆心的连线与弦垂直时弦长最短，此时，点(3,1)为弦的中点，如图所示．
所以AB ＝2BE ＝2
BC 2－CE 2
＝24－2＝2 2. 13．(2014·山东)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体
积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 14
解析
设点A 到平面PBC 的距离为h .
∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点， ∴S △BDE ＝14
S △PBC ， ∴V 1V 2＝V A －DBE V A －PBC ＝13S △DBE ·h 13
S △PBC ·h ＝14.
14．(2014·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3. 答案 20π3
解析 根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4，高为2的圆锥，下部是一个底面直径为2，高为4的圆柱．
故该几何体的体积V ＝13π×22×2＋π×12×4＝20π3
. 15．(2014·湖北)设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0.对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c,0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为
M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b 2
，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．
(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；
(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2ab a ＋b
. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
答案 (1)x ；(2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数均可)
解析 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c,0)，且三点共线．
①依题意，c ＝ab ，则0－f (a )c －a ＝0＋f (b )c －b
， 即0－f (a )ab －a ＝0＋f (b )ab －b
. 因为a >0，b >0，所以化简得
f (a )a ＝f (b )b ， 故可以选择f (x )＝x (x >0)．
②依题意，c ＝2ab a ＋b ，则0－f (a )2ab a ＋b －a ＝0＋f (b )2ab a ＋b
－b ， 因为a >0，b >0，所以化简得f (a )a ＝f (b )b
， 故可以选择f (x )＝x (x >0)．
16．(2014·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝
66b ，sin B ＝6sin C .
(1)求cos A 的值； (2)求cos(2A －π6
)的值． 解 (1)在△ABC 中，由
b sin B ＝
c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，又由a －c ＝66
b ，有a ＝2
c ，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14
， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154
. 所以cos(2A －π6)＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6
＝15－38
. 17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，P 为DN 的中点．
(1)求证：BD ⊥MC .
(2)线段AB 上是否存在点E ，使得AP ∥平面NEC ，若存在，请说明在什么位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
(1)证明 连接AC ，因为四边形ABCD 是菱形，
所以AC ⊥BD .
又ADNM 是矩形，
平面ADNM ⊥平面ABCD ，
所以AM ⊥平面ABCD .
因为BD ⊂平面ABCD ，所以AM ⊥BD .
因为AC ∩AM ＝A ，所以BD ⊥平面MAC .
又MC ⊂平面MAC ，所以BD ⊥MC .
(2)解 当E 为AB 的中点时，有AP ∥平面NEC .
取NC 的中点S ，连接PS ，SE .
因为PS ∥DC ∥AE ，PS ＝AE ＝12
DC ， 所以四边形APSE 是平行四边形，所以AP ∥SE .
又SE ⊂平面NEC ，AP ⊄平面NEC ，
所以AP ∥平面NEC .
18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *，a 1＝2.
(1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项；
(2)设b n ＝3n S n －n ＋1
的前n 项和为T n ，证明：T n <6. (1)解 因为S n ＝a n ＋1＋n －2，①
当n ≥2时，S n －1＝a n ＋(n －1)－2＝a n ＋n －3，②
①－②，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1，
即a n ＋1＝2a n －1.③
设c n ＝a n －1，代入③，得c n ＋1＋1＝2(c n ＋1)－1，
即c n ＋1＝2c n .
由S n ＝a n ＋1＋n －2，得a 2＝S 1－1＋2＝3，
显然c 1＝a 1－1＝1，c 2＝a 2－1＝2.
故数列{c n }是以1为首项，2为公比的等比数列，
即数列{a n －1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
则a n －1＝2n －1，即a n ＝2n －1＋1.
(2)证明 由a n ＝2n －1＋1，得S n ＝2n ＋n －1，
故S n －n ＋1＝2n .所以b n ＝3n 2
n . 则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝32＋622＋…＋3n 2
n ，④ 2T n ＝3＋62＋3×322＋…＋3n 2n －
1，⑤ ⑤－④，得T n ＝3＋32＋322＋…＋32n －1－3n 2n ＝3(1＋12＋122＋…＋12n －1)－3n 2n
＝3×1－(12)n 1－12
－3n 2n ＝6－3n ＋62n . 因为3n ＋62n >0，所以T n ＝6－3n ＋62
n <6. 19．直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点．
(1)当a 为何值时，|PQ |＝21＋a 2；
(2)是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．
解 (1)联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧ ax －y ＝1，
x 2－2y 2＝1， 得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，
又知直线与曲线相交于P ，Q 两点，可得
⎩⎪⎨⎪⎧
1－2a 2≠0，Δ＝16a 2＋12(1－2a 2)>0，即|a |<62且|a |≠22， 设P ，Q 两点的坐标为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝4a 2a 2－1，x 1x 2＝32a 2－1
， 所以|PQ |＝ 4(1＋a 2)(3－2a 2)(2a 2－1)2＝21＋a 2，
化简得(1－2a 2)2－(1－2a 2)－2＝0，
解得a ＝±1即为所求．
(2)假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ，
则k OP ·k OQ ＝－1，也就是x 1x 2＋y 1y 2＝0，
x 1x 2＋(ax 1－1)(ax 2－1)＝0，
整理得(1＋a 2)x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0，
故有3(1＋a 2)2a 2－1＋4a 21－2a 2
＋1＝0， 解得a 2＝－2，即不存在满足题意的实数a .
20．(2014·乐山模拟)已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1.
(1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)如果对任意的x 1>x 2>0，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
≥2，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x
. ①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；
③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝
1－a 2a . 则当x ∈(0,
1－a 2a )时，f ′(x )<0； x ∈( 1－a 2a
，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0,
1－a 2a ]上单调递减， 在[ 1－a 2a
，＋∞)上单调递增． (2)由已知，可得对任意的x 1>x 2>0，有x 1－x 2>0，
所以由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
≥2， 得f (x 1)－f (x 2)≥2(x 1－x 2)，
即f (x 1)－2x 1≥f (x 2)－2x 2.
令g (x )＝f (x )－2x ，又x 1>x 2，
故函数g (x )＝f (x )－2x 在(0，＋∞)上单调递增．
所以g ′(x )＝a －1x
＋2ax －2≥0在(0，＋∞)上恒成立． 所以(1x ＋2x )a ≥2＋1x
.
因为x >0，所以a ≥2＋1x 1x
＋2x ＝2x ＋11＋2x 2.(*) 令t ＝2x ＋1，则x ＝t －12
， 又x >0，所以t >1.
故(*)式可化为a ≥t 2(t －12)2＋1＝t t 2－2t ＋12
＋1＝2t ＋3t －2. 因为t >1，所以t ＋3t
≥2t ×3t ＝23， 当且仅当t ＝3时取等号．
所以2t ＋3t
－2≤223－2＝3＋12， 即2t ＋3t
－2的最大值为3＋12. 故不等式a ≥2t ＋3t
－2恒成立的条件是a ≥3＋12. 故a 的取值范围为[3＋12
，＋∞)． 21．已知椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m,0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)，
所以c ＝a 2－b 2＝ 3. 因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形，
所以b ＝3×33
＝1.
可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24
＋y 2＝1. (2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时， 设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，
得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1
. 则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)，
所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2
＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2
＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)
＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2(4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1) ＝(4m 2－8m ＋1)k 2＋(m 2－4)4k 2＋1
＝(4m 2－8m ＋1)(k 2＋14)＋(m 2－4)－14(4m 2－8m ＋1)4k 2＋1
＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1
. 要使PE →·QE →为定值，令2m －174
＝0， 即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364
. 当直线l 的斜率不存在时，
不妨取P (1，32)，Q (1，－32
)，
由E(17
8，0)，可得PE→＝(9
8
，－3
2)，QE
→＝(9
8
，3
2)，
所以PE→·QE→＝81
64－3
4
＝33
64.
综上，存在点E(17
8，0)，使PE→·QE→为定值33
64.。