普陀区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

普陀区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ）
A ．7049
B ．7052
C ．14098
D ．14101
2． 已知，若存在，使得，则的()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->0(1,)x ∈+∞00()'()0g x g x +=b a
取值范围是（
）
A ．
B ．
C.
D ．(1,)-+∞(1,0)-(2,)-+∞(2,0)
-3． 为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x 的图象（
）
A ．向右平移个单位长度
B ．向左平移个单位长度
C ．向右平移
个单位长度
D ．向左平移
个单位长度
4． 方程表示的曲线是（ ）
1x -=A ．一个圆 B ． 两个半圆 C ．两个圆
D ．半圆
5． 在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 10+a 11+a 12=78，则此数列前12项和等于（
）
A ．96
B ．108
C ．204
D ．216
6． 函数是指数函数，则的值是（
）
2
(44)x
y a a a =-+A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1
7． 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8． 已知等差数列的前项和为，且，在区间内任取一个实数作为数列{}n a n S 120a =-()3,5{}n a 的公差，则的最小值仅为的概率为（ ）
n S 6S A ．
B ．
C ．
D ．
1
5
1
6
3
14
13
9． 已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，）
C ．（﹣∞，0]
D ．（﹣∞，0）
10．已知x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（
）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，]
C ．（﹣∞，]
D ．（﹣∞，]
11．若复数z=（其中a ∈R ，i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
12．设定义在R 上的函数f （x ）对任意实数x ，y ，满足f （x ）+f （y ）=f （x+y ），且f （3）=4，则f （0）+f （﹣3）的值为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣4
C ．0
D ．4
二、填空题
13．幂函数在区间上是增函数，则
．
1
22
2)33)(+-+-=
m m x m m x f （()+∞,0=m 14．下列命题：
①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点；③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，S n 最大值为S 5；④在△ABC 中，A ＞B 的充要条件是cos2A ＜cos2B ；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强．其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．
15．等差数列的前项和为，若，则等于_________.
{}n a n S 37116a a a ++=13S 16．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．
17．设函数有两个不同的极值点，，且对不等式32
()(1)f x x a x ax =+++1x 2x 12()()0
f x f x +≤
恒成立，则实数的取值范围是 ．
18．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD E PD （1）证明：平面；//PB AEC
（2）设，的体积，求到平面的距离.1AP =AD =
P ABD -V =
A PBC
111]
20．已知函数f （x ）=x 3+x ．
（1）判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（2）求证：f （x ）是R 上的增函数；
（3）若f （m+1）+f （2m ﹣3）＜0，求m 的取值范围．（参考公式：a 3﹣b 3=（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2））
21．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．（1）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；（2）当PD=
AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．
22．（本小题满分12分）
已知直三棱柱中，上底面是斜边为的直角三角形，分别是的中点.
111C B A ABC -AC F E 、11AC B A 、
（1）求证：平面； //EF ABC （2）求证：平面平面.
⊥AEF B B AA 1123．（本题满分13分）已知圆的圆心在坐标原点，且与直线：相切，设点为圆上
1C O 1l 062=+-y x A
一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.⊥AM x M N OM ON )2
133(-=N C （1）求曲线的方程；
C （2）若动直线：与曲线有且仅有一个公共点，过，两点分别作，
2l m kx y +=C )0,1(1-F )0,1(2F 21l P F ⊥，垂足分别为，，且记为点到直线的距离，为点到直线的距离，为点21l Q F ⊥P Q 1d 1F 2l 2d 2F 2l 3d P
到点的距离，试探索是否存在最值？若存在，请求出最值.
Q 321)(d d d ⋅+24．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ．（Ⅰ）求证：AB ⊥SC ；
（Ⅱ）设D ，F 分别是AC ，SA 的中点，点G 是△ABD 的重心，求证：FG ∥平面SBC ；（Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A ﹣FD ﹣G 的余弦值．
普陀区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），∴（a n+1﹣2）（a n ﹣2）=2，当n ≥2时，（a n ﹣2）（a n ﹣1﹣2）=2，∴
，可得a n+1=a n ﹣1，
因此数列{a n }是周期为2的周期数列．a 1=3，∴3a 2+2=2a 2+2×3，解得a 2=4，∴S 2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．　
2． 【答案】A 【解析】
考
点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.
【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
【解析】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin3（x﹣）=sin（3x﹣）的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】
试题分析：由方程，两边平方得，即，所
x y
-++=
(1)(1)1
1
x-=22
x-=22
1
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.
考点：曲线的方程.
5．【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78，
∴3a2=﹣24，3a11=78，解得a2=﹣8，a11=26，
∴此数列前12项和=
=6×18=108，
故选B．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．
6．【答案】C
【解析】
考点：指数函数的概念．
7．【答案】A
【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6，
∴（2﹣）•=2﹣=2×22﹣6×2×cos60°=2，
∴2﹣在方向上的投影为=．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．
【解析】
考点：等差数列．
9．【答案】B
【解析】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，
∴mx＜2lnx，即＜在[1，e]上有解，
令h（x）=，则h′（x）=，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴h（x）max=h（e）=，
∴＜h（e）=，
∴m＜．
∴m的取值范围是（﹣∞，）．
故选：B．
【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
10．【答案】D
【解析】解：x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，
所以（x+y）（+）=10+≥10=16，
当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；
故m的取值范围是（﹣]；
故选D．
11．【答案】A
【解析】解：复数z===．
由条件复数z=（其中a ∈R ，i 是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，
解得a=3．故选：A ．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．　
12．【答案】B
【解析】解：因为f （x ）+f （y ）=f （x+y ），令x=y=0，
则f （0）+f （0）=f （0+0）=f （0），所以，f （0）=0；再令y=﹣x ，
则f （x ）+f （﹣x ）=f （0）=0，所以，f （﹣x ）=﹣f （x ），所以，函数f （x ）为奇函数．又f （3）=4，
所以，f （﹣3）=﹣f （3）=﹣4，所以，f （0）+f （﹣3）=﹣4．故选：B ．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的运用，判定函数f （x ）为奇函数是关键，考查推理与运算求解能力，属于中档题．　
二、填空题
13．【答案】【解析】
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂
函数是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函
()y x
R α
α=∈αα数在上单调递增，则，若在上单调递减，则；（3）在比较幂值
()y x R α
α=∈()0,+∞α0>()0,+∞0α<
的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 114．【答案】　②③④⑤　
【解析】解：①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数，不正确，取x=
，
，但是
，
，因此不是单调递增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点，正确；③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，∴
=5（a 6+a 5）＞0，
=11a 6＜0，
∴a 5+a 6＞0，a 6＜0，∴a 5＞0．因此S n 最大值为S 5，正确；
④在△ABC 中，cos2A ﹣cos2B=﹣2sin （A+B ）sin （A ﹣B ）=2sin （A+B ）sin （B ﹣A ）＜0⇔A ＞B ，因此正确；⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确．其中正确命题的序号是 ②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　
15．【答案】26【解析】
试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得，由等差数列的求和
371177362a a a a a ++==⇒=．
11313713()
13262
a a S a +=
==考点：等差数列的性质和等差数列的和．16．【答案】　9　．
【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，所以总城市数为11÷0.22=50，
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．故答案为：9　
17．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥
⎣
⎦
【解析】
试题分析：因为,故得不等式,即12()()0f x f x +≤()()
()332212121210x x a x x a x x ++++++≤,由于()()()()()2
21212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,令得方程,因 , 故()()2'321f x x a x a =+++()'0f x =()23210x a x a +++=()2410a a ∆=-+>，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，()12122133x x a a
x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
()1a +()22520a a -+≥1a ≤-122a ≤≤因此, 当或时, 不等式成立,故答案为. 1a ≤-122a ≤≤()()120f x f x +≤1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数的到函数，令考虑判别式大于零，根据韦达定理求出()f x ()'0f x =的值，代入不等式，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实
1212,x x x x +12()()0f x f x +≤数的取值范围.111]
18．【答案】　﹣1054　．
【解析】解：∵2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，
∴2a n +a n+1=3，2a n a n+1=b n ，
∵a 1=2，∴a 2=﹣1
，同理可得a 3=5，a 4=﹣7，a 5=17，a 6=﹣31．
则b 5=2×17×（﹣31）=1054．
故答案为：﹣1054．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】试
题解析：（1）设和交于点，连接，因为为矩形，所以为的中点，又为的
BD AC O EO ABCD O BD E PD
中点，所以，且平面，平面，所以平面.
//EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC
（2），由，可得，作交于.由题设知16V PA AB AD AB =
=A A V =32
AB =AH PB ⊥PB H BC ⊥
平面，所以，故平面，又，所以到平面的距离PAB BC AH ⊥AH ⊥PBC PA AB AH PB ==A A PBC
考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理.
20．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）是R 上的奇函数
证明：∵f （﹣x ）=﹣x 3﹣x=﹣（x 3+x ）=﹣f （x ），
∴f （x ）是R 上的奇函数
（2）设R 上任意实数x 1、x 2满足x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，
f （x 1）﹣f （x 2）=（x 1﹣x 2）+[（x 1）3﹣（x 2）3]=（x 1﹣x 2）[（x 1）2+（x 2）2+x 1x 2+1]=（x 1﹣x 2）[（x 1+x 2）2+x 22+1]＜0恒成立，
因此得到函数f （x ）是R 上的增函数．
（3）f （m+1）+f （2m ﹣3）＜0，可化为f （m+1）＜﹣f （2m ﹣3），
∵f （x ）是R 上的奇函数，∴﹣f （2m ﹣3）=f （3﹣2m ），
∴不等式进一步可化为f （m+1）＜f （3﹣2m ），
∵函数f （x ）是R 上的增函数，
∴m+1＜3﹣2m ，
∴
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，
∵PD ⊥底面ABCD ，
∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ，
∴平面AEC ⊥平面PDB ．
（Ⅱ）解：设AC ∩BD=O ，连接OE ，
由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ，
∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，
∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，
∴OE ∥PD ，，
又∵PD ⊥底面ABCD ，
∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，
在Rt △AOE 中，，
∴∠AEO=45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试
题解析：证明：（1）连接，∵直三棱柱中，四边形是矩形，
C A 1111C B A ABC -C C AA 11故点在上，且为的中点，
F C A 1F C A 1在中，∵分别是的中点，∴.
BC A 1∆F E 、11AC B A 、BC EF //又平面，平面，∴平面.
⊄EF ABC ⊂BC ABC //EF ABC
考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理.
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.
（2）由（1）中知曲线是椭圆，将直线：代入
C 2l m kx y +=椭圆的方程中，得C 12432
2=+y x 0
1248)34(222=-+++m kmx x k 由直线与椭圆有且仅有一个公共点知，
2l C ，
0)124)(34(4642222=-+-=∆m k m k 整理得 …………7分342
2+=k m 且，211|
|k k m d +-=2
21|
|k k m d ++=当时，设直线的倾斜角为，则，即 10≠k 2l θ|||tan |213d d d -=⋅θ||213k
d d d -=∴22
22121
213211||4||||)()(k m k d d k d d d d d d d +=-=-+=+
…………10分||1||1614
3||42m m m m +=+-=
∵ ∴当时，3422+=k m 0≠k 3||>m ∴，∴……11分3343
13||1||=+>+m m 34)(321<+d d d 当时，四边形为矩形，此时， 20=k PQ F F 21321==d d 2
3=d ∴ …………12分34232)(321=⨯=+d d d 综上、可知，存在最大值，最大值为 ……13分
1 2321)(d d d ⋅+3424．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵SA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，
∴SA ⊥AB ，又AB ⊥AC ，SA ∩AC=A ，
∴AB ⊥平面SAC ，
又AS ⊂平面SAC ，∴AB ⊥SC ．
（Ⅱ）证明：取BD 中点H ，AB 中点M ，
连结AH ，DM ，GF ，FM ，
∵D ，F 分别是AC ，SA 的中点，
点G 是△ABD 的重心，
∴AH 过点G ，DM 过点G ，且AG=2GH ，
由三角形中位线定理得FD ∥SC ，FM ∥SB ，
∵FM ∩FD=F ，∴平面FMD ∥平面SBC ，
∵FG ⊂平面FMD ，∴FG ∥平面SBC ．
（Ⅲ）解：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵SA=AB=2，AC=4，∴B （2，0，0
），D （0，2，0），H （1，1，0），
A （0，0，0），G （，，0），F （0，0，1），
=（0，2，﹣1），=（），设平面FDG 的法向量
=（x ，y ，z ），
则，取y=1，得=（2，1，2），
又平面AFD 的法向量=（1，0，0），
cos ＜，＞==．
∴二面角A﹣FD﹣G的余弦值为．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．。