{高中试卷}四川省2021年上学期成都七中高三数学理入学考试试题答案[仅供参考]

20XX年高中测试
高
中
试
题
试
卷
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四川省2021年上学期成都七中高三数学理入学考试试题答案
1-5：CBCBD 6-10：BBBDA 11-12：DB
13
．1- 15．1或3 16
．
17．【答案】（Ⅰ）
1
321
n n n a b n -==- （Ⅱ）
1133n n n T -+=-
【解析】（1）由
121
n n a S +=+可得
()
1212n n a S n -=+≥，
两式相减得
()
112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥．
又
21213
a S =+=，所以
21
3a a =．
故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．
由点
()
1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以
12
n n b b +-=．
则数列
{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-．
（Ⅱ）因为
1213n n n n b n c a --=
=，所以
0121135213333n n n T --=++++．
则123113521
3
3333n n n T -=+++
+
，
两式相减得：21222
221
13
3333
n n n
n T --=+++
+-1
1113321
121313n n
n -⎡⎤
⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+⨯
--
1
121233n n n --⎛⎫=--
⎪
⎝⎭
∴
2111211
3323233n n n n n n T ----+=-
-=-⋅⋅
18．【答案】（1）1
5； （2）0.5
y ex =．
【解析】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比()0.302,0.388y
x ∈
则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为非优等品，
所求概率为
232631
155C P C ===
．
（2）对b
y c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+
令
ln i i
v x =，
ln i i
u y =，则u b v a =⋅+，且ln a c =
由所给统计量及最小二乘估计公式有：
1122
21
75.324.618.360.271
101.424.660.542
n
i i n
i
i v u nuv
b v
nv
==--⨯÷=
=
==
-÷-∑∑
118.324.6216a u bv ⎛⎫-⨯ ⎪
⎝⎭=-=
=，
由ln a c =得c e =，
所以y 关于x 的回归方程为0.5
y ex =．
19．【解析】（1）证明：AB 是底面圆的直径，AC 与圆切于点A ， 所以AC AB ⊥，
又PO ⊥底面，则PO AC ⊥，PO AB O =，
所以：AC ⊥面PAB AC PB ⇒⊥，
又因为，在三角形PAB
中，
PA PB AB PA PB ==
⇒⊥
PA AC A =，所以PB ⊥面PAC ，∵PB ⊂面PBC
所以：平面PBC ⊥平面PAC ；
（2）因为OB PO ⊥，OD PO ⊥，
∴BOD ∠为二面角B PO D --的平面角，
∴
23BOD π
∠=
，如图建立坐标系，易知1OB =，
则()0,1,0A -，()0,1,0B
，1,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，1,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P
，11,22E ⎫
-⎪⎪⎝⎭，
由（1）知
()
0,1,1BP =-为平面PAC 的一个法向量，
设平面ODE 的法向量为
()
,,n x y z =，
31111,02222OE
x y z ⎛⎫=-⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 311,0022OD x y ⎛⎫=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭，
解得：
(
)3,3,1
n =
，
26
cos 13
n BP n BP
θ⋅=
=
．
20．【答案】（1）22
1
43x y +=． （2）
()2,1 【解析】（1）不妨设P 在第一象限，由题可知,13P ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，∴22
8113a b +=， 又∵12e =，∴2
281
1123c c +=，可得1c =，椭圆的方程为22143x y +=．
（2
）设2
00,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭则切线l 的方程为200
24x x y x =-
代入椭圆方程得：()42
2
30
3120
4x x x x x +-+-=，
设
()
11,B x y ，
()
22,C x y ，
()
33,E x y ，
则
()
3012
32
0223x x x x x +==+，
()
22
000
332
032443x x x y x x =-=-+，
KE 的方程为
()
()2
300
2
2000324323x x y x x x x ⎡⎤⎢⎥+=--++⎢⎥⎣⎦，
即
()
2
02
002
43x y x x x =-++，令0y =得
()
3
2
083K x x x =+，
在直线l 方程中令0y =得02D x x =，
2
2
200
4124x x FD +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ()()()
230000
22
003428383x x x x DK x x +=-=++，
02FD k x =-
，0
2BC x k =，∴1FD BC k k ⋅=-，
FD BC ⊥，
∴~DEK FOD △△，∴
()()
22
200122220941849163x x S DK S FD x +===+．
化简得
()()22
0177240
x
x +-=，
∴02x =（02x =-舍去）∴A 的坐标为()1,1，()4
2
2
30
31204x x x x x +-+-=，
()()46
242
00
0043123481440
4x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，
因为
2
008x ≤≤+
21．【解析】（1）由
()()1x
f x x e =-得
()x
f x xe '=，所以切线的斜率
()1k f e
'==．
因为切点坐标为
()1,0，所以切线的方程为()1y e x =-．
设曲线
()
y g x =的切点坐标为
()11,x y ．
由()ln g x a x =+得()1g x x '=，所以()111g x e x '==，得
11x e =． 所以切点坐标为1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为对1,1a e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭也在直线()1y e x =-上．所以2a e =-． （2）由()()1ln x h x b x e x =--，得()211
x x
bx e h x bxe x x -'=-=．
令
()21
x
m x bx e =-，0x >，当
1
0b e <<
时，()()
220x m x bx bx e '=+>，
故
()
m x 在
()0,+∞上单调递增．
又因为()110m be =-<，且2
2
1111ln ln 1ln 10
m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
所以
()0
m x =在
()0,+∞上有唯一解，从而()0h x '=在()0,+∞上有唯一解．
不妨设为
x ，则
01
1ln
x b <<．
当
()
00,x x ∈时，
()()()
00m x m x h x x x '=
<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当
()
0,x x ∈+∞时，
()()()00m x m x h x x x '=
>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增．
故
x 是
()
h x 的唯一极值点．
令
()ln 1
t x x x =-+，则当1x >时，
()1
10t x x '=
-<，所以()t x 在()1,+∞上单调递减，
从而当1x >时，
()()10
t x t <=，即ln 1x x <-，
所以1
ln 111ln ln 1ln ln b h b e b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 1ln ln ln 0
t b b b ⎛⎫⎛⎫
=--=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
又因为
()()010h x h <=，所以
()
h x 在
()0,x +∞上有唯一零点．
又因为()
h x 在
()00,x 上有唯一零点，为1，
所以
()
h x 在
()0,+∞上恰好有2个零点．
另解：∵0
2011x x e e b =>>，∴0111x b <<+
，再证明1
1111ln 10b h e b b +⎛⎫⎛⎫+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
22．【答案】（1）2
6y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2
．
【解析】（1）曲线C 的参数方程为22
1,14,
x t t y t t ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数），
将①式两边平方，得
22212x t t =+
+③，
③②，得26x y -=，即
2
6y x =-，
因为
112x t t t t =+
=+≥=，当且仅当
1
t t
=
，
即1t =±时取“=”，所以2
x ≥，即2x ≤-或2x ≥，
所以曲线C 的普通方程为
2
6y x =-（2x ≤-或2x ≥）． （2）把cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 得：
22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥， 则曲线C 的极坐标方程为
22
sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥ 设A ，B 的极坐标分别为1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，由226sin cos 6πθρθρθ⎧
=
⎪⎨⎪=-⎩
得
22
sin
cos 6
6
6
π
π
ρρ=-，即
2
32240ρρ--=
，且
3ρ≥
因为44324473∆=+⨯⨯=⨯
，∴
13ρ=
或13ρ+=
，
满足
ρ≥
，不妨设1ρ=
，2ρ=
所以
12AB ρρ=-=
注：没考虑
ρ≥
要酌情扣分
23．【解析】（1）()12,,411111
,,
44244
12,4x x f x x x x x x ⎧
-≤-⎪⎪
⎪=-++=-<<⎨⎪⎪
≥⎪⎩
所以不等式的解集为
[]
1,1M =-．
（2
）要证a b ≥-
，只需证a b
≥-，
即证
()2
41ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b -≥-+，即22
42a ab b ≥++，
即证()
2
4a b ≥+，只需证
2a b
≥+
因为a ，b M ∈，所以2
a b +≤，
所以所证不等式成立．。