湖北省百所重点中学高三数学联合考试(扫描版) 理

备注：湖北省百所重点中学2011届高三联合考试时间：2010年10月4日、5日。

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湖北省100所重点中学2011届高三联合考试
理科数学试卷参考答案
1．A 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.B 10.D
11．{x |x ＜0} 12.24 13.6 (3,56)
14．1C 0n ＋ 3C 1n ＋…＋(2n ＋1)C n n ＝(n ＋1)×2n 15.③④
提示：
1．A 可得y －2＝2－x ，则－x ＝log 2(y －2)，那么x ＝－log 2(y －2)．
又知y >2，那么函数y ＝12x ＋2的反函数是y ＝－log 2(x －2)(x >2)． 2．C 可知a n ＝n 2－2n ，由n 2－2n ＝15，解出n ＝5或n ＝－3(舍去)．
3．B 由lg m <1可得0<m <10.又由m ∈{1,2}，可推出0<m <10；
反之由0<m <10，推不出m ∈{1,2}．可知选B.
4．A 若a 1<0，则B 、D 错误；q ＝1时，则S n ＋1＝(n ＋1)a 1≠S n ＝na 1，则C 错误； 而|a n ＋1|＝|a n |·|q |<|a n |，故A 正确．
5．D f ′(x )＝ln x ＋x ×1x
－1＝ln x ，当x ∈(0,1)时f ′(x )<0，则f (x )在(0,1)上递减． 6．C 可得b 2＝ac,2(1－b )＝a ＋c ，那么a 、c 是方程x 2－2(1－b )x ＋b 2＝0的根，
则Δ＝4(1－b )2－4b 2≥0，解得b ≤12.又b ≠0，则b 的取值范围为b ≤12
且b ≠0. 7．B f (x )＝13x 3－(ln 2＋ln e x 2＋1)＝13
x 3－x 2－1－ln 2，那么f ′(x )＝x 2－2x ，则当x >2或x <0时f ′(x )>0，当0<x <2时f ′(x )<0，则x ＝0是f (x )的极大值点，f (0)＝－1－ln 2.
8．C 由题意，a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，…，构成以12为首项，以12
为公比的等比数列，这是一个新的无穷递减等比数列，和的极限为121－12
＝24. (另法：q 3＝12，a 1＝121＋q ＋q 2，∴原式＝a 11－q ＝121－q 3
＝24.) 9．B 前面9行共用去1＋3＋5＋…＋(2×9－1)＝81个数，
则A (10,8)表示的是数列{a n }的第89个数，即为2×(13
)89. 10．D 不妨设x 1<x 2，画y ＝3－x 与y ＝|ln x |的图象知x 1<1<x 2，则3－x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1,3
－x 2＝|ln x 2|＝ln x 2，那么ln x 1＋ln x 2＝ln(x 1x 2)＝3－x 2－3－x 1<0，则0<x 1x 2<1.
11．{x |x <0} 可得e x －e 2x >0，则e x ＞e 2x ，x ＞2x ，x ＜0.
12. 24 因S 3＝3a 2，得a 2＝1，S 5＝5a 3，得a 3＝2，则a 4＝3，S 7＝7a 4，则a 4＋S 7＝8a 4＝24.
13．6 (3,56) 易知Q (3＋m,8＋2m ＋48)，则由题意可得23＋m ＝8＋2m ＋48，解得m ＝3，
那么点Q 的横坐标为6，PQ →的坐标是(3,56)．
14．1C 0n ＋3C 1n ＋…＋(2n ＋1)C n n ＝(n ＋1)×2n 观察可得．
15．③④ 易知①不符合要求；对于②，g (x )＝2(x ＋a )3－2x 3，
那么g ′(x )＝6(x ＋a )2－6x 2＝12ax ＋6a 2，
g ′(x )≥0不恒成立，那么g (x )在R 上不是增函数；
对于③，g (x )＝3x ＋a －3x ＝(3a －1)3x ，为增函数；
对于④，g (x )＝2ax ＋a 2＋sin(x ＋a )－sin x ，可得g ′(x )＝2a ＋cos(x ＋a )－cos x ， 设t (a )＝2a ＋cos(x ＋a )－cos x ，则可得t ′(a )＝2－sin(x ＋a )≥1，
则t (a )为增函数，而a >0，那么t (a )>t (0)＝0，
即g ′(x )>0，则g (x )在R 上是增函数．所以能作为函数f (x )的序号为③④.
16．解：(1)∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}，
当a ＝0时，B 为空集，不合题意；1分
当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，应满足⎩
⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥4⇒43≤a ≤2；4分 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧
3a ≤2，a ≥4⇒a ∈Ø.7分 ∴A ⊆B 时，43
≤a ≤2.8分 (2)要满足A ∩B ＝{x |3＜x <4}，显然a >0且a ＝3时成立．
∵此时B ＝{x |3<x <9}，而A ∩B ＝{x |3<x <4}，故所求a 的值为3.12分
17．解：(1)a n ＝n n ＋2，则a 1＝13，a 3＝35，a k ＝k k ＋2
，由已知得2×35＝13＋k k ＋2，解得k ＝13.6分
(2)a 1＝11＋a ，a 3＝33＋a ，a 15＝1515＋a ，则可得9(a ＋3)2≤15(a ＋1)(a ＋15)
，即a 2－9a ≥0. 又a ∈R ＋，则a ≥9.12分
18．解：(1)当0＜x ≤10时，y ＝x (83－13x 2)－100－2x ＝－13
x 3＋81x －100； 当x ＞10时，y ＝x (520x －1331x 3)－2x －100＝－2x －1331x 2＋420. ∴y ＝⎩⎨⎧
－13x 3＋81x －100，0＜x ≤10，x ∈N ，－2x －1331x 2＋420，x ＞10，x ∈N .5分 (2)设函数y ＝h (t )＝⎩⎨⎧ －13
t 3＋81t －100，0＜t ≤10，－2t －1331t 2＋420，t ＞10. ①当0＜t ≤10时，y ′＝81－t 2，令y ′＝0，得t ＝9.
当t ∈(0,9)时，y ′＞0；当t ∈(9,10)时，y ′＜0.
∴当t ＝9时，y max ＝386；8分②当t ＞10时，y ′＝2×1331t 3
－2，令y ′＝0，得t ＝11. 当t ∈(10,11)时，y ′＞0；当t ∈(11，＋∞)时，y ′＜0.
∴当t ＝11时，y max ＝387.
∵x ∈N *，∴综合①②知：当x ＝11时，y 取最大值．
故要使当天的利润最大，当天应生产11件零件.12分
19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得a 24＝a 2·
a 8，则(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， 化简为d 2＝a 1d ，可得d ＝0且a 1≠0，或a 1＝d ≠0.2分
若d ＝0且a 1≠0，则a n ＝a 1，则S n ＝2a 1(2n －1)，
由2n ＋1(a n －2)＝S n －4，则a 1＝2n ＋1－2，不为常数，则这种情况不可能， 则公差d 与首项a 1的关系为a 1＝d ≠0.5分
(2)S n ＝2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n a n ，
则可得2S n ＝22a 1＋23a 2＋…＋2n a n －1＋2n ＋1a n ，
两式相减得 －S n ＝2a 1＋22d ＋23d ＋…＋2n d －2n ＋1a n ，8分
即2n ＋1a n －S n ＝d (2＋22＋…＋2n )＝2d (2n －1)，
而已知2n ＋1(a n －2)＝S n －4可化为2n ＋1a n －S n ＝4(2n －1)，
对比以上两式知d ＝2，则a 1＝d ＝2，∴通项为a n ＝2n .10分
则S n ＝2n ＋1(a n －2)＋4＝2n ＋1(2n －2)＋4＝4＋(n －1)2n ＋2.12分
20．解：(1)当λ1＝1，λ2＝0时，
f ′(x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1且x 1、x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，
由x 1<1<x 2<2且a >0得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b <0，4a ＋2b －1>0， 所以f ′(－1)＝a －b ＋2＝－3(a ＋b )＋(4a ＋2b －1)＋3 > 3.(也可用线性规划求解)4分
(2)①当λ1＝0，λ2＝1时，f (x )＝3x x ，所以y ＝3x x －3(ln 3＋1)x ，
y ′＝3x (ln 3)·x ＋3x －3(ln 3＋1)，容易知道y ′是单调增函数，
且x ＝1是y ′＝0的一个根，也是唯一的根．
当x >1时，y ′>0；当x <1时，y ′<0.
故当x ＝1时，函数y ＝f (x )－3(ln 3＋1)x 有最小值为－3ln 3.8分
②由①知3x x ≥3(ln 3＋1)x －3ln 3，
当x 分别取a 、b 、c 时有：
3a a ≥3(ln 3＋1)a －3ln 3；3b b ≥3(ln 3＋1)b －3ln 3；3c c ≥3(ln 3＋1)c －3ln 3.
三式相加即得证.13分
21．解：(1)由已知得a 3＝2a 2－a 1＝2×2－1＝3，a 4＝a 23a 2＝322＝92， a 5＝2a 4－a 3＝2×92－3＝6，a 6＝a 25a 4＝6292
＝8. ∴a 3a 1＝3，a 5a 3＝2，a 4a 2＝94，a 6a 4＝169
.4分 (2)∵a 2n －1 , a 2n , a 2n ＋1成等差数列，∴a 2n ＋1＝2a 2n －a 2n －1，n ＝1,2,3，….
∵a 2n , a 2n ＋1 , a 2n ＋2成等比数列，∴a 2n ＋2＝a 22n ＋1a 2n
，n ＝1,2,3，…. 又a 3a 1＝31，a 5a 3＝42，a 7a 5＝53，…；a 4a 2＝94，a 6a 4＝169，a 8a 6＝2516
，…， ∴猜想a 2n ＋1a 2n －1＝n ＋2n ，a 2n ＋2a 2n ＝(n ＋2n ＋1
)2，n ∈N *.5分 以下用数学归纳法证明之：
①当n ＝1时，a 2×1＋1a 2×1－1＝a 3a 1＝31＝1＋21，a 2×1＋2a 2×1＝a 4a 2＝94＝(1＋21＋1
)2，猜想成立． ②假设n ＝k (k ≥1)时，猜想成立，即a 2k ＋1a 2k －1＝k ＋2k ，a 2k ＋2a 2k ＝(k ＋2k ＋1
)2， 那么a 2k ＋3a 2k ＋1＝2a 2k ＋2－a 2k ＋1a 2k ＋1＝2×a 22k ＋1a 2k －a 2k ＋1a 2k ＋1＝2a 2k ＋1a 2k －1＝2a 2k ＋1a 2k －1＋a 2k ＋12
－1 ＝4×a 2k ＋1a 2k －11＋a 2k ＋1a 2k －1
－1＝4×k ＋2k 1＋k ＋2k －1＝2(k ＋2)k ＋1－1＝(k ＋1)＋2k ＋1， a 2k ＋4a 2k ＋2＝a 22k ＋3
a 2k ＋2a 2k ＋2＝(a 2k ＋3a 2k ＋2)2＝(2a 2k ＋2－a 2k ＋1a 2k ＋2)2＝(2a 2k ＋2－a 2k a 2k ＋2a 2k ＋2
)2 ＝(2a 2k ＋2a 2k －1a 2k ＋2a 2k )2＝(2×k ＋2k ＋1－1k ＋2k ＋1)2＝[(k ＋1)＋2(k ＋1)＋1]2. ∴n ＝k ＋1时，猜想也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n ∈N *，猜想成立.8分
∴a 2n －1＝a 1×a 3a 1×a 5a 3×a 7a 5×…×a 2n －3a 2n －5×a 2n －1a 2n －3＝1×31×42×53×…×n n －2×n ＋1n －1
＝n (n ＋1)2，
a 2n ＝a 2×a 4a 2×a 6a 4×a 8a 6×…×a 2n a 2n －2
＝2×(32)2×(43)2×(54)2×…×(n ＋1n )2＝(n ＋1)22. ∴a n ＝⎩⎨⎧ (n ＋1)(
n ＋3)8(n 为奇数)，(n ＋2)28(n 为偶数).10分
(3)由(2)得1a n
＝⎩⎨⎧ 8(n ＋1)(n ＋3)， n 为奇数，8(n ＋2)2，n 为偶数，显然S 1＝1a 1＝1<43＝4×11＋2
.11分 当n 为偶数时，
S n ＝8[12×4＋142＋14×6＋162＋16×8＋182＋…＋1n ×(n ＋2)＋1(n ＋2)2]<8[(12×4＋12×4)＋(14×6
＋14×6)＋(16×8＋16×8)＋…＋(1n ×(n ＋2)＋1n ×(n ＋2)
)]＝8[(12－14)＋(14－16)＋(16－18)＋…＋(1n －1n ＋2
)]＝8(12－1n ＋2)＝4n n ＋2；13分 当n 为奇数(n ≥3)时，
S n ＝S n －1＋1a n <4(n －1)(n －1)＋2＋8(n ＋1)(n ＋3)＝4n n ＋2＋4[n －1n ＋1＋2(n ＋1)(n ＋3)－n n ＋2]＝4n n ＋2
－8(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)<4n n ＋2
. 综上所述，S n <4n n ＋2
，n ∈N *.14分。