2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程课件文

3．设直线方程的常用技巧 (1)已知直线纵截距 b 时，常设其方程为 y＝kx＋b 或 y ＝b. (2)已知直线横截距 a 时，常设其方程为 x＝my＋a. (3)已知直线过点(x0，y0)，且 k 存在时，常设 y－y0＝k(x －x0)．
冲关针对训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.
(2)已知直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距
相等，则 a 的值是( )
A．1
B．－1
C．－2 或－1 D．－2 或 1
解析 当 a＝0 时，直线方程为 y－2＝0，不满足题意， 所以 a≠0，所以在 x 轴上的截距为2＋a a，在 y 轴上的截距 为 2＋a，则由 2＋a＝2＋a a，得 a＝－2 或 a＝1.故选 D.
(2)(必修 A2P95T3)倾斜角为 150°，在 y 轴上的截距为－3 的直线方程为__y_＝__－__3_3_x_－__3__．
解析 由直线的倾斜角为 150°，知该直线的斜率为 k ＝tan150°＝－ 33，依据直线的斜截式方程 y＝kx＋b，得 y ＝－ 33x－3.
3．小题热身 (1)(2017·贵州模拟)已知直线 l 经过点 P(－2,5)，且斜率 为－34，则直线 l 的方程为( ) A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 解析 由点斜式方程知直线 l 的方程为 y－5＝－34(x＋ 2)，即 3x＋4y－14＝0.故选 A.
题型 2 直线方程的求法 典例 求适合下列条件的直线的方程： (1)在 y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35； (2)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)经过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y＝3x 的倾斜 角的 2 倍．
根据已知条件代入相应公式，分别为斜 截式、截距式、点斜式．
2．先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后 求定点与端点决定的斜率，见典例．
冲关针对训练 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(－1,1)和 Q(2，2)， 若直线 l：x＋my＋m＝0 与线段 PQ 有交点，则实数 m 的取
值范围是__－__23_≤__m_≤__12___．
解析 如图所示，直线 l：x＋my＋m＝0 过定点 A(0，－1)， 当 m≠0 时，kQA＝32，kPA＝－2，kl＝－m1 ，∴－m1 ≤－2 或 －m1 ≥32，解得 0<m≤12或－23≤m<0； 当 m＝0 时，直线 l 的方程为 x＝0，与线段 PQ 有交点． ∴实数 m 的取值范围为－23≤m≤12.
(3)设直线 y＝3x 的倾斜角为 α，则所求直线的倾斜角为 2α.
∵tanα＝3，∴tan2α＝1－2tatannα2α＝－34. 又直线经过点 A(－1，－3)， 因此所求直线方程为 y＋3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0.
方法技巧 给定条件求直线方程的思路
1．在求直线方程时，首先应根据题意选择适当的直线 方程的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)根据题意，直线斜率存在，设为 k，且 k<0，故直线
方程为 y－1＝k(x－2)．
∴A2k－k 1，0，B(0,1－2k)(k<0)， ∴截距之和为2k－k 1＋1－2k
＝3－2k－1k≥3＋2 －2k·－1k＝3＋2 2.
此时－2k＝－1k⇒k＝－
2 2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．直线方程的五种形式
名称 已知条件
方程
适用范围
点斜 式
斜率 k 与点(x1， y1)
y－y1＝k(x－x1) 不含直线 x＝x1
斜截 斜率 k 与直线在 式 y 轴上的截距 b
y＝kx＋b
不含垂直于 x 轴 的直线
名称 已知条件
方程
适用范围
两点 式
两点(x1，y1)，(x2， y2)
y－y1 y2－y1
0(A2＋B2≠0) 适用
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)直线的斜率为 tanα，则其倾斜角为 α.( × ) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × ) (3)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0) 表示．( × ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线 都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )
＝
x－x1 x2－x1
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线 x＝ x1(x1＝x2)和直 线 y＝y1(y1＝y2)
直线在 x 轴、y 截距
轴上的截距分别 式
为 a，b
ax＋by＝1(a≠0，
不含垂直于坐 标轴和过原点
b≠0)
的直线
名称 已知条件
方程
适用范围
平面直角坐标
一般式
—
Ax ＋ By ＋ C ＝ 系内的直线都
解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜 式．设倾斜角为 α，则 sinα＝ 1100(0≤α<π)，
从而 cosα＝±3 1010，则 k＝tanα＝±13， 故所求直线方程为 y＝±13(x＋4)， 即 x＋3y＋4＝0 或 x－3y＋4＝0.
(2)当斜率不存在时，所求直线方程为 x－5＝0，满足题 意．
故截距之和最小值为 3＋2 2，此时 l 的方程为 y－1＝
－ 22(x－2)，即 x＋ 2y－2－ 2＝0.
[结论探究] 若本典例条件不变，求|PA|·|PB|的最小值及 此时直线 l 的方程．
解 ∵A2k－k 1，0，B(0,1－2k)(k<0)， ∴|PA|·|PB|＝ k12＋1· 4k2＋4＝2－1k＋－k≥4，当且 仅当 k＝－1 时等号成立． 故|PA|·|PB|最小值为 4，此时，直线 l 的方程为 x＋y－3 ＝0.
典例 (2017·泰安模拟)已知直线 l1：ax－2y＝2a－4， l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当 0<a<2 时，直线 l1，l2 与两坐标轴
1 围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a＝___2____.
l1，l2 分别化为 y－2＝a2(x－2)，y－2＝－a22(x －2)，l1，l2 恒过定点 P(2,2)．
当斜率存在时，设其为 k， 则所求直线方程为 y－10＝k(x－5)， 即 kx－y＋(10－5k)＝0. 由点线距离公式，得|10k－2＋5k1|＝5，解得 k＝34， 故所求直线方程为 3x－4y＋25＝0. 综上知，所求直线方程为 x－5＝0 或 3x－4y＋25＝0.
题型 3 直线方程的综合应用 角度 1 由直线方程求参数问题
冲关针对训练 已知直线 l 过点 M(1,1)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线 l 的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2 取得最小值时，直线 l 的方程．
解 (1)设 A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)． 设直线 l 的方程为ax＋by＝1，则1a＋1b＝1， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋ 2 ab·ba＝4， 当且仅当“a＝b＝2”时取等号，此时直线 l 的方程为 x＋y－2＝0.
2．教材衍化 (1)(必修 A2P109A 组 T2)如果 A·C<0，且 B·C<0，那么直 线 Ax＋By＋C＝0 不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析 由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的截距－ CA>0，在 y 轴上的截距－CB>0，故直线经过一、二、四象限， 不经过第三象限．故选 C.
1．由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜 率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数 y＝tanx 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，直线倾 斜角的范围是[0，π)，正切函数在[0，π)上并不是单调的．因 此在求解过程中要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函 数图象可以看出，当 α∈0，2π时，斜率 k∈[0，＋∞)；当 α ＝π2时，斜率不存在；当 α∈π2，π时，斜率 k∈(－∞，0)．
解 (1)设直线的倾斜角为 α，则 sinα＝35. ∴cosα＝±45，直线的斜率 k＝tanα＝±34. 又直线在 y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为 y＝±34x－5. 即 3x－4y－20＝0 或 3x＋4y＋20＝0.
(2)设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a＝0， 即 l 过点(0,0)和(3,2)． ∴l 的方程为 y＝23x，即 2x－3y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1. ∵l 过点 P(3,2)，∴3a＋2a＝1. ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0. 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
第8章 平面解析几何
8．1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
基础知识过关
[知识梳理] 1．直线的斜率 (1)当 α≠90°时，tanα 表示直线 l 的斜率，用 k 表示， 即 k＝tanα .当 α＝90°时，直线 l 的斜率 k 不存在． (2)斜率公式 给定两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过 P1，P2 两点的直线的斜率公式为 k＝yx22－ －yx11 .
2．求直线方程常用的两种方法： (1)直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如 典例(1)、(3)求直线方程，则直接利用斜截式即可．
(2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条 件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时 要注意分类讨论．如典例(2)中不要忽略过原点的情况，否 则会造成漏解．
本题采用基本不等式法求最值．
解 (1)设所求直线 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则2a ＋1b＝1.
又∵2a＋1b≥2 a2b⇒12ab≥4，当且仅当2a＝1b＝12，即 a ＝4，b＝2 时，△AOB 面积 S＝12ab 有最小值为 4.
此时，直线 l 的方程是4x＋2y＝1，即 x＋2y－4＝0.
[条件探究] 若将典例中点 P(1,0)改为点 P(－1,0)，其
他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围． 解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)，
∴kAP＝2－1－－01＝13，kBP＝0－3－－01＝ 3.如图可知，直
线 l 斜率的取值范围为13，

3.
方法技巧 求直线倾斜角与斜率问题的求解策略
方法技巧 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
1．求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程， 建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调 性解决．见角度 1 典例．
2．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适 合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．见 角度 2 典例．
解析 由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 的
纵截距为 2－a，直线 l2的横截距为 a2＋2，所以四边形 OMPN
的面积
S
＝
1 2
×2×(2
－
a)
＋
1 2
×2×(a2
＋
2)
＝
a2
－
a
＋
4
＝
a－122＋145，当 a＝12时，面积最小．
角度 2 与直线方程有关的最值问题(多维探究) 典例 过点 P(2,1)作直线 l，与 x 轴和 y 轴的正半轴 分别交于 A，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线 l 的方程； (2)求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直 线 l 的方程．
经典题型冲关
题型 1 直线的倾斜角与斜率 典例 直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3) 为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为 __(－__∞__，__－___3_]_∪__[_1_，__＋__∞__) _．
数形结合．由斜率公式求得 kPA、kPB.
解析 如图，∵kAP＝12－ －01＝1, kBP＝ 03－－10＝－ 3，∴k ∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．