七年级上册期末数学竞赛考试

七年级上册期末数学竞赛考试
一、选择题
1．如果一个角的补角是130°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．90°
2．下列方程中，以32x =-为解的是（ ） A ．33x x =+
B ．33x x =+
C ．23x =
D ．3-3x x = 3．若关于x 的方程234k x -=与20x -=的解相同，则k 的值为（ ）
A ．10-
B ．10
C ．5-
D ．5 4．下列四个式子：9，327-，3-，(3)--，化简后结果为3-的是（ ） A ．9 B ．327- C ．3- D ．(3)--
5．下列因式分解正确的是()
A ．21(1)(1)x x x +=+-
B ．()am an a m n +=-
C ．2244(2)m m m +-=-
D ．22(2)(1)a a a a --=-+ 6．已知线段AB=8cm ，点C 是直线AB 上一点，BC ＝2cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（ ）
A ．6cm
B ．3cm
C ．3cm 或6cm
D ．4cm
7．下列式子中，是一元一次方程的是（ ）
A ．3x+1=4x
B ．x+2＞1
C ．x 2－9=0
D ．2x －3y=0
8．方程312x -=的解是（ ）
A ．1x =
B ．1x =-
C ．1
3x =- D ．13
x = 9．不等式x ﹣2＞0在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，
OA ⊥OC ，OB ⊥OD ，①∠AOB=∠COD ；②∠BOC+∠AOD=180°；③∠AOB+∠COD=90°；④图中小于平角的角有6个；其中正确的结论有几个（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．已知x=2是方程（a ＋1）x －4a ＝0的解，则a 的值是 _______．
129________
13．定义-种新运算:22a b b ab ⊕=-,如21222120⊕=-⨯⨯=，则
(1)2-⊕=__________．
14．若关于x 的方程2x 3a 4+=的解为最大负整数，则a 的值为______．
15．把（a ﹣b ）看作一个整体，合并同类项：3()4()2()-+---a b a b a b ＝_____．
16．如图，已知O 为直线AB 上一点，OC 平分∠AOD ，∠BOD ＝4∠DOE ，∠COE ＝α，则∠BOE 的度数为___________.(用含α的式子表示)
17．数字9 600 000用科学记数法表示为 ．
18．某校全体同学的综合素质评价的等级统计如图所示,其中评价为C 等级所在扇形的圆心角是____度.
19．一个水库的水位变化情况记录：如果把水位上升5cm 记作+5cm ，那么水位下降3cm 时水位变化记作_____．
20．小何买了5本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a 元，圆珠笔的单价为b 元，则小何共花费_____元（用含a ，b 的代数式表示）．
三、解答题
21．定义新运算“@”与“⊕”：@2a b a b +=
,2a b a b -⊕= (1)计算()()()3@221---⊕-的值；
(2)若()()()()()3@23,@329A b a a b B a b a b =-+⊕-=-+-⊕--，比较A 和B 的大小
22．计算：﹣6÷2+11()34
-×12+（﹣3）2．
23．计算: ()1()20230---+
()2()()2242314-÷--⨯-+
24．如图1，点O 为直线AB 上一点，过O 点作射线OC ，使50AOC ∠=︒，将一直角三角板的直角项点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方.
()1如图2,将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转，使边OM 在BOC ∠的内部，且OM 恰好平分BOC ∠.此时BON ∠=__ 度;
()2如图3,继续将图2中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转，使得ON 在AOC ∠的内部.试探究AOM ∠与NOC ∠之间满足什么等量关系，并说明理由;
()3将图1中的三角板绕点O 按每秒5︒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t 秒时，,,OA OC ON 三条射线恰好构成相等的角，则t 的值为__ (直接写出结果).
25．解方程(组)：
(1)2512432x y x y -=⎧⎨+=-⎩
(2)12233
x x x --=--. 26．先化简，再求值：已知2（3xy ﹣x 2）﹣3（xy ﹣2x 2）﹣xy ，其中x ，y 满足
|x+2|+（y ﹣3）2=0．
27．如图，以点O 为端点按顺时针方向依次作射线OA 、OB 、OC 、OD .
（1）若∠AOC 、∠BOD 都是直角，∠BOC ＝60°，求∠AOB 和∠DOC 的度数.
（2）若∠BOD ＝100°，∠AOC ＝110°，且∠AOD ＝∠BOC +70°，求∠COD 的度数. （3）若∠AOC ＝∠BOD ＝α，当α为多少度时，∠AOD 和∠BOC 互余？并说明理由.
28．先化简，再求值：﹣3（a 2﹣2b ）+5（3b +a 2），其中a ＝﹣2，13b =-
． 29．如图，已知点C 为AB 上的一点，12AC =，23
CB AC =，点D 是AC 的中点，点E 是AB 的中点，求DE 的长
30．已知:四点A B C D 、、、的位置如图所示，根据下列语句，画出图形.
()1画直线AD 、直线,BC 画射线AB ；
()2画一点O ，使点O 既在直线AD 上又在直线,BC 上；
()3在上面所作的图形中，以A B C D O 、、、、为端点的线段共有 条.
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用互补的定义得出这个角的度数，进而利用互余的定义得出答案．
【详解】
解：∵一个角的补角是130︒，
∴这个角为：50︒，
∴这个角的余角的度数是：40︒．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了余角和补角，正确把握相关定义是解题关键．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
把
3
2
x=-代入方程，只要是方程的左右两边相等就是方程的解，否则就不是．
【详解】解：
A中、把
3
2
x=-代入方程得左边等于右边，故A对；
B中、把
3
2
x=-代入方程得左边不等于右边，故B错；
C中、把
3
2
x=-代入方程得左边不等于右边，故C错；
D中、把
3
2
x=-代入方程得左边不等于右边，故D错.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查方程的解的知识，解题关键在于把x值分别代入方程进行验证即可.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据同解方程的定义，先求出x-2=0的解，再将它的解代入方程2k-3x=4，求得k的值．【详解】
解：∵方程2k-3x=4与x-2=0的解相同，
∴x=2，
把x=2代入方程2k-3x=4，得2k-6=4，解得k=5．
故选：D．
【点睛】
本题考查了同解方程的概念和方程的解法，关键是根据同解方程的定义，先求出x-2=0的解．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
由题意直接利用求平方根和立方根以及绝对值的性质和去括号分别化简得出答案．
【详解】
解：，故排除A;
=3-，选项B正确；
C. 3-=3，故排除C;
D. (3)--=3，故排除D.
故选B.
【点睛】
本题主要考查求平方根和立方根以及绝对值的性质和去括号原则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
分别利用公式法以及提取公因式法对各选项分解因式得出答案．
【详解】
解：A 、21x +无法分解因式，故此选项错误；
B 、()am an a m n +=+，故此选项错误；
C 、244m m +-无法分解因式，故此选项错误；
D 、22(2)(1)a a a a --=-+，正确；
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据线段的和与差，可得MB 的长，根据线段中点的定义，即可得出答案．
【详解】
当点C 在AB 的延长线上时，如图1，则MB=MC-BC ，
∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，AB=8cm ，
∴MC=11()22
AC AB BC =+，BN=12BC ， ∴MN=MB+BN ，
=MC-BC+BN ，
=
1()2AB BC +-BC+12BC ， =12
AB ， =4，
同理，当点C 在线段AB 上时，如图2，
则MN=MC+NC=1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
AB=4，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段的和与差，线段中点的定义，掌握线段中点的定义是解题的关键．
7．A
解析：A
【解析】A. 3x+1=4x是一元一次方程，故本选项正确；
B. x+2>1是一元一次不等式，故本选项错误；
C. x2−9=0是一元二次方程，故本选项错误；
D. 2x−3y=0是二元一次方程，故本选项错误。

故选A.
8．A
解析：A
【解析】
试题分析：将原方程移项合并同类项得：3x=3，解得：x=1．
故选A．
考点：解一元一次方程．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
【详解】
移项得，x＞2，
在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】
本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式的解集，解答此类题目的关键是熟知实心圆点与空心圆点的区别．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据垂直的定义和同角的余角相等分别计算后对各小题进行判断，由此即可求解．
【详解】
∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠COD，故①正确；
∠BOC+∠AOD=90°﹣∠AOB+90°+∠AOB=180°，故②正确；
∠AOB+∠COD不一定等于90°，故③错误；
图中小于平角的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD一共6个，故④正确；
综上所述，说法正确的是①②④．
故选C．
【点睛】
本题考查了余角和补角，垂直的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
二、填空题
11．1
【解析】
【分析】
把x=2代入转换成含有a的一元一次方程，求解即可得
【详解】
由题意可知2×（a+1）−4a=0
∴2a+2−4a=0
∴2a=2
∴a=1
故本题答案应为：1
【点睛】
解
解析：1
【解析】
【分析】
把x=2代入转换成含有a的一元一次方程，求解即可得
【详解】
由题意可知2×（a+1）−4a=0
∴2a+2−4a=0
∴2a=2
∴a=1
故本题答案应为：1
【点睛】
解一元一次方程是本题的考点，熟练掌握其解法是解题的关键
12．【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴的算术平方根是；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握定义进行解题．
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义，即可得到答案．
【详解】
，
3
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握定义进行解题．
13．8
【解析】
【分析】
根据题意原式利用题中的新定义计算将-1和2代入计算即可得到结果．【详解】
解：因为；
所以
故填8.
【点睛】
本题结合新定义运算考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解
解析：8
【解析】
【分析】
根据题意原式利用题中的新定义计算将-1和2代入计算即可得到结果．
【详解】
解：因为22a b b ab ⊕=-；
所以2(1)222(1)28.-⊕=-⨯-⨯=
故填8.
【点睛】
本题结合新定义运算考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．2
【解析】
【分析】
求出最大负整数解，再把x=-1代入方程，即可求出答案．
【详解】
解：最大负整数为，
把代入方程得：，
解得：，
故答案为2．
【点睛】
本题考查有理数和一元一次方程的解，能
解析：2
【解析】
【分析】
求出最大负整数解，再把x=-1代入方程，即可求出答案．
【详解】
解：最大负整数为1-，
把x 1=-代入方程2x 3a 4+=得：23a 4-+=，
解得：a 2=，
故答案为2．
【点睛】
本题考查有理数和一元一次方程的解，能得出关于a 的一元一次方程是解此题的关键．
15．【解析】
【分析】
根据合并同类项，系数相加，字母及指数不变，可得答案．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查合并同类项，熟记合并同类项的法则是解题的关键．
解析：5()-a b
【解析】
【分析】
根据合并同类项，系数相加，字母及指数不变，可得答案．
【详解】
解：3()4()2()(342)()5()-+---=+--=-a b a b a b a b a b ，
故答案为：5()-a b ．
【点睛】
本题考查合并同类项，熟记合并同类项的法则是解题的关键．
16．270°－3α
【解析】
【分析】
设∠DOE=x，根据OC 平分∠AOD，∠COE＝α，可得∠COD=α-x ，由∠BOD＝4∠DOE，可得∠BOD=4x，由平角∠AOB=180°列出关于x 的一次方程 解析：270°－3α
【解析】
【分析】
设∠DOE=x ，根据OC 平分∠AOD ，∠COE ＝α，可得∠COD=α-x ，由∠BOD ＝4∠DOE ，可得∠BOD=4x ，由平角∠AOB=180°列出关于x 的一次方程式，求解即可．
【详解】
设∠DOE=x ，根据OC 平分∠AOD ，∠BOD ＝4∠DOE ，∠COE ＝α，
∴∠BOD=4x ，∠AOC=∠COD=α-x ，
由∠BOD+∠AOD=180°，
∴4x+2(α-x )=180°
解得x=90°-α，
∴∠BOE=3x=3（90°-α）=270°-3α，
故答案为：270°-3α．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平角的定义，一元一次方程的应用，掌握角平分线的定义是解题的关键．
17．6×106
【解析】
试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是
解析：6×106
试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．9 600 000一共7位，从而9 600 000=9.6×106．
18．72
【解析】
【分析】
用360度乘以C等级的百分比即可得.
【详解】
观察可知C等级所占的百分比为20%，
所以C等级所在扇形的圆心角为：360°×20%=72°，
故答案为：72.
【点睛】
解析：72
【解析】
【分析】
用360度乘以C等级的百分比即可得.
【详解】
观察可知C等级所占的百分比为20%，
所以C等级所在扇形的圆心角为：360°×20%=72°，
故答案为：72.
【点睛】
本题考查了扇形统计图，熟知扇形统计图中扇形圆心角度数的求解方法是解题的关键. 19．﹣3cm
【解析】
【分析】
首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
【详解】
解：因为上升记为+，所以下降记为﹣，所以水位下降3cm时水位变化记作﹣3c m．
故答案为：﹣3
解析：﹣3cm
【解析】
【分析】
首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
解：因为上升记为+，所以下降记为﹣，所以水位下降3cm 时水位变化记作﹣3cm ． 故答案为：﹣3cm ．
【点睛】
此题主要考查有理数的应用，解题的关键是熟知有理数的意义.
20．（5a+10b ）．
【解析】
【分析】
由题意得等量关系：小何总花费本笔记本的花费支圆珠笔的花费，再代入相应数据可得答案．
【详解】
解：小何总花费：，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了列代数
解析：（5a +10b ）．
【解析】
【分析】
由题意得等量关系：小何总花费5=本笔记本的花费10+支圆珠笔的花费，再代入相应数据可得答案．
【详解】
解：小何总花费：510a b +，
故答案为：(510)a b +．
【点睛】
此题主要考查了列代数式，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系．
三、解答题
21．（1）1；（2）A B <.
【解析】
【分析】
(1)根据题意新运算的符号进行求解；
(2)根据新运算符号分别求出A 、B 的值在进行比较大小即可.
【详解】
解：(1)根据题意得：
()()()3@221---⊕-
322122
--+=-
=1；
(2) ()()3323@233122
b a b a A b a a b b -+-=-+⊕-=+=-, ()()()392@329=
3122a b b a B a b a b b --+=-+-⊕--+=+, 3131b b +>-,
A B ∴<.
【点睛】
本题考查新运算，解题关键在于对题意得理解.
22．【解析】
【分析】
原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【详解】
解：﹣6÷2+11()34-×12+（﹣3）2
=﹣3+11121234
⨯-
⨯+（﹣3）2 ＝﹣3+4﹣3+9
＝7．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（1）12；（2）9
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的加减法则进行计算；
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减.
【详解】
解：（1）原式2023012=-++=；
（2）原式16(2)3149=-÷--⨯+=.
【点睛】
本题主要考查有理数的运算，掌握基本运算法则是解题的关键.
24．（1）25°；（2）∠AOM-∠N OC=40°，理由详见解析；（3）t 的值为13，34，49或64.
【解析】
【分析】
（1）由平角的定义先求出∠BOC 的度数，然后由角平分线的定义求出∠BOM 的度数，再根据∠BON=∠MON-∠BOM 可以求出结果；
（2）根据题意得出∠AOM+∠AON=90°①，∠AON+∠NOC=50°②，利用①-②可以得出结果；
（3）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的角度为5°t，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论，即可求出t的值.
【详解】
解：（1）∵∠AOC=50°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=130°，
∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=1
2
∠BOC=55°，
∴∠BON=90°-∠BOM=25°.
故答案为：25；
（2）∠AOM与∠NOC之间满足等量关系为：∠AOM-∠N OC=40°，
理由如下：∵∠MON=90°，∠AOC=50°，
∴∠AOM+∠AON=90°①，∠AON+∠NOC=50°②，
∴①-②得，∠AOM-∠NOC=40°.
（3）∵三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，
∴第t秒时，三角板转过的角度为5°t，
当三角板转到如图①所示时，∠AON=∠CON.
∵∠AON=90°+5°t，∠CON=∠BOC+∠BON=130°+90°-5°t=220°-5°t，∴90°+5°t=220°-5°t，
即t=13；
当三角板转到如图②所示时，∠AOC=∠CON=50°，
∵∠CON=∠BOC-∠BON=130°-（5°t-90°）=220°-5°t，
∴220°-5°t=50°，
即t=34；
当三角板转到如图③所示时，∠AON=∠CON=1
2
∠AOC=25°，
∵∠CON=∠BON-∠BOC=（5°t-90°）-130°=5°t-220°，∴5°t-220°=25°，
即t=49；
当三角板转到如图④所示时，∠AON=∠AOC=50°，
∵∠AON=5°t-180°-90°=5°t-270°，
∴5°t-270°=50°，
即t=64．
故t的值为13，34，49或64.
【点睛】
本题主要考查角的和、差关系，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．
25．(1)12x y =⎧⎨=-⎩
；(2)原方程无解. 【解析】
【分析】
（1）利用加减消元法即可解答
（2）先去分母，再移项合并同类项即可
【详解】
(1)2512432x y x y -=⎧⎨+=-⎩
①② 由2①×，得41024x y -=③
由-③②，并化简，得2y =-
把2y =-代入①，并化简，得1x =
∴12x y =⎧⎨=-⎩
(2)解：原式两边同时乘以3x -，得12(3)2x x --=-
∴3x =
经检验：3x =是增根，舍去
∴原方程无解.
【点睛】
此题考查解二元一次方程组和解分式方程，解题关键在于掌握运算法则
26．2xy+4x 2，4.
【解析】
【分析】
把所给的整式去括号后合并同类项得到最简结果，再利用非负数的性质求出x 、y 的值，代入即可求解．
【详解】
解：原式=6xy ﹣2x 2﹣3xy+6x 2﹣xy ，
=2xy+4x 2，
∵|x+2|+（y ﹣3）2=0，
∴x+2=0且y ﹣3=0，
解得：x=﹣2、y=3，
则原式=2×（﹣2）×3+4×（﹣2）2，
=﹣12+16，
=4.
【点睛】
本题考查了整式的加减﹣化简求值及非负数的性质，熟练运用整式的加减运算法则把所给的整式化为最简是解本题的关键．
27．（1）∠AOB=30°，∠DOC=30°；（2）∠COD=30°；（3）当α=45°时，∠AOD与∠BOC 互余．
【解析】
【分析】
（1）根据互余的意义，即可求出答案；
（2）设出未知数，利用题目条件，表示出∠AOB、∠BOC，进而列方程求解即可；
（3）利用角度的和与差，反推得出结论，再利用互余得出答案．
【详解】
（1）∵∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=90°﹣60°=30°，
∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°﹣60°=30°；
（2）设∠COD=x°，则∠BOC=100°﹣x°．
∵∠AOC=110°，
∴∠AOB=110°﹣(100°﹣x°)=x°+10°．
∵∠AOD=∠BOC+70°，
∴100°+10°+x°=100°﹣x°+70°，
解得：x=30，
即∠COD=30°；
（3）当α=45°时，∠AOD与∠BOC互余．理由如下：
要使∠AOD与∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC=90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=90°，
即∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠AOC=∠BOD=α，
∴∠AOC=∠BOD=45°，
即α=45°，
∴当α=45°时，∠AOD与∠BOC互余．
【点睛】
本题考查了互为余角的意义，通过图形直观得出角度的和或差，以及各个角之间的关系是得出正确答案的前提．
28．2a2+21b，1．
【解析】
【分析】
原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式＝﹣3a 2+6b +15b +5a 2＝2a 2+21b ，
当a ＝﹣2，b ＝﹣13时，原式＝8﹣7＝1． 【点睛】
本题考查的是整式的加减−−化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键. 29．4
【解析】
【分析】
根据已知条件可求出28,203
CB AC AB ===，再根据点D 是AC 的中点，点E 是AB 的中点，求出,DC AE ，由图可得出DE AE AD =-，计算求解即可．
【详解】
解：∵12AC =，23CB AC =
∴28,203
CB AC AB === ∵点D 是AC 的中点，点E 是AB 的中点
∴10,6AE AD DC ===
∴1064DE AE AD =-=-=．
【点睛】
本题考查的知识点是与线段中点有关的计算，能够根据图形找出相关线段间的数量关系是解此题的关键．
30．()1见解析；()2见解析；()37
【解析】
【分析】
（1）根据直线、射线的性质画图即可；
（2）画出直线AD 和直线BC 的交点即可得出答案；
（3）根据线段的定义分别得出各条线段即可．
【详解】
解：（1）（2）如图所示：
（3）根据图形可知线段有： AO ， AB ，AD ，BO ， BC ，CO ，OD ，共7条．
故答案为：7
此题主要考查了简单作图，解答此题需要熟练掌握直线、射线、线段的性质，认真作图解答即可．。