浙江省绍兴市上虞区高2020届高2017级高三下学期第二次教学质量调测数学试题及参考答案解析

2019学年第二学期高三第二次教学质量调测
数学试卷
参考公式：
球的表面积公式24S R π=； 球的体积公式34
3
V R π=
,其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{
}
22,A x x x R ==-∈,{1,2}B =,则A B =( )
A.{1,1,2}-
B.{1,2}
C.{1}
D.{2}
【参考答案】D 【试题解析】
首先解方程求出集合A ,再由集合的交运算即可求解.
{
}
{}22,2A x x x R ==-∈=,{1,2}B =,
所以A
B ={2}.
故参考答案：D
本题主要考查了集合的交运算,考查了考生的基本运算能力,属于基础题. 2.设x ∈R ,则“
1
1x
<”是“1x >”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【参考答案】B 【试题解析】
利用充分条件、必要条件的定义即可求解.
()111110010x x x x x x
-<⇒-<⇒<⇒->, 解得1x >或0x <, 故“
1
1x
<”推不出“1x >”,
反之“1x >”可得出“1
1x
<”, 故“
1
1x
<”是“1x >”的必要而不充分条件. 故参考答案：B
本题考查了充分条件、必要条件的定义,同时考查了分式不等式的解法,属于基础题. 3.已知等比数列{}n a 满足28a =,354441a a a =-,则3a =( ) A.2
B.2±
C.4
D.4±
【参考答案】B 【试题解析】
利用等比中项的性质将题干中的等式变形为2
444440a a -+=,求出4a 的值,与28a =联立后
可求出q 的值,进而可求出3a
设等比数列{}n a 为公比为q , 由354441a a a =-, 得2
444410a a -+=,化简得2
4(21)0a -=,
412a ∴=
,又由28a =,可得2
42
116a q a ==, 得1
4
q =±
,322a a q ∴==± 答案：B
本题考查等比数列的通项公式,考查等比中项性质的应用,以及方程思想,考查计算能力,属于基础题.
4.如图,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( )
A.3
B.123
C.24
D.36
【参考答案】A 【试题解析】
由三视图知原几何体是一个直平行六面体积,由棱柱体积公式可得.
由三视图知原几何体是一个直平行六面体积,底面就是正视图的平行四边形,高为h =3, 22213-=,面积为3333S ==,
∴体积为33393V Sh ===故参考答案：A.
本题考查三视图,考查棱柱的体积公式,解题关键是由三视图还原出原几何体,确定原几何体的结构.
5.若函数log a y x =的图象上存在点(,)x y ,满足约束条件302201x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
,则实数a 的取值范
围为( ) A.(1,2] B.[2,)+∞ C.(0,1)(1,2]
⋃
D.(0,1)
[2,)+∞
【参考答案】C 【试题解析】
画出不等式组所表示的平面区域,结合对数函数的图象与性质,列出不等式,即可求解.
由题意,画出不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域,如图所示,
可得顶点的坐标分别为118(,1),(,),(2,1)233
A B M -所围成的三角形(包含边界), ①当01a <<时,根据对数函数log a y x =的图象与性质,可得函数log a y x =的图象与可行
域一定存在公共点,所以满足题意； ②当1a >时,要使得函数log a
y x =的图象与可行域有公共点,
结合图象,
可得log 21a ≥,可得12a <≤. 综上,实数a 的取值范围是(0,1)(1,2]⋃. 故参考答案：C.
本题主要考查了简单的线性规划的应用,以及对数函数的图象与性质的应用,其中解答中画出不等式组的平面区域,结合对数函数的性质求解是解答的关键,着重考查数形结合思想,以及计算能力.
6.已知定义在R 上的函数2()2
1x m
f x -=-(m 为实数)为偶函数,记
0.5(log 3),a f =2(log 5)b f =,(2)c f m =+,则( )
A.a b c <<
B.c b a <<
C.c a b <<
D.a c b <<
【参考答案】D 【试题解析】
根据()f x 为偶函数,利用()()f x f x =-,求得m 值,借助指数函数的单调性,结合
220log 32log 5<<<,即可得解.
()f x 为偶函数,
∴()()f x f x =-,即222121x m x m ----=-,解得0m =, ∴||()21x f x =-,
当0x ≥时,()21x
f x =-,
∴()f x 在[0,)+∞上单调递增,
()()()0.522log 3log 3log 3==-=a f f f ,2(log 5)b f =,(2)c f =,
220log 32log 5<<<, ∴a c b <<.
故参考答案：D.
本题考查的是比较大小问题,涉及到的知识点包括函数的奇偶性、指数函数的单调性及对数函数的单调性,解题的关键是利用()f x 为偶函数,求出m 值,属于基础题.
7.甲箱子里装有3个白球和2个红球,乙箱子里装有2个白球和2个红球.从这两个箱子里分别摸出一个球,设摸出的白球的个数为X ,摸出的红球的个数为Y ,则( )
A.()1
12P X =>,且()()D X D Y <
B.()1
12P X =>,且()()=D X D Y
C.()1
12
P X ==,且()()D X D Y <
D.()1
12
P X ==,且()()=D X D Y
【参考答案】D 【试题解析】
X 和Y 的所有可能取值均为0,1,2,分别求出相应的概率,利用离散型随机变量的期望公式求
出()E X 和()E Y ,借助方差公式求出()D X 和()D Y ,从而得解. 由题意知,X 的所有可能取值为0,1,2,
1111322211115454641
(1)=20202C C C C P X C C C C ⋅⋅==+=+⋅⋅,
又112211
541
(0)5
C C P X C C ⋅===⋅,
113211543
(2)10
C C P X C C ⋅===⋅,
所以,X 的数学期望为11311()012521010
E X =⨯
+⨯+⨯=, X 的方差为()2
2
2
11111111349=0121051021010100
D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+-⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, Y 的所有可能取值为0,1,2,
113211543
(0)10
C C P Y C C ⋅===⋅,
1111
322211115454461
(1)20202C C C C P Y C C C C ⋅⋅==+=+=⋅⋅,
112211541
(2)5
C C P Y C C ⋅===⋅,
所以,Y 的数学期望为3119()012102510
E Y =⨯
+⨯+⨯=, Y 的方差为()2
2
2
93919149=0121010102105100D Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+-⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
, 所以()()=D X D Y ,
综上,()1
12
P X ==,且()()=D X D Y .
故参考答案：D.
本题主要考查古典概型概率的计算、离散型随机变量的数学期望和方差,考查学生对这些知识的掌握能力,熟记数学期望公式和方差公式是本题的解题关键,属于基础题.
8.双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,A O B ,
若抛物线2C 的焦点恰为AOB ∆的内心,则双曲线1C 的离心率为( )
A.
3
2
12
【参考答案】D 【试题解析】
作出圆锥曲线的大致图像,利用抛物线2
C的焦点到渐近线的距离等于到AB的距离,列方程即可求解.
作出双曲线
22
122
:1(0,0)
x y
C a b
a b
-=>>与抛物线2
2
:2(0)
C x py p
=>的大致图像,
如图：
双曲线
22
122
:1(0,0)
x y
C a b
a b
-=>>的渐近线方程为：
b
y x
a
=±,即0
bx ay
±=,
联立
22
x py
bx ay
⎧=
⎨
-=
⎩
,解得0
x=或
2pb
x
a
=,
当
2pb
x
a
=时,则
2
2
2pb
y
a
=,
所以焦点0,
2
p
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
到AB的距离为
2
2
2
2
pb p
a
-,
焦点0,
2
p
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
到渐近线0
bx ay
-=的距离为
()2
2
2
2
pa
pa
d
c
b a
-
==
+-
,
所以
2
2
2
22
pb p pa
a c
-=,整理可得
2
2
2
2
b a c
a c
+
=,
即
()
22
2
2
2
c a a c
a c
-+
=,整理可得323
450
c a c a
--=,
两边同除以3a可得3
4510
e e
--=,
()()
32
441014410
e e e e e e
---=⇒++-=,
又1e >,即24410e e +-=,解得12
e +=. 故参考答案：D
本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系,考查了考生的计算能力,属于中档题.
9.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 是棱1CC 的中点,M (非端点,B C )是棱BC 上的动点.过点,,A M E 作截面四边形交棱1DD 于N (非端点,D 1D ).设二面角N AM D --的大小为α,二面角--M AN D 的大小为β,二面角A NE D --的大小为γ,则( )
A.γβα>>
B.βγα>>
C.βαγ>>
D.γαβ>>
【参考答案】B 【试题解析】
取特殊值法,取3MC =,设MA
DC O =,直线OE 交1D D 于N ,根据三垂线定理,首先作出
三个二面角的平面角,通过计算三个二面角的平面角的正切值比较即可. 解：
不妨设正方体棱长为4,3MC =,则2CE =, 设MA
DC O =,直线OE 交1D D 于N ,
显然有OCE ODN ~,OCM ODA ~,OEM ONA ~, 所以
3,,1244
CM CO OC
OC DA OD OC ===+
, MO ==过C 作CG OM ⊥于G ,连结EG ,根据三垂线定理,则EG OM ⊥,则CGE α∠=, 在COM 中,
根据等面积法有,312CM CO OM CG CG ⋅=⋅⨯=
,
CG =
=
2tan 36CE CG α=
==
, OE ==过C 作CH OE ⊥于H ,连结MH ,根据三垂线定理,则MH OE ⊥,则CHM γ∠=, 在COE 中,
根据等面积法有
,212CE CO OE CH CH ⋅=⋅⨯=
,CG =
=
tan CM CH γ=
==213EM =, 过C 作CP ME ⊥于P ,连结OP ,根据三垂线定理,则ME OP ⊥, 因为平面11//ADD A 平面11BCC B ,则OPC β∠=,
在CME △中,
根据等面积法有,23CE CM ME CP CP ⋅=⋅⨯=
,
CP =
=
12
tan
62
CO
CP
β===
,
tan tan tan
βγα
==>=>=
βγα
>>
故参考答案：B.
已知一动点,比较三个二面角的平面角的大小,可采用取特殊值法,这样较为简单.首先根据定义找到三个二面角的平面角,通过比较某一三角函数值比较即可,中档题.
10.已知两函数()
f x和()
g x都是定义在R上的函数,且方程(())0
x f g x
-=有实数解,则(())
g f x有可能是( )
A.21
x+ B.21
x x
++ C.21
x x
--
D.2
21
x x
-+
【参考答案】C
【试题解析】
先设
x是方程()
()0
x f g x
-=的一个根,得到()
00
()
x f g x
=,[]
{}
00
()()
g x g f g x
=,再令0
()
t g x
=,得到[]()
t g f t
=,进而得到方程(())
x g f x
=有解,再逐项判断,即可得出结果.
解：设
x是方程()
()0
x f g x
-=的一个根,则()
00
()
x f g x
=,故[]
{}
00
()()
g x g f g x
=
再令0
()
t g x
=,则[]()
t g f t
=,
即方程(())
x g f x
=有解；
A选项,方程21
x x
=+可化为210
x x
-+=,30
∆=-<,故无实数解；
B选项,方程21
x x x
=++可化为210
x+=,显然无实数解；
C选项,方程21
x x x
=--可化为2210
x x
--=,80
∆=>,故有实数解；
D选项,方程21
2x x
x=-+可化为2
2210
x x
-+=,40
∆=-<,故无实数解；
故参考答案：C
本题主要考查抽象函数及其应用,函数解析式的求解及常用方法,主要用到转化与化归的思想来处理,属于基础题.
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.
11.复数()(1)z a i i =+-()a R ∈,i 是虚数单位.若2a =,则||z =_______；若13z i =-+,则
a =__________.
【参考答案】 (2).2- 【试题解析】
根据复数的乘法法则计算()(1)z a i i =+-,2a =时求复数模即可,13z i =-+时根据复数相等求a 即可.
()(1)1(1)z a i i a a i =+-=++-,
当2a =时,
3z i ∴=-,
||z ∴==,
若13z i =-+,
则1113a a +=-⎧⎨-=⎩
,
解得2a =-,
；2-
本题主要考查了复数的乘法运算,复数的模,复数的相等,考查了运算能力,属于中档题.
12.若888
018(1)(1)x x a a x a x ++-=++⋅⋅⋅+,则0a =_____；2468a a a a +++=_______.
【参考答案】 (1).2 (2).254 【试题解析】
赋值法可求解,令0x =得0a ；令1x =,1x =-联立可求得2468a a a a +++
888018(1)(1)x x a a x a x ++-=++⋅⋅⋅+,
令0x =可得：011a +=, 即02a =,
令1x =可得：8
01282a a a a =++++①, 令1x =-可得：8
01282a a a a =-+-
+②,
①+②可得：02822562()a a a ⨯=+++,
解得028256a a a ++
+=,
即2468254a a a a =+++. 故答案为：2；254
本题主要考查了二项式定理的应用,关键在于分析所给代数式的特点,通过给二项式的x 恰当赋值,求展开式的系数和,属于基础题.
13.已知函数,0
()ln ,0
x e x f x x x -⎧≤=⎨>⎩,则((0))f f =_______；设函数()()g x f x kx =-存在3个零
点,则实数k 的取值范围是_______.
【参考答案】 (1).0 (2).(,)e -∞-； 【试题解析】
根据解析式直接计算((0))f f ,函数()()g x f x kx =-存在3个零点转化为()f x kx =有3个
根,即(),y f x y kx ==有3个交点即可,求出y kx =与()x
y f x e -==相切时斜率,即可求解.
因为,0
()ln ,0x e x f x x x -⎧≤=⎨>⎩
,
((0))(1)0f f f ∴==,
函数()()g x f x kx =-存在3个零点,
∴ 方程()f x kx =存在3个根,
即y kx =与()y f x =存在3个交点,
设y kx
=与()(0)
x
f x e x
-
=≤相切于点0
(,)x
x e-,
则
()
x
x
e
k f x e
x
-
-
-
'
===-
-
,
解得01
x=-,
k e
∴=-
如图,
由图可知,当k e
<-时,y kx
=与()
y f x
=存在3个交点,
故答案为：0；(,)e
-∞-
本题主要考查了分段函数的图象与性质,导数的几何意义,函数的零点,转化思想,数形结合思想,属于中档题.
14.已知圆22
:()(1)1
C x a y a
-+-+=,直线:2
l y x
=-+与x轴交于点A.若1
a=,则直线l截圆C所得弦的长度为________；若过l上一点P作圆C的切线,切点为Q,且2
PA=,则实数a的取值范围是___________.
【参考答案】2 (2).
3333
-+
【试题解析】
根据圆的弦长公式,即可求解直线截圆C 的弦长,再结合圆的切线长公式和题设条件,得出关于x 的方程,根据二次函数的性质,即可求解.
由题意,当1a =时,圆2
2
:(1)1C x y -+=,可得圆心(1,0)C ,半径为1r =, 则圆心(1,0)C 到直线:2l y x =-+
的距离为2
d =
=
由圆的弦长公式,
可得==由圆2
2
:()(1)1C x a y a -+-+=,可得圆心(,1)C a a -,半径为1r =, 根据圆的切线长公式,设00(,)P x y ,
可得2
2
22200()(1)1PQ PC r x a y a =-=-+-+-, 过点P 作PB x ⊥轴,如图所示,
由sin PB PA PAB =∠=
,
即PA =,
又因为PA PQ ,即PB PQ =,即2
2
PB PQ =, 可得22
200()(1)1x a y y a -+-+-=,且002y x =-+,
整理得22
0022640x x a a -+-+=,
要使得过l 上一点P 作圆C
的
切线,切点为Q ,使得PA =,
则方程22
0022640x x a a -+-+=至少有一个实数根,
所以22
(2)4(264)0a a ∆=---+≥,即22630a a -+≤,
a ≤≤即实数a 的取值范围是.
, 33[
22
+.
本题主要考查了直线与圆的位置关系,以及圆的弦长公式和切线长公式的综合应用,着重考查了函数与方程思想,以及推理与运算能力.
15.为了积极稳妥疫情期间的复学工作,市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务,每个学校至少去1人,若甲、乙两人不能去同一所学校,则不同的分配方法种数为___________.
【参考答案】114
【试题解析】
先排甲乙,将最后的三人分成四种情况：(1)三人一起去第三所学校,(2)两个人去第三所学校,另一个人到前两所学校中任意一所,(3)一人到第三所学校,另两个人一起到前两所学校中的任意一所,(4)一人到第三所学校,另两人分别到前两所学校中的任意一所.再分别计算即可得到答案.
分四种情况：
(1)安排甲去一所学校共有1
3
C种方法,
安排乙到第二所学校共有1
2
C种方法,
余下三人去第三所学校共有1种方法,共有11
321=6
C C
⨯⨯种方法.
(2)安排甲去一所学校共有1
3
C种方法,
安排乙到第二所学校共有1
2
C种方法,
余下的三人中两人一起去第三所学校有2
3
C种方法,
另一个人去前两所学校中任意一所共有1
2C 种方法,
共有1121
3232=36C C C C ⨯⨯⨯种方法.
(3)安排甲去一所学校共有1
3C 种方法, 安排乙到第二所学校共有1
2C 种方法, 余下的三人中一人去第三所学校有1
3C 种方法, 另外两人一起去前两所学校中任意一所共有1
2C 种方法, 共有1111
3232=36C C C C ⨯⨯⨯种方法. (4)安排甲去一所学校共有1
3C 种方法, 安排乙到第二所学校共有1
2C 种方法, 余下的
三人中一人去第三所学校有1
3C 种方法,
另外两人分别去前两所学校中任意一所共有2
2A 种方法, 共有1
1
1
2
3232=36C C C A ⨯⨯⨯种方法.
综上共有6363636114+++=种方法. 故答案为：114
本题主要考查排列组合的综合应用,考查了学生的分类讨论的思想,属于中档题. 16.在ABC ∆中,2,3,AB AC ==2BE EC =，点O 是ABC ∆的外心,则AO AE ⋅=____. 【参考答案】
113
【试题解析】
如图所示：过O 作OM
AB ⊥于M ,ON AC ⊥于N ,1233
AE AB AC =+,代入化简得到
2211
63
AO AE AB AC ⋅==+,计算得到答案.
如图所示：过O 作OM AB ⊥于M ,ON AC ⊥于N ,则,M N 为AB ,AC 中点,
()
2212
3333
AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,
121
2333
3AO AE AO AB AC AB
AO AC AO ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+⋅ ⎪⎝⎭
221211411
3336
363AM AN AB AO AC AO AB AC AO AO =⋅⋅+⋅⋅=+=+=. 故答案为：
11
3
.
本题考查了向量的数量积,意在考查学生的计算能力和应用能力,变换12
33
AE AB AC =+是解题的关键.
17.已知ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,且222321a b c ++=,则ABC ∆的面积的最大值是___________. 【参考答案】11
44
【试题解析】
设()20a m m =>,则点(),0B m -,(),0C m ,设(),A x y ,根据题意可求出点A 在以(
,0)3
m 为圆心,214439m -,则2
max 1144()2239
ABC m S m ∆=⋅-
构造基本不等式可得结果.
如图建立坐标系,设()20a m m =>,则点(),0B m -,(),0C m ,设(),A x y ,
则由222321a b c ++=得()()22
2
2
2
3421m x m y x m y ⎡⎤⨯+-++++=⎣⎦
,
化简可得：222
144()339
m m x y -+=-,
这说明点A 在以(,0)3m 为圆心,214439
m
-
为半径的圆上(不含x 轴上两点), 于是2max
1144()2239ABC m S m ∆=⋅⋅-22
94414444939m m =⋅⋅-19113442≤⋅=,
(当且仅当2
322a =
,2
211b =,2522
c =取到等号). 本题主要利用直接法考查了动点的轨迹,考查了利用基本不等式求最值,求出A 点在圆上是解题的关键,属于难题.
三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.设函数ππ()sin()sin()62
f x x x ωω=-+-,其中03ω<<,且π
()06f =.
(Ⅰ)求ω； (Ⅱ)若[,]123
x ππ
∈-
,求函数2()()()1g x f x f x =-+的最大值.
【参考答案】(Ⅰ)2ω=；(Ⅱ)max ()43g x =【试题解析】
(Ⅰ)由两角差的正弦公式、诱导公式和辅助角公式,化简得()3)3
f x x π
ω=-
,再将
6
x π
=
代入,结合03ω<<即可解得ω的值；
(Ⅱ)利用正弦函数的性质,求得()f x 在[,]123
ππ
-上的值域,再结合二次函数的最值问题,即可求得()g x 的最大值.
(Ⅰ)ππ()sin()sin()62
f x x x ωω=-+-sin cos
cos sin
cos 6
6
x x x π
π
ωωω=--
33sin cos 3sin()23
x x x πωωω=
-=- ∵()06
f π=,∴
6
3
k ωπ
π
π-
=,k Z ∈,
∴62k ω=+,k Z ∈, ∵03ω<<,
∴2ω=； (Ⅱ)由(I)知()3sin(2)3
f x x π
=-,
当[,]123
x ππ∈-
时,2233x πππ
-≤-≤,
∴3
1sin(2)3
x π
-≤-
≤
, ∴33()2
f x -≤≤
, 2213
()()()1[()]24
g x f x f x f x =-+=-+
∴当()3f x =-时,max ()43g x =+.
本题考查了三角恒等变换,含正弦函数的二次函数的最值问题,属于中档题.
19.如图,在Rt ABC 中,90B =∠,2BC AB =,,D E 分别是,AC BC 的中点.将CED 沿
DE 折成大小是60的二面角A DE C '--.
(Ⅰ)求证：平面C DA '⊥平面ABC '； (Ⅱ)求BE 与平面AC D '所成角的正弦值.
【参考答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)4
. 【试题解析】
(Ⅰ)根据题意,由二面角A DE C '--为60得出60BEC ∠=',通过运用线面垂直的判定得出DE ⊥平面EBC ',根据边长关系和勾股定理的逆定理得出BO DO ⊥,根据等腰三角形的性质得出BO AC '⊥,最后利用面面垂直的判定定理,即可证出平面C DA '⊥平面ABC '；
(Ⅱ)根据条件得出四边形DEBF 为矩形,得出//DE BF ,从而将求BE 与平面AC D '所成的角转化成求DF 与平面AC D '所成的角,由线面垂直求出F 到平面AC D '距离,最后利用几何法即可求出结果.
解：(Ⅰ)由题可知,Rt ABC 中,90B =∠,2BC AB =, 不妨设1,2AB BC ==,
已知将CED 沿DE 折成大小是60的二面角A DE C '--, 而,CE DE BE DE ⊥⊥,CE BE E =∩, 则可得：60BEC ∠=' ,DE ⊥平面EBC ', 所以在BEC '△中,1
12
BE EC BC '==
=,60BEC ∠=' , 则BEC '△为等边三角形,得1BC '=,
由于,D E 分别是,AC BC 的中点,则//AB DE , 所以AB ⊥平面EBC ',BC '⊂平面EBC ',
于是AB BC '⊥,所以AC '=
=取AC '的中点O ,连,,DO BO BD ,
则122BO AC '==2BD ==,
取AB 的中点F ,连接DF ,则111,22
DF BE AF AB ===
=, 则2
21512AD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,2
21512DC ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭
,
易得：5
AD DC BD '===
, 在ADC '中,2
2
22523
222DO AD AO ⎛⎫⎛⎫=
-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 则222BD BO DO =+,所以90BOD ∠=,即BO DO ⊥, 在Rt ABC '△中,1AB BC '==,则BO AC '⊥, 又DO
AC O '=,所以BO ⊥平面AC D ',
而BO ⊂平面ABC ', 所以平面C DA '⊥平面ABC '.
(Ⅱ)由于F 为AB 的中点,则DE BF =, 又//DE BF 且AB BE ⊥, 可得：四边形DEBF 为矩形,
所以BE 与平面AC D '所成的角就是DF 与平面AC D '所成的角,设为θ, 由于BO ⊥平面AC D ',F 为AB 的中点, 所以F 到平面AC D '距离是：12
2d BO ==
, 而1BE DF ==,
可得DF 与平面AC D '所成角的正弦值为：2
sin 4
d DF θ=
=
,
所以BE 与平面AC D '
本题考查面面垂直的判定定理和线面角的求法,考查二面角的应用和线面垂直的判定和性质,考查推理证明能力.
20.已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和为n S ,对于任意的n *∈N ,总有2
,,n n n a S a 成等
差数列.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若数列{}n b 满足2
2()3(1)1n a n n n a b ⋅=⋅-+,求数列{}n b 的前2n 项和2n T .
【参考答案】(Ⅰ)()n a n n N *
=∈；(Ⅱ)27(127)49
n
n n T +-⋅=.
【试题解析】
(Ⅰ)利用公式1n n n a S S -=-整理化简得到1=1n n a a --,计算得到答案.
(Ⅱ)计算1
212(41)4n n n b b n --+=-⋅,利用错位相减法计算得到答案.
(Ⅰ)由已知：对于任意
的
n *∈N ,总有22+n n n S a a =,2
1112n n n S a a ---=+(2n ≥),
相减得：22
112n n n n n a a a a a --=+--,即111()()n n n n n n a a a a a a ---+=+-,
因为0n a >,所以1=1n n a a --(2n ≥),于是令1n =,得11a =,所以()n a n n N *
=∈.
(Ⅱ)22
2()23(1)13(1)1
n a n n n n n a n b ⋅⋅==⋅-+⋅-+,
则21222212122(21)2(2)(41)2(41)4244
n n n
n n n n n n b b n ---⋅-⋅-⋅+=-+==-⋅.
∴0121
23474114(41)4n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅, 则121243474(45)4(41)4n n
n T n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅,
错位相减得：124(14)
334(41)414
n n n T n -⋅--=+⋅--⋅-,
化简得：27(127)49
n
n n T +-⋅=.
本题考查了数列的通项公式,利用错位相减法求和,意在考查学生对于数列公式方法的综合应
用,确定1
212(41)4n n n b b n --+=-⋅是解题的关键.
21.已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为3,且经过点3
(1,).
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设椭圆的上、下顶点分别为,A B , 点P 是椭圆上异于,A B 的任意一点, PQ ⊥y 轴, Q 为垂足, M 为线段PQ 中点,直线AM 交直线:1l y =-于点C , N 为线段BC 的中点,若四边形MOBN 的面积为2,求直线AM 的方程.
【参考答案】(Ⅰ)2
214
x y +=；(Ⅱ)112y x =±+.
【试题解析】
(Ⅰ)由离心率得3
c a =
,再把已知点的坐标代入,结合222a b c =+联立后可解得,,a b c ,得椭圆方程；
(Ⅱ)设()00,P x y 0(0)x ≠,得M 点坐标,写出AM 方程,求得C 点坐标,又可得N 点坐标,利用斜率相等求出MN 与x 轴交点R 的坐标,利用2MOBN OBN OMN S S S =+=△△可求得P 点坐标,从而得直线AM 方程.
(Ⅰ)
由题意22222321
314c a
a b a b c
⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
,解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩,
所以椭圆的标准方程为2
214
x y +=.
(Ⅱ)设()00,P x y 0(0)x ≠,则()00,Q y ,且2
20014
x y +=.因为M 为线段PQ 中点,
所以00,2x M y ⎛⎫
⎪⎝⎭
.又()0,1A ,所以直线AM 的方程为()00211y y x x -=
+. 因为000,1,x y ≠∴≠ 令1y =-,得0
01x x y =
-即00
,11x C y
⎛⎫- ⎪-⎝
⎭
.又()0,1B -,N 为线段BC 的中点,有()0
0,121x N y ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭
.
设直线MN 与x 轴交于(,0)R R x ,
由MN
MR k k =得：00
000122(1)2
R y y x x x x y +=
---,∴0202(1)R x x y =-, ∴00
0200
1111(1)24(1)21MON M N x y S OR y y y y y ∆+=
⋅-=⋅+=--. 又0000111124(1)21BON
N x y S x y y ∆+===--∴00
121MOBN y S y +==-四边形, 解得：035y =
,代入椭圆方程得：08
5x =±,∵(0,1)A ,∴12
AM k =±,
∴直线AM 的方程为1
12
y x =±
+. 本题考查求椭圆的标准方程,考查直线与椭圆相交问题.由题意中所给两个条件列出关于
,,a b c 的两个方程,再结合222a b c =+可求得,,a b c 得椭圆方程,是求椭圆方程的常用方法.
本题直线与椭圆相交问题的求解方法主要是考查运算求解能力,关键是设出点P 坐标为
00(,)x y ,然后就是求中点坐标,求直线方程,求交点坐标,最后求四边形面积,由面积得出参数
值.
22.已知函数()2sin f x x a x =-,()cos g x x x =,x ∈R . (Ⅰ)当4a =时,求函数()f x 在(0,2)π上的单调区间；
(Ⅱ)若函数()()()0F x f x g x =+>对任意的0x >恒成立,求正整数a 的最大值.
【参考答案】(Ⅰ)()f x 在5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭、5
,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减；(Ⅱ)3.
【试题解析】
(Ⅰ)求出导函数()f x '
,由()0f x '>确定增区间,由()0f x '<确定减区间；
(Ⅱ)()(2cos )sin 0F x x x a x =+->变形为sin 02cos a x x x -
>+,令()h x =sin 2cos a x
x x
-+,求出
导函数()h x '
,然后分类说明03a <≤时不等式恒成立,正整数4a ≥时由()2
F π
0<说明不等
式不恒成立,从而得出结论.
解：(Ⅰ)显然()24sin f x x x =-,(0,2)x π∈,则令()24cos 0f x x =-=',解得：3
x π
=
或
53
x π=. 当5(,)33x ππ∈时,()0f x '>,当5(0,)(,2)33x ππ
π∈时,()0f x '<,
于是()f x 在5,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增,在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭、5
,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减.
(Ⅱ)由()(2cos )sin 0F x x x a x =+->知sin 02cos a x
x x
-
>+,
令()h x =sin 2cos a x
x x
-+,则222
[cos (2)]3()(2cos )x a a a h x x --+-'=+,当230a a -≥ 即03a <≤时,()0h x '
≥,()h x 是增函数,于是()(0)0h x h >=. 另一方面,当3a >,则令2
x π=,()2F a ππ=-,若4a ≥,()02
f π
<,不满足题意.
∴正整数3a ≤.
综上所述,正整数a 的最大值为3.
本题考查用导数求函数的单调区间,考查用导数研究不等式恒成立问题,解题时转化为确定函数的单调性,解题关键是不等式变形为sin 02cos a x x x ->+,研究新函数()h x =sin 2cos a x
x x
-+的
单调性,从而易得结论.。