基于二进小波变换的图像去噪技术研究

Donoho 和 Johnstone 提出的软门限和硬门限方法是最常用的小波系数取舍方法 ,它们
按下面的方式进行筛选 :
Thard (ωjk , λ) = ωjk I ( ωjk - λ) ,
(4)
Tsoft (ωjk ,λ) = sgn (ωjk) ( ωjk - λ + ωjk - λ ) / 2 ,
n ≤32 , n > 32 .
第 4 期 费佩燕等 :基于二进小波变换的图像去噪技术研究
493
二进小波变换域内 ,图像的表达非常冗余[5] ,因为图像的二进小波变换在每次分解的时候不进行下抽样. 因 此 ,在相同的误判概率下 ,基于二进小波变换的去噪可改进图像的重建效果. 该文从研究噪声在小波级数域 和二进小波变换域的特性入手 ,将已有小波级数去噪方法推广到二进小波域 ,提出一种基于二进小波的去噪 (DWID) 方法 ,从小波变换去噪方法的两个关键性技术 :小波系数域的处理方法及门限的估计入手 ,通过实验 分析 ,验证了这种去噪方法的可行性.
的噪声 ,恢复图像 f ( ti) . 常见的去噪处理方法有 :低通滤波 (包括邻域滤波 、中值滤波等) 、神经网络 、小波分 析等 ,其中 ,小波分析去噪方法是近年图像去噪研究的焦点.
小波分析方法类似于广义 Fourier 展开方法 ,不同的是小波可将函数分解为分级局部震荡部分 ,特别利
于回归噪声的剔除 ,并且近年发展起来的基于小波变换非参数回归去噪方法 ,已被广泛应用于工程实践.
换具有与离散小波变换相同的算法结构. 所不同的是滤波器是通过对离散小波变换滤波器进行内插入若干
个“0”得到的[7] . 表 1 是这类离散二进小波的分解和重构算法.
表 1 离散二进小波分解和重构算法
二进小波的快速分解算法
二进小波的快速重构算法
j =0
while ( j < J )
W2d j+1 f = S2d j f 3 Hj
yi
作J
次二进小波变换得到 ( ( ^yj , k)
k
)
J j=
1
;
⑶线性变换. j = 1 ,while ( j < J + 1) { ( Yj , k) k = ( ^yj , k) k ×(21/ 2) j} ;
⑷门 限 化.
采用已有的小波级数去噪的门限方法对
(
(
Yj ,
k)
k)
J j =0
门限化得
像的像素点数 ,σ是噪声的标准差. VisulShrink 估计方法是一种简单的门限方法 ,但它已被证明 ,在 Besov 空
间 ,它是自适应的和渐进最优的 ,估计效果优于所有的线性估计方法.
Minimax 方法按下面的方法确定门限值 :
λM =
0 , σ(0. 396 + 0. 182 9 ×log2 n) ,
Abstract: Since downsampling does not take place in image dyadic wavelet transform at each level , image representation in dyadic wavelet domain compared with wavelet series reconstruction is very redundant and part of disturbance of image dyadic wavelet coefficients in transform domain will not lead to serious distortion. Therefore , with the same error decision probability , the better reconstruction can be expected. Based on this idea , this paper extends the existing wavelet2based image denoising approaches to the dyadic wavelet2based image denoising ( DWID) . Numerical experiments show that DWID can significantly improve the Power Signal2to2Noise Ratio. Key Words : image denoising ;dyadicwavelet2based image denoising ;threshold estimation
S
d 2
j
+1
f
=
S2d j f 3 Lj
end of while
j=J while ( j > 0) S2d j- 1 f = S2d j f 3 L j- 1 + W2d j f 3 Hj - 1 end of while
表
1
中
S
d 1
f
(
xi)
为离散采样 , Hj
=
H ↑2j , L j
Image denoising based on the dyadic wavelet transform
FEI Pei2yan1 , GUO Bao2long1 , ZHANG Zheng2yu2
(1. School of Mechan2electronic Engineering , Xidian Univ. , Xi′an 710071 , China ; 2. North China Research Institute of Electronic Optics , Beijing 100015 , China)
如图 1 所示 ,基于二进小波变换去噪的算法描述如下 : ⑴选取总的分解次数 J ≤log2 ( ( N - 1) / Lψ) ,其中 Lψ 为支撑区间长度 ;
494 西安电子科技大学学报 (自然科学版) 第 30 卷
⑵二进小波正交变换. 对噪声图像
(5)
其中 ωjk 是噪声图像的小波变换 ,λ是小波门限值 , I 是单位阶跃函数 , sgn (·) 为符号函数.
图 1 二进小波 去噪程序框图
Donoho 和 Johnstone 提出的 VisulShrink 方法定义小波门限值可按 λV =σ(2 ×ln ( n) ) 1/ 2 给定 ,其中 n 是图
+∞
∑ A ≤ ψ^ (2 jω) 2 ≤B , Πω ∈R 成立 ,则对函数f ( x) ∈L2 ( R) , 在其连续点处有 j=- ∞
+∞
0
∑ ∑ f ( x)
=
j=-
W2j f
∞
3
χj 2
(
x)
= f 3 φ( x)
+
j=-
W2j f
∞
3
χ 2
j
(
x)
,
(3)
+∞
+∞
∑ ∑ 其中 χ( x) 是重构小波 , ψ^ (2 jω) χ^ (2 jω) = 1 ,φ( x) 是尺度函数 , φ^ (ω) 2 = ψ^ (2 jω) χ^ (2 jω) . 式
=
L ↑2j , Hj
=
H ↑2j , L j
= L ↑2j .
同小波变换相比 ,二进小波变换在每次分解的时候并没有进行下抽样 ,因此图像在二进小波域中的表达
是极其冗余的 ,部分系数扰动不会带来重构图像的严重失真.
2 二进小波去噪
基于小波变换的去噪方法是先将带有噪声的数据通过小波变换展开为小波级数 ,然后通过门限方法抽 取“重要”的小波系数 ,再把去噪后的小波系数经小波逆变换重建未知信号的逼近. Mallat 在文献[ 8 ]中提到 , 在高斯噪声背景下 ,使用正交小波级数变换的优点在于各层的小波系数具有方差分布相同的特点 ,便于系数 域的统一处理. 因此采用二进小波变换去噪 ,应尽量利用这一优点 ,为此提出了下面的二进小波去噪方法.
图像去噪是图像处理领域的一个热点问题[1 ,2] . 为便于说明 ,笔者将带有噪声的图像数学模型表示为
yi = f ( ti) +εi , i = 1 , …, N ,
Hale Waihona Puke (1)其中εi 是期望值为 0 ,方差为σ2 的独立同分布的正态随机噪声 , N 为像素点总数. 图像去噪就是要剔除 yi 中
术. Donoho[9]提出的小波系数域值处理方法 ,已经证明在高斯白噪声下对光滑信号是渐进
最优的. 后来以这种方法为基础 ,开发出了一些其他类型的小波去噪方法 ,如基于 Bayes 方
法的小波去噪和基于假设检验的小波去噪方法. 现广泛使用的方法有 :VisulShrink 方法 ,
Minimax 方法 ,SureShrink 方法和 HeurSure 方法.
小波分析去噪方法中 ,最常用的是小波级数去噪. 因为由于图像重建效果对于单个小波系数依赖性很
强 ,这使得实际小波门限的选取变得很困难. 正交小于级数变换域内 ,图像的表达不存在冗余. 与此相反 ,在
收稿日期 :2002209204 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (69975015) ;国家部委预研基金资助项目 (2131211) 作者简介 :费佩燕 (19742) ,女 ,西安电子科技大学博士研究生.
小波分析方法类似于广义fourier展开方法?同的是小波可将函数分解为分级局部震荡部分特别利于回归噪声的剔除并且近?发展起来的基于小波变换非参数回归去噪方法已被广泛应用于工程实践
2003 年 8 月 第 30 卷 第 4 期
西安电子科技大学学报 (自然科学版) J OU RNAL O F XID IAN UN IV ERS I TY
Donoho 和 Johnstone[3]证明了在许多函数空间内 (例如 Besov 空间和 Triebel 空间) ,基于小波变换的非参数回
归方法对函数 f ( t) 的恢复效果优于其他的非参数回归方法处理的结果 ,如样条平滑方法 、核估计方法及广
义 Fourier 级数展开方法等等. Donoho 和 Johnstone[4]还指出 ,影响小波分析去噪的关键是噪声门限的选取.
Aug. 2003 Vol . 30 No. 4
基于二进小波变换的图像去噪技术研究
费 佩 燕1 , 郭 宝 龙1 , 章 正 宇2
(11 西安电子科技大学 机电工程学院 ,陕西 西安 710071 ; 21 华北光电技术研究所 ,北京 100015)
摘要 : 由于图像二进小波变换在每次分解时不进行下抽样 ,所以其表示同小波级数相比是冗余的 ,且图 像二进小波变换的部分系数扰动不会带来重构图像的严重失真. 因此 ,在相同的误判概率下 ,基于二进 小波变换的图像去噪效果会好于基于小波级数变换的图像去噪效果. 基于这个思想 ,文中将基于小波级 数的图像去噪方法推广到基于二进小波变换的图像去噪 ,提出了二进小波的去噪方法 ,比较了该方法和 基于小波级数方法的去噪效果. 实验表明 ,二进小波的去噪比小波级数去噪效果有明显改善. 关键词 : 图像去噪 ;二进小波去噪 ;门限估计 中图分类号 :TN91117 文献标识码 :A 文章编号 :100122400 (2003) 0420492205
1 二进小波变换及其快速算法
∫∞
设 ψ( x) 为一母小波 ,即满足 ψ( t) d t = 0 ,则 L2 ( R) 上的二进小波变换定义为
-∞
∫ W2J f ( x) = f 3 ψ2j ( x) = f ( t) ψ2j ( x - t) d t ,
(2)
其中 ψ2j ( x) = 2- jψ(2- j x) , 若它的 Fourier 变换 ψ^ (2 jω) 满足条件 : 存在两个大于 0 的常数 A 和 B , 使得
(
(
Fj , k)
k)
J j=
1
;
^
⑸线性逆变换. j = 1 ,while ( j < J + 1) { ( f j , k) k) = ( Fj , k) k ×(21/ 2) - j} ;
^
⑹ 二进小波逆变换 .
对
(
( f j , k)
k)
)
J j=
1
二进小波重构得到去噪信号
f i.
基于小波变换去噪的方法中 ,小波系数域的处理方法及门限的估计是两个关键性技
j=- ∞
j=- ∞
(3) 的第一项是 f ( x) 在粗尺度上的逼近 ,第二项的各分量是在各个细尺度上的细节 ,因此二进小波变换具有
多分辨分析结构[6 ] .
二进小波变换的重构条件要比小波级数重构条件弱. 对相同的分析小波 ψ( x) , 其重构小波 χ( x) 以及
相应的尺度函数 φ( x) 并不惟一. Mallat 构造了一类可快速实现的离散二进小波变换 ,这类离散二进小波变