浙江省宁波市第十八高中高二数学理下学期期末试题含解析

浙江省宁波市第十八高中高二数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 过点（﹣3，2）且与=1有相同焦点的椭圆的方程是( )
A．=1 B．=1
C．=1 D．=1
参考答案：
A
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求出a，c，然后求出b，即可得到结果
【解答】解：由题意=1的焦点坐标（），
所以2a==2，
所以a=．
所以b2=15﹣5=10
所以所求椭圆的方程为：=1．
故选A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，椭圆的定义的应用，考查计算能力．
2. 要完成下列2项调查：
①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；
②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况.
应采用的抽样方法是
A.①用随机抽样法②用系统抽样法
B.①用分层抽样法②用随机抽样法
C.①用系统抽样法②用分层抽样法
D.①、②都用分层抽样法
参考答案：B
略
3. 在等比数列{a n}中，a2?a6=3a4，a1=1．数列{b n}是等差数列，b1=a1，b7=a4，则b4=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
A
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】由已知结合等比数列的性质求得a4，再由等差数列的性质求得b4 ．
【解答】解：在等比数列{a n}中，由a2?a6=3a4，得，
∵a4≠0，∴a4=3，
又数列{b n}是等差数列，且b1=a1，b7=a4，
∴b1=a1=1，b7=a4=3，
则．
故选：A．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的性质，是基础题．
4. 在等比数列{a n}中，已知a7?a19=8，则a3?a23=（）
A．6 B．7 C．8 D．9
参考答案：
C
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式求解．
【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a7?a19=8，
∴a3?a23=a7?a19=8．
故选：C．
5. 设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于
A．B．或2 C． 2 D．
参考答案：
A
略
6. 长方形ABCD中，AB=2，BC=1，F是线段DC上一动点，且0＜FC＜1．将△AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC，在平面ABD内作DK⊥AB于K，设AK=t，则t的值可能为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】平面与平面垂直的性质．
【分析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时与随着F点到C点时，分别求出此两个位置的t值即可得到所求的答案．
【解答】解：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，
∵平面AFD⊥平面ABC，又DK⊥AB，
∴AB⊥平面DKG，
∴AB⊥GK．
容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，
∵长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为CD的中点，
∴计算可得：AG=，DG=，DK=，KG=，
∴t=AK=，
当F接近C点时，可得三角形ADG和三角形ADC相似．
∴，可解得AG=，
可得三角形AKG和三角形ABC相似．
∴，解得t=，∴t的取值范围是（，）．
故选：B．
7. 已知椭圆的两个焦点是（﹣3，0），（3，0），且点（0，2）在椭圆上，则椭圆的标准方程是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】根据椭圆方程为标准方程，及椭圆的两个焦点是（﹣3，0），（3，0），且点（0，2）在椭圆上，可得相应几何量，从而得解．
【解答】解：由题意，因为椭圆的两个焦点是（﹣3，0），（3，0），
所以c=3，
又因为椭圆过点（0，2），
所以b=2，
根据a2=b2+c2，可得a=．
故椭圆的标准方程为：
故选A．
8. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）
A. EF与BB1垂直
B. EF与BD垂直
C. EF与CD异面
D. EF与A1C1异面
参考答案：
D
9. 下列说法中错误的是（）
A ．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0
C ．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
参考答案：
A
10. 在线性回归模型中，下列说法正确的
是（）
A．是一次函数
B．因变量y是由自变量x唯一确定的
C．因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生
D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生
参考答案：
C 略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为．（以数字作答）．
参考答案：
312
【考点】计数原理的应用．
【分析】因为数学数学课排在前3节，体育课不排在第1节，所以第一节是特殊的一节课，因此可以分数学排在第一节或数学不排在第一节两类，根据分类计数原理即可得到．
【解答】解：分两类，数学科排在第一节，或不排在第一节，
第一类，当数学课排在第一节时，其它课任意排有种，
第一类，当数学课排在第二或第三节课时，第一节从语文、政治、英语、艺术四门科种任排一节，再排数学，然后排其它节次，共有=192种，
根据分类计数原理得不同的排法种数为120+192=312种．
故答案为：312．
12. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为60 0，则|a-2b|等于.
参考答案：
2
13. 已知命题p：“?x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a的取值范围为________．
参考答案：
[e，4]
略
14. 已知n=5sinxdx，则二项式（2a﹣3b+c）n的展开式中a2bc n﹣3
的系数为．参考答案：
﹣4320
【考点】二项式系数的性质；定积分．
【分析】利用积分求出n的值，然后求解二项展开式对应项的系数．
【解答】解：∵n=5
sinxdx=﹣5cosx
=﹣5（cosπ﹣cos0）=10；
∴二项式（2a ﹣3b+c ）10的展开式中a 2bc 10﹣3的系数为：
?22?
?（﹣3）?
=﹣4320．
故答案为：﹣4320．
15. 椭圆
+
=1内一点P （4，2），过点P 的弦AB 恰好被点P 平分，则直线AB 的方程为 ．
参考答案：
x+2y ﹣8=0
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设A （x 1
，y 1），B （x
2，y 2）．可得由中点坐标公式可得4=
，
=2，又
k AB =
．将A ，B 坐标代入椭圆方程，相减即可得到直线AB 的斜率，再由点斜式方程，即可得到
所求直线方程．
【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
由中点坐标公式可得，4=， =2，
又k AB =．
∵+=1， +=1．
∴两式相减可得，
+
=0．
∴
+
=0，
解得k AB =﹣．
∴直线AB 的方程为y ﹣2=﹣（x ﹣4），化为x+2y ﹣8=0． 故答案为：x+2y ﹣4=0．
16. 已知在矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，在其中任取一点P ，使满足∠APB＞90°，则P 点出现的概率为 ．
参考答案：
【考点】几何概型．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】在矩形ABCD 内以AB 为直径作半圆，如图所示．由直径所对的圆周角为直角，可得当点P 位
于半圆内部满足∠APB＞90°．因此，算出半圆的面积和矩形ABCD 的面积，利用几何概型公式加以计算，即可得到P 点出现的概率．
【解答】解：在矩形ABCD 内，以AB 为直径作半圆，如图所示． ∵P 点在半圆上时，∠APB=90°， ∴当点P 位于半圆内部满足∠APB＞90°．
∵矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，∴矩形ABCD 的面积S=AB×BC=35． 又∵半圆的面积S'=×π×（
）2=
，
∴点P 出现的概率为P==
=
． 故答案为：
【点评】本题给出矩形ABCD ，求矩形内部一点P 满足∠APB＞90°的概率．着重考查了半圆、矩形的
面积公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．
17. 已知直线经过点
，且与直线平行，则直线的一般式方程是 .
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知，.
（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；
（Ⅱ）若函数的值域为，且，求的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）当时，不等式可化为.
当时，不等式可化为，∴；
当时，不等式可化为，∴；
当时，不等式可化为，∴；
综上所述，原不等式的解集为或.
（Ⅱ）∵，
∴.
∵，.
解得或.
∴的取值范围是.
19. 设函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的取值范围.
参考答案：
(1)；(2).
试题分析：
(1)由题意结合三角函数的周期可得，结合，则，函数的解析式为
.
(2)由函数的定义域可得，则函数的值域为.
试题解析：
（1）由图象知，即.又，所以，
因此.又因为点，
所以，即，
又，所以，即.
（2）当时，，
所以，从而有.
20. （本小题满分12分）已知直线l：与抛物线 C：交于A、B两点，为坐标原点.
（1）求直线l和抛物线C的方程；
（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求点P到直线l 的最大值，并求此时点P的坐标．
参考答案：
解：（1）由得,
设
则
=…… 3分
所以解得
所以直线的方程为抛物线C的方程为…… 6分
（2）由得，
设，
到直线的距离为
因为，所以当时，max=，
此时…… 12分
略
21. （1）已知，记的个位上的数字为，十位上的数字，求的值（2）求和（结果不必用具体数字表示）参考答案：
（Ⅰ）的后两位由确定，故个位数字为3，十位数字为1
所以
（Ⅱ）
22. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M（2，1），N（2，0）两点．（1）求椭圆E的方程；
（2）已知定点Q（0，2），P点为椭圆上的动点，求|PQ|最大值及相应的P点坐标．
参考答案：
【考点】梅涅劳斯定理；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设椭圆E的方程为：mx2+ny2=1，m＞0，n＞0，m≠n．利用方程组求解即可．
（2）设P（x，y）为椭圆上任意一点，由Q（0，2），求出|PQ|的最大值，推出结果．
【解答】解：（1）设椭圆E的方程为：mx2+ny2=1，m＞0，n＞0，m≠n．
将M（2，1），N（2，0）代入椭圆E的方程，得…
解得m=，n=，所以椭圆E的方程为…
（2）设P（x，y）为椭圆上任意一点，由Q（0，2），
得，
∵，
∴时，
此时P点坐标为
【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．。