四川省泸县第一中学2020届高三三诊模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

2020年春四川省泸县第一中学高三三诊模拟考试
理科数学 第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}|10A x x =-<，{}
2
|20B x x x =-<，则A
B =（ ）
A. {}|0x x <
B. {}|1x x <
C. {}1|0x x <<
D.
{}|12x x <<
【答案】C 【解析】 【分析】
求出A 、B 中不等式的解集确定出A 、B ，找出A 与B 的交集即可．
【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =-<=<，集合{}
{}2
|20|02B x x x x x =-<=<<，
所以A B ={}1|0x x <<.
故选C
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.z C ∈，若||12z z i -=+，则z =（ ）
A.
3
22
i - B.
3
22
i + C. 22i + D. 22i -
【答案】B 【解析】 【分析】
设z a bi =+，化简得到221
2a b a b +==⎪⎩
，解得答案.
【详解】设z a bi =+，则22||12z z a b a bi i -=++=+，故221
2a b a b +==⎪⎩
，
故322a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
，故322z i =+.
故选：B .
【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 3.若sin 78m =，则sin 6=（）
A.
12
m + B.
12
m
- C.
1
m + D.
1m
- 【答案】B 【解析】 【分析】
由三角函数的诱导公式，求得12sin 78cos m ==，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得12sin(9012)sin 78cos m =-==， 又由余弦的倍角公式，可得2126sin m -=， 所以1sin 62
m
-=
，故选B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4.函数()21
x f x x
-=的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的解析式，得到()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；再由函数的单调性，排除A ，即可得到答案.
【详解】由题意，函数()21
x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x
----=
==-， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；
当0x >时，()211
x f x x x x
-==-，则21'()1f x x =+＞0，
所以函数在0∞（，＋）上递增，排除A ， 故选D .
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 912216,4,2
a a a =
+=则数列
1{}n S 的前10项和为（） A.
11
12
B.
1011 C.
910
D.
89
【答案】B 【解析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
91221
6,42
a a a =
+=，
()1111811624a d a d a d ⎧
+=++⎪∴⎨⎪+=⎩
解得12a d ==
()21222
n n n S n n n -=+
⨯=+
()111111n S n n n n ∴
==-++ 12
10111111111101122310111111S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴
+++
=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
故选B
点睛：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件91221
6,42
a a a =
+=及等差数列通项公式得到()1111811624a d a d a d ⎧
+=++⎪⎨⎪+=⎩
，解得1a 和d 的值，可得n S ，再利用裂项求和的方法即可得出答案．
6.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛
⎫
≤≤ ⎪⎝
⎭
个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A.
12
π
B.
6
π C.
3
π D.
4
π 【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度， 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2
k k Z π
ϕπ=
+∈，解得,4
2
k k Z π
π
ϕ=
+
∈，
因为02
π
ϕ≤≤
，当0k =时，4
π
ϕ=
，故选D ．
【点睛】本题主要考查了三角函数的
图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为
111
,,236
，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白，但没有黄的概率为（ ） A.
536
B.
56
C.
512
D.
12
【答案】C 【解析】 【分析】
概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率，计算到答案.
【详解】根据题意：概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率.
即333
1115162312
p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
故选：C .
【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
8.已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线22
2:14
y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的
离心率为（ ） A.
5
4
B. 5 55 【答案】C 【解析】 【分析】
由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．
【详解】由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线22
2:14
y C x -=有相同的渐近线，
可得102m m -=，解得2m =，此时双曲线22
1:128
x y C -=，
则曲线1C 的离心率为28
52
c e a +=
==，故选C ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 9.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6
C π
=，12a b +=，则ABC
面积的最大值为（ ） A. 8 B. 9
C. 16
D. 21
【答案】B 【解析】
由三角形的面积公式：
2
111sin 92442a b S ab C ab +⎛⎫
==≤⨯= ⎪⎝⎭
，
当且仅当6a b == 时等号成立. 则ABC 面积的最大值为9. 本题选择B 选项.
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A. 8π
B.
252
π C.
414
π D. 12π
【答案】C 【解析】
由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥S ABCD -，其中四边形ABCD 为矩形,平面
SBC ⊥平面ABCD ,25AB CD BC AD SB =====，.该多面体的外接球球心O 在
SC 中垂面上1ABO ,其中1O 为三角形SBC 外心.设1BO x =，则由11SO BO x ==得
()2
221x x -+=， 解得54x =
，所以该多面体的外接球半径254111616
R OB ==+=，因此其表面积为 2
4144
S R π
π==
，故选C.
点睛：空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 11.已知抛物线2
4y x
=焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点
KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( )
A. 322-
B. 33
C. 23
D. 22-【答案】A 【解析】 【分析】
求出抛物线的
焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，211(1)4m
m
x x
-=
+++， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．
【详解】解：由题意可得，焦点F （1，0），准线方程为x ＝−1， 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，
由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |＝x ＋1， 记∠KPF 的平分线与x 轴交于(m,0),
(1m 1)H -<<
根据角平分线定理可得||||||
=||||||
PF PM FH PK PK KH =， 211(1)4m
m
x x
-=
+++， 当0x =时，0m =，
当0x ≠21242(1)4112x x
x x
⎫=⎪⎪++⎣⎭+
++，
211032221m m m
-≤<⇒<≤-+ 综上：0322m ≤≤- 故选A ．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题． 12.若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =
+-+-在,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则实数a
的取值范围为（ ） A. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 11,7
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C. ][1
,1,7⎛⎫-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
D. [)1,+∞ 【答案】D 【解析】 因
为
/()sin 23(cos sin )41
f x x a x x a =-+++-，由题设可得
sin 23(cos sin )410x a x x a -+++-≥在[,0]2
π
-
上恒成立，令cos sin t x x =+，则
2sin 21x t =-，又cos sin 2)4
t x x x π=+=+，且444x πππ
-≤+≤
，故22
sin()[1,1]242
x t π-
≤+≤⇒∈-，所以问题转化为不等式2340t at a -++≥在[1,1]-上恒成立，即不等式2340t at a --≤在[1,1]-上恒成立．令函数
2()34,[1,1]h t t at a t =--∈-，则1
(1)0{
{17(1)0
1
h a a h a -≤≥
⇒⇒≥≤≥，应选答案D ． 点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数a 的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.sin 75cos75+=________．
6【解析】 【分析】
利用辅助角公式可求得结果.
【详解】()
36
sin 75cos 752sin 75452sin1202+=+==⨯
=
. 故答案：
6
2
【点睛】本题考查三角函数值的计算，涉及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 14.设,a b 是两个向量，则“a b a b +>-”是“0a b ⋅>”的__________条件. 【答案】充分必要 【解析】
由a b a b +>-2
2|
|400a b a b a b a b ⇔+-⇔⋅⇔⋅>，所以是充分必要条件．
15.圆2
2
1x y +=的切线与椭圆22143x y +=交于两点,A B 分别以,A B 为切点的22
1
43
x y +=的切线交于点P ，则点P 的轨迹方程为__________．
【答案】22
1169
x y += .
【解析】
设切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则过点11(,)A x y 的切线方程为11()y y k x x -=-，即
11
y kx y kx =+-代入
2234120
x y +-=，整理化简可得2221111(34)8()4()120
k x k y kx x y kx ++-+--=，
由
题
设
可
得
2222111164()44[()3](34)0k y kx y kx k --⨯--+=，即221134()k y kx +=-，结合
221
1
34120x y +-=可得2
121
34x k y =-，则切线方程为1134120x x y y +-=；同理可得经过点
22(,)B x y 的切线方程为2234120x x y y +-=．设交点00(,)P x y ，故由题设可得101034120x x y y +-=且202034120x x y y +-=，观察这两个等式可以看出经过两点1122(,),(,)A x y B x y 的直线是0034120x x y y +-=，又该直线与221x y +=相切，则
22001(3)(4)x y =+，即2200
916144x y +=，即交点P 在曲线22
1169
x y +=运动，应填答案
22
1
169
x y
+=．
点睛：本题的求解思路是先建立经过椭圆与已知圆的切线的交点的切线方程，再运用抽象概括（即特殊到一般的归纳思维）的思想方法得到含交点P的坐标的方程，即点P的轨迹方程，其求解过程较为繁冗，对运算求解能力及分析问题解决问题的能力要求较高，具有一定的难度．
16.已知函数32
()31
f x ax x
=-+，若()
f x存在唯一的零点
x，且
x<，则a的取值范围是______．
【答案】(2,)
+∞
【解析】
(i)当a=0时,f(x)=−3x2+1,令f(x)=0,解得x
3
函数f(x)有两个零点，舍去．
(ii)当a≠0时,f′(x)=3ax2−6x=3ax(x−
2
a
),令f′(x)=0,解得x=0或2a.
①当a<0时,
2
a
<0,当x<
2
a
或x>0时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当
2
a
<x<0
时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增．
∴
2
a
是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点．
∵函数f(x)=ax3−3x2+1存在唯一的零点x0,且x0<0,则
()
2
00
a
f
⎧
<
⎪
⎨
⎪<
⎩
，无解，舍去．
②当a>0时,
2
a
>0,当x>
2
a
或x<0时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当0<x<
2
a
时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减．
∴
2
a
是函数f (x )的极小值点,0是函数f (x )的极大值点． ∵函数f (x )=ax 3−3x 2
+1存在唯一的零点x 0,且x 0<0,则f (2a >0,即28a −12a
+1>0，a >0，解得a >2.
综上可得：实数a 的取值范围是(2,+∞). 故答案为(2,+∞).
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17.已知正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，34b =，37S =，数列{}n a 满足
*1()1n n a a n n N +-=+∈，且11a b =．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列1
{}n
a 的前n 项和． 【答案】（Ⅰ）22
n n n a += ; （Ⅱ）12111n a a a ++⋯+21n n =+. 【解析】
（Ⅰ）根据题意，由等比数列{}n b 的通项公式及前n 项和公式，建立关于首项和公比的方程，求数列{}n a 的首项11a b =，再用迭加法求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得
2121
121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再采用裂项相消法，即可求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和. 试题解析：（Ⅰ）根据题意，设{}n b 的公比为q ，所以2121114,
{7,
b q b b q b q =++=解得11,{ 2.b q == 又11n n a a n +-=+，
所以()()()()
11232211
n n n n n
a a a a a a a a a a
---
=-+-+⋯+-+-+
()
()2
1
121
22
n n n n
n n
++
=+++⋯++==．
（Ⅱ）因为
2
1211
2
1
n
a n n n n
⎛⎫
==-
⎪
++
⎝⎭
，
所以
12
111111111112 2121
2231111 n
n a a a n n n n n n
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++=-+-+⋯+-+-=-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥
-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
．
点睛：此题主要考查裂项求和法在求数列前n项和、等比数列通过公式及前n项和公式的应用能力，属于中低档题型，也是高频考点.裂项求和法是根据数列的通项公式特点，将其拆成两
项之差（如本题中
2
1211
2
1
n
a n n n n
⎛⎫
==-
⎪
++
⎝⎭
），在求和中叠加后就可消掉中间项，剩下首尾两项，从而达到求前n项和公式.
18.如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD DC
=，点E是PC的中点.
()1求证：//
PA平面BDE；
()2若直线BD与平面PBC所成角为30，求二面角C PB D
--的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）60︒
【解析】
【分析】
（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，利用线面平行的判定定理，即可证得//PA 平面BED ；
()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
设1PD CD ==，AD a =，分别求得平面PBC 和平面PBD 的一个法向量n 和m ，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ， 由题意可知，,PE EC AO OC ==，//PA EO ∴，
又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .
()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系
D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，则(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，， (,1,0)DB a =，(,)1,1PB a =-，()0,1,1PC =-，
设平面PBC 的法向量(,)n x y z =，，
由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩
，得00ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =，
又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30， 得21
cos ,2
12
DB n DB n DB n
a =
=
=
+⨯，解得1a =， 同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-， 由向量的夹角公式，可得1
cos ,2
22n m n m n m
=
=
=⨯，
又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒.
【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.
（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2
(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均
成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001） 附：①2204.75s =，204.7514.31=；②2(,)z
N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.
【答案】（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 【解析】
【分析】
（1）根据平均数公式计算x ；
（2）根据正态分布的对称性计算P （z≥84.81），再估计人数； （3）根据二项分布的概率公式计算P （ξ≤3）． 【详解】（1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率 0.1
0.15
0.2
0.3
0.15
0.1
∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）依题意z 服从正态分布(
)2
,N μσ，其中70.5x μ==，2
204.75D σ
ξ==，14.31σ=，
∴z 服从正态分布(
)()2
2
,70.5,14.31N N μσ
=，而
()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，
∴()10.6826
84.810.15872
P z -≥=
=.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.
（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴()()4
4
431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅ 10.5010.499=-=.
【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.
20.中心在原点的椭圆E 的一个焦点与抛物线2
:4C x y =的焦点关于直线y x =对称，且椭圆
E 与坐标轴的一个交点坐标为()2,0.
（1）求椭圆E 标准方程；
（2）过点()0,2-的直线l （直线的斜率k 存在且不为0）交E 于A ，B 两点，交x 轴于点P 点A 关于x 轴的对称点为D ，直线BD 交x 轴于点Q .试探究||||OP OQ ⋅是否为定值？请说明
理由.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）||||OP OQ ⋅为定值4，理由详见解析. 【解析】 【分析】
（1）椭圆E 的右焦点为1,0（），得到1c =，计算2a =，得到答案.
（2）设直线l 的方程为2y kx =-，联立方程得到122
1221634434k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
，计算得到2Q x k =，
计算2
||||24P Q OP OQ x x k k
⋅=⋅=
⋅=，得到答案. 【详解】（1）因为椭圆E 的一个焦点与抛物线2
:4C x y =的焦点关于直线y x =对称，
所以椭圆E 的右焦点为1,0（），所以1c =.
又椭圆E 与坐标轴的一个交点坐标为2,0（），所以2a =，又2223b a c =-=，
所以椭圆E 的标准方程为22143
x y +=.
（2）设直线l 的方程为2y kx =-，0k ≠，则点2,0P k ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设()()1122,,,A x y B x y 则点()11,D x y -，联立直线l 与椭圆E 的方程有22
143
2x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
， 得(
)2
2
341640k
x
kx +-+=，所以有()248410k ∆=->，即214
k >
且122
1221634434k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
，即直线BD 的方程为112121y y x x y y x x +-=+-
令\0y =，得点Q 的横坐标为()()121212*********
Q kx x x x x y x y x y y k x x -++=
=++-，
代入得：()22
83224212
16434Q k k k
x k k k --=
==--+， 所以2
||||24P Q OP OQ x x k k
⋅=⋅=
⋅=，所以||||OP OQ ⋅为定值4. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆的定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21.已知函数2
()2ln f x x ax x =-+． （1）当5a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 有两个极值点12,x x ,且1211
3x x e
<<<，求a 取值范围．（其中e 为自然对数的底数）．
【答案】(1) 单调递增区间为1(0,)2
和(2,)+∞，单调递减区间为1
(,2)2
； (2) 22023
e a e +
<<. 【解析】 【分析】
（1）求导，利用导数的符号确定函数的单调区间；（2）求导，利用导函数，将函数存在极值问题转化为导函数对应方程的根的分布情况进行求解. 【
详
解
】
（
1
）
()
f x 的定义域为
()0+∞，
，
()()()2212225225x x x x f x x x x x
---+=
'=-+=， ()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
（2∵()2222
2x ax f x x a x x
='-+=-+，()f x 有两个极值点
∴令()2
22g x x ax =-+，则()g x 的零点为12,x x ，且
1211
3x x e
<<<. ∴216a ∆=-＞０, ∴4a
或4a >
∵1202
a
x x +=>，121=x x ∴4a >.
根据根的分布，则1()03
g >且g(1e ) <0 即 1122093a ⨯-+>, 21220a
e e
⋅-+<. ∴a 的取值范围是220
23
e a e +
<< （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.已知直线l ：1123x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)，曲线1C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．
(1)设l 与1C 相交于,A B 两点，求AB ； (2)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的
12倍，纵坐标压缩为原来的3
2
倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值．
【答案】(1)1；(2) 36
24
+
【解析】 【分析】
（1）消去直线l 参数方程的参数t ，求得直线l 的普通方程.消去曲线1C 参数方程的参数θ，求得曲线1C 的普通方程，联立直线l 和曲线1C 的方程求得交点,A B 的坐标，再根据两点间的距离公式求得AB .（2）根据坐标变换求得曲线2C 的参数方程，由此设出P 点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得P 到直线l 的距离的最大值.
【详解】（1）l 的普通方程为)31y x =-，1C 的普通方程为22
1x y +=，
联立方程组223(1)
1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得交点为()131,0,,22A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
, 所以AB 22
13(1)(0)122
-++
=；
（2）曲线2C ：1cos 23x y θθ
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（θ为参数）．设所求的点为13cos ,22P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 则P 到直线l 的距离
33
cos sin 322
31
d θθ--=
=+16)322
4π
θ+.
当cos()14
π
θ+
=-时，d 36
． 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查坐标变换以及点到直线距离公式，还考查了三角函数最值的求法，属于中档题. 23.已知：0x >，0y >，且6x y += （1）若|5||4|6x y -+-≤求x 的取值范围；
（2）|5||4||2|x y m -+-≥-恒成立，求m 的取值范围.
【答案】（1）113,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；（2）15m -≤≤.
【解析】 【分析】
（1）化简得到|5||2|6x x -+-≤，讨论2x <，25x ≤≤和5x >三种情况计算得到答案. （2）|5||4||9|3x y x y -+-≥+-=，解不等式|2|3m -≤得到答案. 【详解】（1）把6y x =-代入原不等式得|5||2|6x x -+-≤，
此不等式等价于2526x x x <⎧⎨-+-≤⎩或25526x x x ≤≤⎧⎨-+-≤⎩或5526x x x >⎧⎨-+-≤⎩
分别解得：
122x ≤<或25x ≤≤货1352x <≤，故原不等式解集为113,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（2）|5||4||9|3x y x y -+-≥+-=，当且仅当05x <≤，04y <≤时取等号， ∴|2|3m -≤，故15m -≤≤.
【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力.。