《创新设计》数学一轮(理科)(浙江专用)第四章三角函数、解三角形4-3

法 二 利 用 向 量
的 坐 标 运 算 ;
j
去 三 禾
I
」 用 数
积 的 几 何 意 义
冷 木 方 亡 富 一
DE CB = (D A^ rA E) CB =
DA CB +A EC B= DA 2= 1,
旋 ・ D & =( 丙 + 血 万 &=
=A ED C= \A E\ \D C\ ^ ：
【 例
2 】 （
1 ） （
20 15-
=2, 且 @ + 方 ） ・ （ “
（ 2 ） 已 知 向 量 质 与 疋
且 心 丄 就 ， 则 实 数 久
⑶ 在 矩 形 A BC D 中 ， 设
分 别 是 边
BC , C Q 上 的 I
BC \I
G DI
的 取 值 范 围 是 __ __ ・
为 钝 角 ， 则 久 的 取 值
(2) 已 知 两 个 单 位 向 量
若 方 ・
c= 0, 贝
lj
t= __ __
(2) • ［ 加 +( 1 — r) 方 ］
l^l cos 60 °+ (1 — 丫 )1 勿 2=
考 点 三 平 面 向 量 的 模 7C
【 例 3 】 (1) 已 知 向 量
=|( A B+ A C), 则 竝 与 农 的
• 5
・
（ 人 教
A
必
血
1 = 4, a
与 方 的
向 量
a
方 向 上 的 投
• 解 析 由 数 量 积 的
投 影 为 ：
• l & lc os 0 = 4•
答 案 一
2
考
点
突
破
分类 讲 练， 以例 求法
考 点 一 平 面 向 量 的 数
图 形 有 关 的 不 要 忽用 .
• 2.
利 用 向 量 垂 直
函 数 是 求 参 数 或 最巧 .
［ 易 错 防 范 ］
1. (1) 0 与 实 数 0 的 区 别
(2) 0 的 方 向 是 任 意 的
我 们 只 定 义 了 非 零 向
2.
a b =
0 不 能 推 出
丄 "
3. 在 运 用 向 量 夹 角 时
的 夹 黑 为
0,
贝
IJ
数
数 量 积 吧 或 内 积 )
, 规 定 零 向 量 与 任即
0 a = 0.
• (2 )
几 何 爲 : 义
与 方 在
a
的 方 向 上积 .
2. 平 面 向 量 数 量 积 的
设 向 量 « = (% ! ， 刃
(1) 数 量 积 ： " • 方 =l
(2) 模 ：
建 立 如 图 所 示 的 平 面
••• £)( 0,0 )， 4(2 ,0)
，
C( 0,
a) j
B( 1,
a) ,
P( 0, x).
B4 = (2, x), PB = (1,
a —
・ • • 烦 + 3 丙 =( 5,3 a
I烦 + 3 筋 |2 = 25 + (3 。
当 时 取 等 号 .
(3) 如 图 ， 以 人 点 为 坐
平 面 直 角 坐 标 系 ， 则
A( 0,0 ), B( 2,0 ), C( 2,l ), D(
,r
L
\B M\
设 一 ZT
I
BC \
I
丙
I
CD \
= 则 点 M 的 坐 标 为 (2,
坐 标 为 (2 — 2 化 1),
则
AM =( 2,
町 ,
・°
・
Zl = (2 +a )2 — 4(a +
即 点 C 在 线 段 4B 的 中
• 点 评 在 利 用 平 面
几 何 中 的 问 题 时 ,
平 面 直 角 坐 标 系 ,易 的 多 ・
课
堂
总
结
反思 归 纳， 感悟 提升
• ［ 思 想 方 法 ］
• 1.
计 算 数 量 积 的
算 、 数 量 积 的 几 何
1 为 半 径 的 圆 .
而 lcl =V ?+ y2,
・
・.| c| 的 最
即 Icl ma x= {^ +1
・
• 微 型 专 题 坐 标 化
• 由 于 平 面 向 量 的
积 解 决 夹 角 、 模 、
图 形 的 特 点 ， 建 立
向 量 的 代 数 意 义 ，便 快 捷 .
【 例 4 】 ⑴ 若 a,
凉
=(
而 0 故 1 W 4 — 3£ W 4
规 律 方 法
（
1 ） 根 据
a ・ b
量 ， cos 0= 函 亦 夹 角 公
数 量 积 可 以 用 来 解 决
（
2 ） 数 量 积 大 于 0 说
于 0 说 明 不 共 线 的 两
量 不 共 线 时 两 向 量 的
【 训 练 2 】 (1) 已 知 «
面 角 的 关 系 是 相 等7T
【 训 练 1 】 ⑴ 已 知 两
= 引 一 2 匕 ， 方 2= 30 1+
(2) 已 知 点 4,
B,
C 满 足 IA
+B C G4 + G4 A B 的 值 是 ⑵ 法 一 如 图 ,
7T 3
根 据 题 意 可 得
△
A BC
4
:. AB BC +B CC A + CA AB =B CC A + CA AB
・
・
・l
(2) 建 立 如 图 所 示 的 直 单 位 向 量 ，
•I 可 设 O A= a= (h O), d§ =b
oc =
c =( 兀 ， y)
・
C. c_ a_ b = (x
_ 1,
y_
• / \c — a — b\ =
1
+y
••• (x — 1)2 +® — 1)2 =1, 即 点
• 第
3
讲 平 面
• 最 新 考 纲
1
• 理
其 牛 勿 理 意 义 ；
2.
量 投 影 的 关 系 ；
3.
, 会 进 行 平 面 向 量
数 量 积 衾 示 两 个 向
判 断 两 个 平 面 向 量
梳理 自 测， 理解 记忆
• 知 识 梳 理
• 1.
平 面 向 量 的 数
• (1 )
定 义 ： 已 知
+* 2, 兀 ， y W R. 若 ei
，
【 训 练 4 】 (1) (20 15桐 乡
中 ，
AD // BC .
ZA D C= 90
上 的 动 点 ， 则 闻 + 3
(2) (20 13 • 湖 南 卷 改 编 )
c 满 足
lc — a — b\ =l
解 析
（
1 ） 以 。 为 原
解 析 (1) 因 为 lal = l, I 勿 =2,
— ab — 2b
2
=
— 7, 所 _ 71
cos
(a , b}
=0 • 又 〈
a,
b)
(2) 由 打 丄 荒 ， 知 AP BC ==
= (2l)A BA CA A B2 +A — A X 9+ 4
2
7
=0, 解 得 久 = 乙 ・
(5) a • 方 =a
・
c(a H0 ), 贝 X !
)
2. （
20 14新 课 标 全 国
II
b\ =& ,
贝
\\ ab =
A
・
1 B
・
2 C
・
3
a, bj
茜 足l “+ 方 1= 寸 10, 1()
D
・
5
3. （
20 1 牛 山 东 卷 ） 己
方 的 夹 角 为 自 则 实 数
A. 2 书
4. 在 用
\a \= yp
求 向 量
用 向 量 的 坐 标 形 式
点 为 坐 标 原 点 的 坐
P
。 、
P
的 坐 标 解 .
解 析 (1) 设 « = (1, 0), 方 =
则
x2 ~h y2 =
1,
a — c
则 (a_ c) @ _c) =(l x)( x)
=x 2+ y2 —
x — y=
1 —
乂
a^ rb
— c= (l — x, 1 —
古 攵 ° • 方 =la llbl cos 〈
X^ lO Xc os 60 。 =1 0.
(2) 法 一 如 图 ，
深 度 思 考 对
于 第 ⑵ 小 题 同
学 们 首 先 想 到
的 方 法 是 什 么
? 这 里 提 醒 同
!1!
学 们 此 题 可 有
三 种 解 法 ： 法
一 利 用 定 义 ;
\a ~\ ~b \= (a +b )2
— 寸
1+ 2c os 彳 +1 =^/ ^.
(2) 由 1 劭 1= 1 知 ， 点 Z)
设
Z)( x, y), 则
(x 3f +y 2=
\j (x ~ 1)2 + (j+ \^3 )2
表
又
IP Cl =^ (31)2 +( 0+ ^3) 2故= 选
B. a/3
C. 0
ห้องสมุดไป่ตู้ ,a/ 3), b= (3
9
m) .
若 向 )
D
・
一 书
解 析
Va = (l,
a/3 ), b = (3
/• lai = 2, 1 勿 = 寸
9+
加 TV
乂
a, b
的 夹 角 为j
• ab 7t
• • 丽
=c os &
2
，
• : 寸 §+ 加 = 寸 9+ 加
4
・
(20 14新 课 标 全 国I 卷
b,
c 均
c) W O, 贝 ％ + 〃 一 cl 的 ()
A. ^21 B. 1 C. ^2 D. 2
(2) (20 13 • 浙 江 卷 ) 设 厶
=^ AB ,
且 对 于 边
AB ±
贝I 」
A
・
ZA BC =9 0°
B
・
ZB AC =9 0°
C
・
AB =A C
D
・
AC =B C
• 点 拨 ⑴ 设 出 。 ，
\a +b \ =
()
A. 1 B. 边 C 萌 D. 2
(2) (20 1 牛 湖 南 卷 ) 在 平
3(0 , 羽 ) ， C( 3,0 ), 动 点 的 取 值 范 围 是
()
A
・
[4, 6] B. [ 佰 — 1
，
C. [2^ 3, 2^ 7] D
・
[^7 -1, V7
TT
解 析 ⑴ 因 为 向 量 a, b
D.
规 律 方 法
（
1 ） 求 向
（ a± b ）
2
= \a \2 ±
② 几 何 法 ， 利 用 向 量
边 形 法 则 或 三 角 形 法
解 .
（
2 ） 求 向 量 模
表 示 成 某 个 变 量 的 函
形 结 合 法 ） ， 弄 清 所 形 求 解 .
【 训 练 3 】
（
20 13 • 浙
\a
I—
\j aa —
々、 +山 八
*b xx x2 +y xy
2
⑶ 夹 角 ： 心 片 丽 =* 而
⑷ 两 非 零 向 量 a 丄 b
(5) la
・
bl Wl all 方 1( 当 且
• 3.
平 面 向 量 数 量
• ⑴
a
b = b
( 交
• (2 )
加
b = X (
• (3 )( a + b)
1 尸 +® — 1 尸 二 寸 3 —
⑵ 设
AB =4 ,
以 所 在 直
轴 建 立 坐 标 系 ， 则 A(
P( x,0 ),
PB =
(2 — x,0 ),
PC
• • Pq
B
— (19 0)
9 P° C
则
PB PC ^P ^B P^ C^ (2 ~x
0) 兀 + 。 +1 三 0 彳 旦
=4 X 5c os
（
7t — C ）
+5
= — 20 cos C — 15 cos
A
4 3
=20 X15 X-
=25.
法 二 易 ^A B+ BC +C A = O,
将 其 两 边 平 方 可 得 A
BC CA ) = O, ^^ AB BC +A
= — 25
・
考 点 二 平 面 向 量 的 夹
c —•
诊 断 自 测
• 1
• 思 考 辨 析 (
• (1 )
向 量 在 另 一
量 ， 而 不 是 向 量 .
(2 )
两 个 向 量 的 数
的 加 、 减 、 数 乘 运兀
(3) 两 个 向 量 的 夹 角 的
(x )
(4) 若 必 >0, 则 a 和 方 的 夹 角 为 钝 角 .
(X )
CB =1 ,
.\ DE CB =\ CB \A = 1.
当 E 运 动 到 B 点 时 ，
投 影 最 大 即 为
DC =1
9
• 规 律 方 法
(1 )
求
方 法 ： 利 用 定 义 ；
利 用 数 量 积 的 几 何
图 形 的 向 量 数 量 积
向 量 的 加 减 运 算 或
运 算 • 但 一 定 要 注
法 二 以 射 线 A B, 4D 为 x
标 系 ， 则 4(0 ,0), B(l ,0), C(l ,l),
则
DE =( t,
1),
CB =( 0,
1) =1.
因 为 万 乙 =( 1,0 )， 所 以
故 屈 • 況 的 最 大 值 为
八y
D-
C
A
丽
E B
法 三 由 图 知 ， 无 论 E 都 是
【 例 1 】 (1) (20 14重 庆 卷
=(2, 6), 1^ 1= 71 0, 则
ab =_
(2) (20 15余 姚 中 学 测 试 )
是 4B 边 上 的 动 点 ， 则
最 大 值 为 __ __ _ •
解 析 (1) 由 “ =( — 2, — 6),
l« I= ^(2)2 + (6)2 =2 ^/1 0,