湖北省荆州市石首市第一中学2019-2020学年高三上学期11月月考数学(理)试题
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湖北省荆州市石首市第一中学2019-2020学年高三上学期11月月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知命题p： ，命题q： ，则p是q的（）
（1）由 ，利用三角形面积公式及余弦定理可得 的值，进而得的 的大小；
（2）由（1）有 ，利用正弦定理的边角关系得到 ，将 转化为关于 的三角函数，利用三角函数值域求最大值即可；
【详解】
（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得
即 又 ，
；
(2)由(1)知 ，△ABC的内角和 ，又 得 .
由正弦定理 ；
【详解】
解：由正弦定理知： ，即 ，
故 ，
所以 ，又 ，
由余弦定理得 ，
，
故 ，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10．B
【分析】
求出导函数f′（x）＝3x2+4ax+3b，由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，列出约束条件，利用线性规划求解2a﹣b的取值范围．
二、填空题
13．在等比数列 中， ，则 ห้องสมุดไป่ตู้_____．
14．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，且 的面积为 ，则 ______．
15．已知x，y均为正实数，且 ，则 的最小值为______．
16．已知定义域为 的奇函数 满足 ，且当 时， ，若函数 ， 有 个不同的零点，则实数 的取值范围是________．
【详解】
当 时， ，
当 时， ，
故 ，
据通项公式得
．
故选C．
【点睛】
本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意 的情况，是一道基础题．
7．D
【分析】
根据分段函数 在 上是增函数，则由每一段都是增函数且 左侧的函数值不大于右侧的函数值求解.
【详解】
因为函数 ，在 上是增函数，
所以 ，
解得 ，
故选：D
故 ，∴ .
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.
（2）错位相减法：若 是等差数列， 是等比数列，求 .
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有 ， ， 等.
（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.
21．（1） （2）证明见解析
【分析】
（1）函数 有两个极值点，转化为 在 内有两个不相等的实数解，利用函数的单调性和零点存在性定理即可得实数a的取值范围；
（2）构造新函数，利用单调性即可证明.
【详解】
（1）由 ，可得 ，
记 ，有题意，知 在 上存在两个零点.
∵ ，
当 时， ，则 在 上递增， 至少有一个零点，不合题意；
，
当且仅当 ，等号成立，
故答案为：1
16．
【分析】
本题先对 进行周期函数的判断，然后令 ，运用导数法对 的单调性进行分析，画出函数大致图象，再根据两个函数图象的比较分析即可得出结果．
【详解】
解：由于 且 是奇函数，
故 ，
，
是周期为4的周期函数，
令 ， ， ，则 ，
由 ，得 ， ，
当 时， 在 ， ， ， 上单调递增，在 上单调递减，
A． B． C． D．
10．已知函数 的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知定义在 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列 满足 ，且 （ 的前 ），则
A． B． C． D．
12．设函数 ，其中 ，存在 使得 成立，则实数 的最小值为
A． B． C． D．1
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．等比数列 中， ，则 （）
A． B． C．2D．4
4．若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（）
A． B． C． D．
6．已知数列 的前n项之和 ，则 的值为
【点睛】
本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题.
8．B
【详解】
化简 ，将 的图象向右平移了 个单位，再向上平移1个单位，得到 ，所以 ，又对任意实数 ，都有 成立，则 关于 对称，所以 为平衡位置处，所以 1.
9．D
【分析】
由正弦定理化简已知等式可求 ，进而可求B，由余弦定理，基本不等式可求 ，进而利用三角形面积公式即可得解．
【分析】
先根据 ，求出 ，进而求出函数 的解析式，然后对函数 进行求导，利用导数的几何意义求出 在点 处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求出切线方程.
【详解】
解： ，
，
即 ，
将 代入 ，
得 ，
，则 ，
在 处的切线斜率为 ，且 ，
函数 在 处的切线方程为： ，
即 .
故选：A.
6．C
【分析】
首先运用 求出通项 ，判断正负情况，再运用 即可得到答案．
∴ ，
∴ .
故选：D
4．D
【分析】
将函数 在区间 内存在单调递增区间，转化 在区间 成立，再转化为 ，进而可求出结果.
【详解】
因为函数 在区间 内存在单调递增区间，
所以 在区间 上成立，
即 在区间 上成立，
又函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
故当 时 最小，且 ，
即 ，得 .
故选：D
5．A
三、解答题
17．设△ 的内角 的对边长分别为 ，设 为△ 的面积，满足 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的最大值.
18．设函数 ，其中 .已知 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.
19．已知数列 的前 项和为 ， ，且 .
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.
2．B
【分析】
分别化简命题p和命题q，利用必要不充分条件的定义进行判断即可．
【详解】
命题p： 等价于 或 ；
命题q：
则p是q的必要不充分条件
故选：B
3．D
【分析】
利用等比数列的下标特点，即可得到结果.
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴
；
当 ，即 时， 取得最大值 .
【分析】
本题考查了正余弦定理的应用，根据三角形面积公式、余弦定理求角，利用正弦定理的边角关系，将关于边的代数式化为关于三角形内角的三角函数式求最值；
18．(Ⅰ) .
(Ⅱ) .
【详解】
试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知 及 可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
A．61B．65C．67D．68
7．已知函数 ，若 在 上是增函数，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．已知 ，将 的图象向右平移了 个单位，再向上平移1个单位，得到 的图象，若对任意实数 ，都有 成立，则
A． B．1C． D．0
9． 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ，则 的最大值为
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∵f（﹣x）=f（x），
∴f（ ﹣x）=﹣f（﹣x）
∴f（3+x）=﹣f（ +x）=﹣f（﹣x）=f（x）
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵数列{an}满足a1=﹣1，且 =2× +1，
∴a1=﹣1，且Sn=2an+n， 两式作差得 故
∴a5=﹣31， — .
故答案为D.
12．C
14．4
【分析】
利用正弦定理及两角和正弦公式可得 ，结合面积公式可知 ，再利用余弦定理可得答案.
【详解】
由 ，
可得 ，
即 ，
又 ，
∴ ， ,
又 ，
∴ ，
由余弦定理可得， ，
即 ，
∴ ，即 .
故答案为：4
15．1
【分析】
由 ，可得 ，展开后，运用基本不等式可得最值．
【详解】
∵x，y均为正实数，且 ，
∴ ，
（5）倒序相加法.
20．（1） ；（2） .
【详解】
分析：(1)先求导数，再求导函数小于零不等式得单调递减区间；(2)先化简不等式为 ，再利用导数确定函数 在[1,2]上单调性，得最值，再分离变量，根据对应函数最值确定实数 的取值范围.
详解：（1） , ，
∴ 的递减区间为 .
（2） ，
由 知 ∴ 在 上递减，
∴ ， ，
对 恒成立，∴ .
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
作出函数 ， 的大致图象如图1所示，
有5个不同的零点，
（3） （3） ，解得 ；
②当 时， ，显然满足题意；
③当 时， 在 ， ， ， 上单调递减，在 上单调递增，
作出函数 ， 的大致图象如图2所示，
有5个不同的零点，
，
解得 ，
综上， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
17．（1） ；（2） .
【分析】
从而 .
根据 得到 ，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为 ，
所以
由题设知 ，
所以 ， .
故 ， ，又 ，
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以 .
因为 ，
所以 ，
当 ，
即 时， 取得最小值 .
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
19．（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据 可得 ， ，根据等比数列的通项公式可求得结果.
（2）根据 ，运用错位相减法求和法可得 ，可证不等式成立.
【详解】
解：（1）当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
数列 是公比为3的等比数列，∴ .
（2）由（1）得： ，又 ，①，
∴ ，②，两式相减得： ，
（1）求 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 与y轴交于 两点， 为 上任一点，求 的最小值.
23．已知函数 .
（1）若 ，使得不等式 成立，求实数m的最小值M；
（2）在（1）的条件下，若正数a，b满足 ，求 的最小值.
参考答案
1．A
【分析】
首先解得集合 ， ，再根据补集的定义求解即可.
【详解】
解： ， ， ，故选A．
【详解】
由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b，
f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，
由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，
即 ，令z＝2a﹣b，
∴转化为在约束条件为 时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，设数列 的前 项和为 ， ，证明 .
20．已知函数 ．
当 时，求 的单调递减区间；
对任意的 ，及任意的 ， ，恒有 成立，求实数t的取值范围．
21．已知函数 （ ， 为常数）在 内有两极值点
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证： .
22．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 ，曲线 .
【详解】
函数f(x)可以看作动点P(x,lnx2)与点Q(a,2a)的距离的平方,点P在曲线y=2lnx上,点Q在直线y=2x上,问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值,由y=2lnx求导可得 ,令y′=2,解得x=1,此时y=2ln1=0,则M(1,0),所以点M(1,0)到直线y=2x的距离 即为直线与曲线之间最小的距离,故 .
当 时，由 ，得 ，
（i）若 且 ，即 时， 在 上递减， 递增；
则 ，且 ，
从而 在 和 上各有一个零点.
所以 在 上存在两个零点.
（ii）若 ，即 时， 在 上递减， 至多一个零点，舍去.
目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A（ ，0）处取得最大值 ，在（ ，0）处取得最小值 ，
因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（ ， ）．
故选B．
【点睛】
本题考查导数求导法则，导数极值的综合应用，考查平面线性规划的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．D
【详解】
∵函数f（x）是奇函数
由于存在x0使得f(x0)⩽b,则f(x)min⩽b,即 ，
本题选择C选项.
13．1
【分析】
设等比数列的公比为 ，根据题意，列出方程组，求得 ，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】
由题意，设等比数列的公比为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式和前 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知命题p： ，命题q： ，则p是q的（）
（1）由 ，利用三角形面积公式及余弦定理可得 的值，进而得的 的大小；
（2）由（1）有 ，利用正弦定理的边角关系得到 ，将 转化为关于 的三角函数，利用三角函数值域求最大值即可；
【详解】
（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得
即 又 ，
；
(2)由(1)知 ，△ABC的内角和 ，又 得 .
由正弦定理 ；
【详解】
解：由正弦定理知： ，即 ，
故 ，
所以 ，又 ，
由余弦定理得 ，
，
故 ，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10．B
【分析】
求出导函数f′（x）＝3x2+4ax+3b，由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，列出约束条件，利用线性规划求解2a﹣b的取值范围．
二、填空题
13．在等比数列 中， ，则 ห้องสมุดไป่ตู้_____．
14．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，且 的面积为 ，则 ______．
15．已知x，y均为正实数，且 ，则 的最小值为______．
16．已知定义域为 的奇函数 满足 ，且当 时， ，若函数 ， 有 个不同的零点，则实数 的取值范围是________．
【详解】
当 时， ，
当 时， ，
故 ，
据通项公式得
．
故选C．
【点睛】
本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意 的情况，是一道基础题．
7．D
【分析】
根据分段函数 在 上是增函数，则由每一段都是增函数且 左侧的函数值不大于右侧的函数值求解.
【详解】
因为函数 ，在 上是增函数，
所以 ，
解得 ，
故选：D
故 ，∴ .
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.
（2）错位相减法：若 是等差数列， 是等比数列，求 .
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有 ， ， 等.
（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.
21．（1） （2）证明见解析
【分析】
（1）函数 有两个极值点，转化为 在 内有两个不相等的实数解，利用函数的单调性和零点存在性定理即可得实数a的取值范围；
（2）构造新函数，利用单调性即可证明.
【详解】
（1）由 ，可得 ，
记 ，有题意，知 在 上存在两个零点.
∵ ，
当 时， ，则 在 上递增， 至少有一个零点，不合题意；
，
当且仅当 ，等号成立，
故答案为：1
16．
【分析】
本题先对 进行周期函数的判断，然后令 ，运用导数法对 的单调性进行分析，画出函数大致图象，再根据两个函数图象的比较分析即可得出结果．
【详解】
解：由于 且 是奇函数，
故 ，
，
是周期为4的周期函数，
令 ， ， ，则 ，
由 ，得 ， ，
当 时， 在 ， ， ， 上单调递增，在 上单调递减，
A． B． C． D．
10．已知函数 的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知定义在 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列 满足 ，且 （ 的前 ），则
A． B． C． D．
12．设函数 ，其中 ，存在 使得 成立，则实数 的最小值为
A． B． C． D．1
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．等比数列 中， ，则 （）
A． B． C．2D．4
4．若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（）
A． B． C． D．
6．已知数列 的前n项之和 ，则 的值为
【点睛】
本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题.
8．B
【详解】
化简 ，将 的图象向右平移了 个单位，再向上平移1个单位，得到 ，所以 ，又对任意实数 ，都有 成立，则 关于 对称，所以 为平衡位置处，所以 1.
9．D
【分析】
由正弦定理化简已知等式可求 ，进而可求B，由余弦定理，基本不等式可求 ，进而利用三角形面积公式即可得解．
【分析】
先根据 ，求出 ，进而求出函数 的解析式，然后对函数 进行求导，利用导数的几何意义求出 在点 处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求出切线方程.
【详解】
解： ，
，
即 ，
将 代入 ，
得 ，
，则 ，
在 处的切线斜率为 ，且 ，
函数 在 处的切线方程为： ，
即 .
故选：A.
6．C
【分析】
首先运用 求出通项 ，判断正负情况，再运用 即可得到答案．
∴ ，
∴ .
故选：D
4．D
【分析】
将函数 在区间 内存在单调递增区间，转化 在区间 成立，再转化为 ，进而可求出结果.
【详解】
因为函数 在区间 内存在单调递增区间，
所以 在区间 上成立，
即 在区间 上成立，
又函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
故当 时 最小，且 ，
即 ，得 .
故选：D
5．A
三、解答题
17．设△ 的内角 的对边长分别为 ，设 为△ 的面积，满足 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的最大值.
18．设函数 ，其中 .已知 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.
19．已知数列 的前 项和为 ， ，且 .
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.
2．B
【分析】
分别化简命题p和命题q，利用必要不充分条件的定义进行判断即可．
【详解】
命题p： 等价于 或 ；
命题q：
则p是q的必要不充分条件
故选：B
3．D
【分析】
利用等比数列的下标特点，即可得到结果.
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴
；
当 ，即 时， 取得最大值 .
【分析】
本题考查了正余弦定理的应用，根据三角形面积公式、余弦定理求角，利用正弦定理的边角关系，将关于边的代数式化为关于三角形内角的三角函数式求最值；
18．(Ⅰ) .
(Ⅱ) .
【详解】
试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知 及 可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
A．61B．65C．67D．68
7．已知函数 ，若 在 上是增函数，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．已知 ，将 的图象向右平移了 个单位，再向上平移1个单位，得到 的图象，若对任意实数 ，都有 成立，则
A． B．1C． D．0
9． 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ，则 的最大值为
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∵f（﹣x）=f（x），
∴f（ ﹣x）=﹣f（﹣x）
∴f（3+x）=﹣f（ +x）=﹣f（﹣x）=f（x）
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵数列{an}满足a1=﹣1，且 =2× +1，
∴a1=﹣1，且Sn=2an+n， 两式作差得 故
∴a5=﹣31， — .
故答案为D.
12．C
14．4
【分析】
利用正弦定理及两角和正弦公式可得 ，结合面积公式可知 ，再利用余弦定理可得答案.
【详解】
由 ，
可得 ，
即 ，
又 ，
∴ ， ,
又 ，
∴ ，
由余弦定理可得， ，
即 ，
∴ ，即 .
故答案为：4
15．1
【分析】
由 ，可得 ，展开后，运用基本不等式可得最值．
【详解】
∵x，y均为正实数，且 ，
∴ ，
（5）倒序相加法.
20．（1） ；（2） .
【详解】
分析：(1)先求导数，再求导函数小于零不等式得单调递减区间；(2)先化简不等式为 ，再利用导数确定函数 在[1,2]上单调性，得最值，再分离变量，根据对应函数最值确定实数 的取值范围.
详解：（1） , ，
∴ 的递减区间为 .
（2） ，
由 知 ∴ 在 上递减，
∴ ， ，
对 恒成立，∴ .
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
作出函数 ， 的大致图象如图1所示，
有5个不同的零点，
（3） （3） ，解得 ；
②当 时， ，显然满足题意；
③当 时， 在 ， ， ， 上单调递减，在 上单调递增，
作出函数 ， 的大致图象如图2所示，
有5个不同的零点，
，
解得 ，
综上， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
17．（1） ；（2） .
【分析】
从而 .
根据 得到 ，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为 ，
所以
由题设知 ，
所以 ， .
故 ， ，又 ，
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以 .
因为 ，
所以 ，
当 ，
即 时， 取得最小值 .
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
19．（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据 可得 ， ，根据等比数列的通项公式可求得结果.
（2）根据 ，运用错位相减法求和法可得 ，可证不等式成立.
【详解】
解：（1）当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
数列 是公比为3的等比数列，∴ .
（2）由（1）得： ，又 ，①，
∴ ，②，两式相减得： ，
（1）求 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 与y轴交于 两点， 为 上任一点，求 的最小值.
23．已知函数 .
（1）若 ，使得不等式 成立，求实数m的最小值M；
（2）在（1）的条件下，若正数a，b满足 ，求 的最小值.
参考答案
1．A
【分析】
首先解得集合 ， ，再根据补集的定义求解即可.
【详解】
解： ， ， ，故选A．
【详解】
由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b，
f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，
由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，
即 ，令z＝2a﹣b，
∴转化为在约束条件为 时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，设数列 的前 项和为 ， ，证明 .
20．已知函数 ．
当 时，求 的单调递减区间；
对任意的 ，及任意的 ， ，恒有 成立，求实数t的取值范围．
21．已知函数 （ ， 为常数）在 内有两极值点
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证： .
22．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 ，曲线 .
【详解】
函数f(x)可以看作动点P(x,lnx2)与点Q(a,2a)的距离的平方,点P在曲线y=2lnx上,点Q在直线y=2x上,问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值,由y=2lnx求导可得 ,令y′=2,解得x=1,此时y=2ln1=0,则M(1,0),所以点M(1,0)到直线y=2x的距离 即为直线与曲线之间最小的距离,故 .
当 时，由 ，得 ，
（i）若 且 ，即 时， 在 上递减， 递增；
则 ，且 ，
从而 在 和 上各有一个零点.
所以 在 上存在两个零点.
（ii）若 ，即 时， 在 上递减， 至多一个零点，舍去.
目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A（ ，0）处取得最大值 ，在（ ，0）处取得最小值 ，
因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（ ， ）．
故选B．
【点睛】
本题考查导数求导法则，导数极值的综合应用，考查平面线性规划的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．D
【详解】
∵函数f（x）是奇函数
由于存在x0使得f(x0)⩽b,则f(x)min⩽b,即 ，
本题选择C选项.
13．1
【分析】
设等比数列的公比为 ，根据题意，列出方程组，求得 ，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】
由题意，设等比数列的公比为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式和前 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.