八年级数学上册第五章相交线与平行线单元测试卷测试题(Word版 含解析)

八年级数学上册第五章相交线与平行线单元测试卷测试题（Word版含解析）
一、选择题
1．给出下列4个命题：①同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④两直线平行，同位角相等．其中，假命题的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( )
A．4cm B．2cm;C．小于2cm D．不大于2cm
3．如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=50°，则∠2的度数是（）
A．50B．60C．70D．80
4．如图，AB∥CD，直线MN与AB、CD分别交于点E、F，FG平分∠EFD，EG⊥FG于点G，若∠CFN＝110°，则∠BEG＝()
A．20°B．25°C．35°D．40°
5．如图，直线a∥b，把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）
A．45°B．35°C．30°D．25°
6．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，
④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④ 7．如图，已知AB ∥CD ，B
E 和D
F 分别平分∠ABF 和∠CDE ，2∠E-∠F=48°，则∠CDE 的度
数为( )．
A ．16°
B ．32°
C ．48°
D ．64°
8．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD 的是( )
A ．∠1=∠3
B ．∠2=∠3
C ．∠1=∠4
D ．∠3=∠4 9．如图，将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF 若5BC cm =，则EC 的
长为（ ）
A ．2cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．8cm
10．如图，//AB EF ，90C ∠=︒，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是（ ）
A ．βαγ∠=∠+∠
B ．180αβγ∠+∠+∠=︒
C ．90αβγ∠+∠-∠=︒
D ．90βγα∠+∠-∠=︒
11．如图，下列说法错误的是( )
A ．若a∥b，b∥c，则a∥c
B ．若∠1＝∠2，则a∥c
C ．若∠3＝∠2，则b∥c
D ．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c
12．已知：如图AB//EF ，BC CD ⊥，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是( )
A ．βαγ∠∠∠=+
B ．αβγ180∠∠∠++=
C ．αβγ90∠∠∠+-=
D ．βγα90∠∠∠+-=
二、填空题
13．如图，在平面内，两条直线1l ，2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p ，q 分别是点M 到直线1l ，2l 的距离，则称(,)p q 为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有________个．
14．如果1∠的两边分别平行于2∠的两边，且1∠比2∠的2倍少30，则
1∠=________．
15．如图，已知，∠ABG 为锐角，AH ∥BG ，点C 从点B （C 不与B 重合）出发，沿射线BG 的方向移动，CD ∥AB 交直线AH 于点D ，CE ⊥CD 交AB 于点E ，CF ⊥AD ，垂足为F （F 不与A 重合），若∠ECF ＝n°，则∠BAF 的度数为_____度．（用n 来表示）
16．如图①：MA 1∥NA 2，图②：MA11NA 3，图③：MA 1∥NA 4，图④：MA 1∥NA 5，……，
则第n 个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A n+1______.（用含n 的代数式表示）
17．如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，∠A ＝90°，EG ∥BC ，且CG ⊥EG 于G ，下列结论：①∠CEG ＝2∠DCB ；②∠DFB ＝12
∠CGE ；③∠ADC ＝∠GCD ；④CA 平分∠BCG ．其中正确的结论是_______．
18．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A ，B ，C 三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即AE ∥CD )，若∠A =120°，∠B =150°,则∠C 的度数是________
19．如图，AD 平分,34BDF ∠∠=∠，若150,2130∠=︒∠=︒，则
CBD ∠=________︒．
20．如图,AC ∥BD,AE 平分∠BAC 交BD 于点E,若∠1=62°，则∠2=______.
三、解答题
21．如图1，AB CD ∥ ，130PAB ∠=︒ ，120PCD ∠=︒ ，求APC ∠的度数．
小明的思路是：过P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．
（1）按小明的思路，求APC ∠的度数；
（问题迁移）
（2）如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用）：
（3）在（2）的条件下，如果点P 在B 、D 两点外侧运动时（点P 与点O 、B 、D 三点不重合），请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．
22．已知：直线l 分别交AB 、CD 与E 、F 两点，且AB ∥CD ．
（1） 说明：∠1=∠2；
（2） 如图2，点M 、N 在AB 、CD 之间，且在直线l 左侧，若∠EMN +∠FNM =260°， ①求：∠AEM +∠CFN 的度数；
②如图3，若EP 平分∠AEM ，FP 平分∠CFN ，求∠P 的度数；
（3） 如图4，∠2=80°，点G 在射线EB 上，点H 在AB 上方的直线l 上，点Q 是平面内一点，连接QG 、QH ，若∠AGQ =18°，∠FHQ =24°，直接写出∠GQH 的度数．
23．如图1，//,AB CD 直线MN 分别交AB CD 、于点,E F BEF ∠、与EFD ∠的角平分
线交于点P EP ，与CD 交于点G GH EG ⊥,交MN 于H ．
（1）求证：
// ;PF GH （2）如图2，连接PH K ,为GH 上一动点，PHK HPK PO ∠=∠,平分EPK ∠交MN 于,Q 则HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
24．如图，已知//,60AM BN A ︒
∠=，点P 是射线AM 上一动点(与点A 不重合)，BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点.C D 、
()1CBD ∠=
()2若点P 运动到某处时，恰有ACB ABD =∠∠，此时AB 与BD 有何位置关系?请说明理由．
()3在点P 运动的过程中，APB ∠与ADB ∠之间的关系是否发生变化?若不变，请写出它们的关系并说明理由；若变化，请写出变化规律．
25．如图1．已知直线AB ED ．点C 为AB ，ED 内部的一个动点，连接CB ，CD ，作ABC ∠的平分线交直线ED 于点E ，作CDE ∠的平分线交直线BA 于点A ，BE 和DA 交于点F ．
（1）若180FDC ABC ∠+∠=︒，猜想AD 和BC 的位置关系，并证明；
（2）如图2，在（1）的基础上连接CF ，则在点C 的运动过程中，当满足CF AB ∥且32
CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数． 26．问题情境：
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC 中，60,30,90BAC B C ∠=∠=︒∠=︒︒，长方形DEFG 中，DE GF ．
问题初探：
（1）如图（1），若将三角板ABC 的顶点A 放在长方形的边GF 上，BC 与DE 相交于点M ，AB DE ⊥于点N ，求EMC ∠的度数．
分析：过点C 作CH GF ∥，则有CH DE ∥，从而得
,CAF HCA EMC MCH ∠=∠∠=∠，从而可以求得EMC ∠的度数．
由分析得，请你直接写出：CAF ∠的度数为____________，EMC ∠的度数为___________．
类比再探：
（2）若将三角板ABC 按图（2）所示方式摆放（AB 与DE 不垂直），请你猜想写出CAF ∠与EMC ∠的数量关系，并说明理由．
27． [问题解决]：如图1，已知AB ∥CD ，E 是直线AB ，CD 内部一点，连接BE ，DE ，若∠ABE=40°，∠CDE=60°，求∠BED 的度数．
嘉琪想到了如图2所示的方法，但是没有解答完，下面是嘉淇未完成的解答过程： 解：过点E 作EF ∥AB ，
∴∠ABE=∠BEF=40°
∵AB ∥CD ，
∴EF ∥CD ，
…
请你补充完成嘉淇的解答过程：
[问题迁移]：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：
如图3，AB ∥CD ，射线OM 与直线AB ，CD 分别交于点A ，C ，射线ON 与直线AB ，CD 分别交于点B ，D ，点P 在射线ON 上运动，设∠BAP=α，∠DCP=β．
（1）当点P 在B ，D 两点之间运动时(P 不与B ，D 重合)，求α，β和∠APC 之间满足的数量关系．
（2）当点P 在B ，D 两点外侧运动时(P 不与点O 重合)，直接写出α，β和∠APC 之间满足的数量关系．
28．如图1,在四边形ABCD 中，A D BC ,A=C ∠∠.
(1)求证：B=D ∠∠;
(2)如图2,点E 在线段AD 上，点G 在线段AD 的延长线上，连接BG ,AEB=2G ∠∠,求证：BG 是EBC ∠的平分线;
(3)如图3,在(2)的条件下，点E 在线段AD 的延长线上，EDC ∠的平分线DH 交BG 于点H ,若ABE=66∠︒．,求B HD ∠的度数.
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据平行线的判定方法对①进行判断；据对顶角的定义对②进行判断；根据平行线的性质
对④进行判断；根据补角的定义对③进行判断．
【详解】
两直线平行，同旁内角互补，所以①错误;
相等的角不一定是对顶角，所以②错误；
等角的补角相等，所以③正确；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以④正确；；
故选B.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质及判定，对顶角的性质等，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．
【详解】
当PC⊥l时，PC是点P到直线l的距离，即点P到直线l的距离2cm，
当PC不垂直直线l时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线l的距离小于
2cm，
综上所述：点P到直线l的距离不大于2cm，
故选D．
【点睛】
考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．
3．D
解析：D
【分析】
利用角平分线和平行的性质即可求出．
【详解】
∵AB∥CD
∴∠ABC=∠1=50°，∠ABD+∠BDC=180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=100°，
∴∠BDC=180°-∠ABD=80°，
∴∠2=∠BDC=80°．
故选D．
【点睛】
本题考查的是平行，熟练掌握平行的性质和角平分线的性质是解题的关键.
4．C
解析：C
【分析】
已知∠CFN＝110°，根据对顶角相等可得∠DFE＝∠CFN＝110°，因为FG平分∠EFD，由角
平分线的定义可得∠EFG＝1
2
∠EFD＝55°；再由EG⊥FG，可得∠G＝90°，即可求得∠GEF
＝35°；又因AB∥CD,∠EFD＝110°，根据平行线的性质可得∠BEF＝70°，即可得∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝35°.
【详解】
∵∠CFN＝110°，
∴∠DFE＝∠CFN＝110°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝1
2
∠EFD＝55°，
又EG⊥FG，即∠G＝90°，
∴∠GEF＝35°，
∵AB∥CD,∠EFD＝110°，
∴∠BEF＝70°，
∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝35°.
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义以及角平分线的性质．熟练运用相关知识是解决问题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
由a与b平行，利用两直线平行同位角相等求出∠3的度数，再利用平角定义及∠4为直角，即可确定出所求角的度数．
【详解】
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°，
∵∠4＝90°，∠3+∠4+∠2＝180°，
∴∠2＝30°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根据平行线的性质求角的度数，利用直角转化角是一种比较常见的方法，在一条直线上，3个角共顶点，且有一个角为直角，则另两个角的和为90°．
6．D
解析：D
【分析】
根据E点有4中情况，分四种情况讨论分别画出图形，根据平行线的性质与三角形外角定理求解.
【详解】
E点有4中情况，分四种情况讨论如下：
由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α
过点E2作AB的平行线，由AB∥CD，
可得∠1=∠BAE2=α,∠2=∠DCE2=β
∴∠AE2C=α+β
由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β
由AB∥CD，可得
∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β
∴∠AEC的度数可能是①α+β，②α﹣β，③β-α，④360°﹣α﹣β，故选D.
【点睛】
此题主要考查平行线的性质与外角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
已知BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，根据角平分线分定义可得∠ABE=1
2
∠ABF，
∠CDF=1
2
∠CDE；过点E作EM//AB，点F作FN//AB，即可得////
AB CD EM//FN，由
平行线的性质可得∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，由此可
得∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=1
2
∠ABF+∠CDE，
∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +1
2
∠CDE，又因2∠BED-∠BFD=48°，即可得2
（1
2
∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +
1
2
∠CDE）=48°，由此即可求得∠CDE=32°.
【详解】
∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，
∴∠ABE=1
2
∠ABF，∠CDF=
1
2
∠CDE，
过点E作EM//AB，点F作FN//AB，
∵//
AB CD，
∴////
AB CD EM//FN，
∴∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，
∴∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=1
2
∠ABF+∠CDE，
∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +1
2
∠CDE，
∵2∠BED-∠BFD=48°，
∴2（1
2
∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +
1
2
∠CDE）=48°，
∴∠CDE=32°.
故选B.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质确定有关角之间的关系是解决问题的关键. 8．C
解析：C
【解析】
根据平行线的判定，可由∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，得到AD∥BC，由
∠1=∠4，得到AB∥CD.
故选C.
9．A
【分析】
由平移性质可得：BC=EF ，CF=3,cm 可得EC=EF-CF ．
【详解】
因为将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF
所以EF=5BC cm =，CF=3,cm
所以EC=5-3=2(cm)
故选：A
【点睛】
考核知识点：平移性质．抓住平移性质：对应边相等，是解题关键．
10．C
解析：C
【分析】
分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．
【详解】
如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，
∵AB//EF ，
∴AB//CM //DN //EF ，
∴αBCM ∠∠=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，
∴αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠+=++=++，
又∵BC CD ⊥，
∴BCD 90∠=，
∴αβ90γ∠∠∠+=+，
即αβγ90∠∠∠+-=，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b ，b//c ⇒a//c ．
11．C
解析：C
试题分析：根据平行线的判定进行判断即可．
解：A 、若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，利用了平行公理，正确；
B 、若∠1=∠2，则a ∥c ，利用了内错角相等，两直线平行，正确；
C 、∠3=∠2，不能判断b ∥c ，错误；
D 、若∠3+∠5=180°，则a ∥c ，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；
故选C ．
考点：平行线的判定．
12．C
解析：C
【分析】
分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．
【详解】
解：
如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，
AB//EF ，
AB//CM //DN //EF ∴，
αBCM ∠∠∴=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，
αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠∴+=++=++，
又BC CD ⊥，
BCD 90∠∴=，
αβ90γ∠∠∠∴+=+，
即αβγ90∠∠∠+-=，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b ，b//c ⇒a//c ．
二、填空题
13．4
【分析】
到的距离是2的点，在与平行且与的距离是2的两条直线上；同理，点在与的距离是1的点，在与平行，且到的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解析：4
【分析】
到1l的距离是2的点，在与1l平行且与1l的距离是2的两条直线上；同理，点M在与2l的距离是1的点，在与2l平行，且到2l的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：到1l的距离是2的点，在与1l平行且与1l的距离是2的两条直线上；
到2l的距离是1的点，在与2l平行且与2l的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是(2,1)的点共有4个．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了到直线的距离等于定长的点的集合．
14．或
【分析】
由两个角的两边分别平行，画出图形可得这两个角相等或互补，依此列出方程，解方程即可得出结果．
【详解】
解：∵∠1比∠2的2倍少30°，∴∠1=2∠2-30°．
根据∠1的两边与∠2的两
解析：30或110
【分析】
由两个角的两边分别平行，画出图形可得这两个角相等或互补，依此列出方程，解方程即可得出结果．
【详解】
解：∵∠1比∠2的2倍少30°，∴∠1=2∠2-30°．
根据∠1的两边与∠2的两边分别平行，分两种情况：
如图①，根据平行可得，∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，则
2∠2-30°=∠2，解得∠2=30°，∴∠1=30°；
如图②，根据平行可知，∠1=∠3，∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，则
2∠2-30°+∠2=180°，解得∠2=70°，∴∠1=110°．
综上所述，∠1的度数为30°或110°．
故答案为：30°或110°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，注意分类讨论思想的应用．
15．n或180﹣n
【分析】
分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】
解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵
解析：n或180﹣n
【分析】
分两种情况讨论：当点M在线段BC上；点C在BM延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】
解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，
过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝n°，
综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，
故答案为：n或180﹣n．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
16．【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2
解析：n180︒
【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2×180∘，
如图③中,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540∘=3×180∘，
…，
第n个图,∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1学会从=n180︒，
故答案为180n︒.
点睛：平行线的性质.
17．①②③
【解析】
①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴解析：①②③
【解析】
①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+1 2
（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=1
2
∠CGE，则②
正确；
③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°.∵EG∥BC，且EG⊥CG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，则③正确；
④无法证明CA平分∠BCG，则④错误.
故答案为①②③.
18．150°
【解析】
如图，过点B作BG∥AE，
因为AE∥CD，所以AE∥BG∥CD.
所以∠A=∠2，∠1+∠C=180°.
因为∠A=120°，所以∠2=120°，所以∠1=150°-120°=
解析：150°
【解析】
如图，过点B作BG∥AE，
因为AE∥CD，所以AE∥BG∥CD.
所以∠A=∠2，∠1+∠C=180°.
因为∠A=120°，所以∠2=120°，所以∠1=150°-120°=30°.
所以∠C=180°-30°=150°，故答案为150°.
19．65
【分析】
利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】
∵∠1=50°，
∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，
∵∠2=130°，
解析：65
【分析】
利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．
【详解】
∵∠1=50°，
∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，
∵∠2=130°，
∴∠DBE=∠2，
∴AE∥CF，
∴∠4=∠ADF，
∵∠3=∠4，
∴∠EBC=∠4，
∴AD∥BC，
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADB=∠ADF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠4=∠CBD，
∴∠CBD=∠EBC=1
2
∠DBE=
1
2
×130°=65°．
故答案为：65．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．
20．121°
【分析】
由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即
解析：121°
【分析】
由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外
角的性质即可求得∠2的度数．【详解】
∵AC∥BD，
∴∠B=∠1=64°，
∴∠BAC=180°-∠1=180°-62°=118°，∵AE平分∠BAC交BD于点E，
∴∠BAE=1
2
∠BAC=59°，
∴∠2=∠BAE+∠B=62°+59°=121°．
故答案为121°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
三、解答题
21．（1）110°；（2）∠APC=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPA=∠α-∠β或∠CPA=∠β-∠α
【分析】
（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入
∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）∠APC=∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥PE ∥CD ，
∴∠α=∠APE ，∠β=∠CPE ，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）如图所示，当P 在BD 延长线上时，
∠CPA=∠α-∠β；
如图所示，当P 在DB 延长线上时，
∠CPA=∠β-∠α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
22．（1）理由见解析；（2）①80°，②40°；（3）38°、74°、86°、122°．
【分析】
（1）根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证；
（2）①过拐点作AB 的平行线，根据平行线的性质推理即可得到答案；
②过点P 作AB 的平行线，根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数；
（3）分情况讨论，画出图形，根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可．
【详解】
（1）
//AB CD
1EFD ∴∠=∠， 2EFD ∠=∠
12∠∠∴=；
（2）①分别过点M ，N 作直线GH ，IJ 与AB 平行，则//////AB CD GH IJ ，如图：
AEM EMH ∴∠=∠，CFN FNJ ∠=∠，180HMN MNJ ∠+∠=︒，
()80AEM CFN EMH FNJ EMN MNF HMN MNJ ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒；
②过点P 作AB 的平行线，
根据平行线的性质可得：3AEP ∠=∠，4CFP ∠=∠，
∵EP 平分∠AEM ，FP 平分∠CFN ， ∴11344022
AEP CFP AEM CFM ∠+∠=∠+∠=
∠+∠=︒， 即40P ∠=︒；
（3）分四种情况进行讨论：
由已知条件可得80BEH ∠=︒，
①如图：
118082EPG BEH AGQ ∠=︒-∠-∠=︒
182HPQ EPG ∴∠=∠=︒
11118074GQ H EHQ HPQ ∴∠=︒-∠-∠=︒
②如图：
104BPH FHP BEH ∠=∠+∠=︒，
22122BQ H BPH AGQ ∴∠=∠+∠=︒；
③如图：
56BPH BEH FHP ∠=∠-∠=︒，
3338BQ H BPH AGQ ∴∠=∠-∠=︒；
④如图：
104BPH BEH FHP ∠=∠+∠=︒ ，
4486GQ H BPH AGQ ∴∠=∠-∠=︒；
综上所述，∠GQH 的度数为38°、74°、86°、122°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等内容，解题的关键是掌握辅助线的作法以及分类讨论的思想．
23．（1）详见解析；（2）HPQ ∠的大小不发生变化，一直是45︒．
【分析】
（1）利用平行线的性质推知180BEF EFD ∠+∠=︒；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥，故结合已知条件GH EG ⊥，易证//PF GH ；
（2）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得49039022∠=︒-∠=︒-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知14522
QPK EPK ∠=∠=︒+∠；最后根据图形中的
角与角间的和差关系求得HPQ ∠的大小不变，是定值45︒．
【详解】
解：（1）证明：如图1，
//AB CD ，
180BEF EFD ∴∠+∠=︒．
又BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， 1()902
FEP EFP BEF EFD ∴∠+∠=∠+∠=︒， 90EPF ∴∠=︒，即EG PF ⊥．
GH EG ⊥，
//PF GH ∴；
（2）HPQ ∠的大小不发生变化，理由如下：
如图2，
12∠=∠， 322∠=∠∴． 又GH EG ⊥，
49039022∠=︒-∠=︒-∠∴．
18049022EPK ∠=︒-∠=︒+∠∴．
PQ ∵平分EPK ∠，
14522
QPK EPK ∴∠=∠=︒+∠． ∴245HPQ QPK ∠=∠-∠=︒，
∴HPQ ∠的大小不发生变化，一直是45︒．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④//a b ，////b c a c ⇒．
24．（1）60°；（2）AB BD ⊥，证明详见解析；（3）不变，2APB ADB ∠=∠，理由详见解析
【分析】
（1）由平行线的性质可得∠ABN ＝120°，即∠ABP +∠PBN ＝120°，再根据角平分线的定义知∠ABP ＝2∠CBP 、∠PBN ＝2∠DBP ，可得2∠CBP +2∠DBP ＝120°，即∠CBD ＝∠CBP +∠DBP ＝60°；
（2）由AM ∥BN 得∠ACB ＝∠CBN ，当∠ACB ＝∠ABD 时有∠CBN ＝∠ABD ，得
∠ABC +∠CBD ＝∠CBD +∠DBN ，即∠ABC ＝∠DBN ，再根据角平分线的定义可得
1 4
ABC CBP DBP DBN ABN ∠=∠=∠=∠=∠，最后根据∠ABN ＝120°可得390ABD ABC ︒∠=∠=，进而可得答案；
（3）由AM ∥BN 得∠APB ＝∠PBN 、∠ADB ＝∠DBN ，根据BD 平分∠PBN 知∠PBN ＝2∠DBN ，从而可得∠APB ＝2∠ADB ．
【详解】
解：（1）∵AM ∥BN ，∠A ＝60°，
∴∠A +∠ABN ＝180°，
∴∠ABN ＝120°；
∵AM ∥BN ，
∴∠ABN +∠A ＝180°，
∴∠ABN ＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABP +∠PBN ＝120°，
∵BC 平分∠ABP ，BD 平分∠PBN ，
∴∠ABP ＝2∠CBP ，∠PBN ＝2∠DBP ，
∴2∠CBP +2∠DBP ＝120°，
∴∠CBD ＝∠CBP +∠DBP ＝60°；
()2AB BD ⊥
理由： // AM BN
,180ACB CBN A ABN ︒∴∠=∠∠+∠=
ACB ABD ∠=∠
CBN ABD ∴∠=∠
CBN CBD ABD CBD ∴∠-∠=∠-∠，
即DBN ABC ∠=∠
BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠，
,ABC CBP DBP DBN ∴∠=∠∠=∠
1 4
ABC CBP DBP DBN ABN ∴∠=∠=∠=∠=∠ 180A ABN ︒∠+∠=
180 ********ABN A ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=
1304
ABC ABN ︒∴∠=∠= 390ABD ABC ︒∴∠=∠=，
即AB BD ⊥
()3不变．且2APB ADB ∠=∠
理由： // ,AM BN
,APB PBN ADB DBN ∴∠=∠∠=∠ BD 平分,PBN ∠
2PBN DBN ∴∠=∠
2.APB ADB ∴∠=∠
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
25．（1）AD BC ∥，见解析；（2）108°
【分析】
（1）//AD BC ，根据角平分线的性质可知EDF FDC ∠=∠，又因为//AB ED ，因此EDF DAB ∠=∠，推出FDC DAB ∠=∠，再结合已知条件即可得出结论；
（2）设DCF x ，则32CFB x ∠=，根据平行线的的性质有32
ABF CFB x ∠=∠=，再根据角平分线性质可得23ABC ABF x ∠=∠=，又因为//AD BC ，推出
3BCD ABC x ∠=∠=，2BCF x ∠=，由//CF AB 得180ABC BCF ∠+∠=︒，从而可解得x 的值，即可得出答案．
【详解】
解：（1）//AD BC ．
证明如下：
∵//AB ED ，
∴EDF DAB ∠=∠，
∵DF 平分EDC ∠，
∴EDF FDC ∠=∠，
∴FDC DAB ∠=∠，
∵180FDC ABC ∠+∠=︒，
∴180DAB ABC ∠+∠=︒，
∴//AD BC ．
（2）∵32CFB DCF ∠=
∠， ∴设DCF x ，则32CFB x ∠=
， ∵//CF AB ， ∴32
ABF CFB x ∠=∠=
， ∵BE 平分ABC ∠，
∴23ABC ABF x ∠=∠=，
由（1）得//AD BC ，
∴180FDC BCD ∠+∠=︒，
∵180FDC ABC ∠+∠=︒，
∴3BCD ABC x ∠=∠=，
∴2BCF x ∠=，
∵//CF AB ，
∴180ABC BCF ∠+∠=︒，
即32180x x +=︒，
解得36x =︒，
∴3108BCD x ∠==︒．
【点睛】
本题考查的主要知识点是平行线的判定及性质以及角平分线的性质，根据图形找准角与角之间的关系 是解此题的关键．
26．（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由见解析
【分析】
（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC 求出∠CAF 度数，求∠EMC 度数转化到∠MCH 度数； （2）过点C 作CH ∥GF ，得到CH ∥DE ，∠CAF 与∠EMC 转化到∠ACH 和∠MCH 中，从而发现∠CAF 、∠EMC 与∠ACB 的数量关系．
【详解】
（1）过点C 作CH ∥GF ，则有CH ∥DE ，
所以∠CAF=∠HCA ，∠EMC=∠MCH ，
∵∠BAF=90°，
∴∠CAF=90°-60°=30°．
∠MCH=90°-∠HCA=60°，
∴∠EMC=60°．
故答案为30°，60°．
（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：
过点C 作CH ∥GF ，则∠CAF=∠ACH ．
∵DE ∥GF ，CH ∥GF ，
∴CH ∥DE ．
∴∠EMC=∠HCM．
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．
【点睛】
考查了平行线的判定和性质，解题关键是熟记并灵活运用其性质和判定．
27．[问题解决]见解析；[问题迁移]（1）∠APC=α+β；（2）当点P在BN上时，
∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．
【分析】
问题解决：过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED的度数；
问题迁移：（1）过P作PQ∥AB，依据平行线的性质，即可得出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
（2）分两种情况讨论：过P作PQ∥AB，易得当点P在BN上时，∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．
【详解】
问题解决：
如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠ABE=∠BEF=40°
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠BED=∠B+∠D=40°+60°=100°；
问题迁移：
（1）如图3，过P作PQ∥AB，
∵AB ∥CD ，
∴PQ ∥CD ，
∴∠BAP=∠APQ ，∠DCP=∠CPQ ，
∴∠APC=∠BAP+∠DCP ，即∠APC=α+β；
（2）如图4，当点P 在BN 上时，∠APC=β-α；
如图5，当点P 在OD 上时，∠APC=α-β．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，并利用角的和差关系进行推算．
28．（1）见解析；（2）见解析；（3）57BHD ∠=︒.
【解析】
【分析】
(1)由AD BC ∥可得180A B ∠+∠=︒，进而可证180C B ∠+∠=︒，从而AB CD ∥，180A D +=︒∠∠，根据等角的补角相等可证B D ∠=∠；
（2）由AD BC ∥，可得CBG G ∠=∠，又2AEB G ∠=∠，可证EBG G ∠=∠，从而EBG CBG ∠=∠，可证BG 是EBC ∠的角平分线；
（3）设GDH HDC α∠=∠=，EBG CBG β∠=∠=，由AB CD ∥，可得6622180βα︒++=︒，即57αβ+=︒.过点H 作HP AB ,可证CD HP ，所以DHP HDC α∠=∠=，180DHP BHD ABE GBE ∠+∠+∠∠=︒＋，即
66180BHD α
β+∠+︒+=︒，进而可求出57BHD ∠=︒. 【详解】
解：(1)证明：∵AD BC ∥，
∴180A B ∠+∠=︒，
∵A C ∠=∠，
∴180C B ∠+∠=︒，
∴AB CD ∥，
∴180A D +=︒∠∠，
∴B D ∠=∠；
（2）∵AD BC ∥，
∴CBG G ∠=∠，
∵2AEB G ∠=∠，
∴2CBE G ∠=∠，
∴2EBG CBG G ∠+∠=∠，
∴EBG G ∠=∠，
∴EBG CBG ∠=∠，
∴BG 是EBC ∠的角平分线；
（3）∵DH 是GDC ∠的平分线，
∴GDH HDC ∠=∠，设GDH HDC α∠=∠=，
∵AD BC ∥，
∴2BCD GDC α∠=∠=.
设EBG CBG β∠=∠=，
∵AB CD ∥，
∴180ABC BCD ∠+∠=︒，
∴180ABE EBC BCD ∠+∠+∠=︒，
∵66ABE ∠=︒，
∴6622180βα︒++=︒，
∴57αβ+=︒.
过点H 作HP AB ，
∴180PHB ABH ∠+∠=︒，
∵AB CD ∥，
∴CD HP ，
∴DHP HDC α∠=∠=，
∴180DHP BHD ABE GBE ∠+∠+∠∠=︒＋，
即 66180BHD α
β+∠+︒+=︒， ∴57BHD ∠=︒.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本题的关键.解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．。