学案6：1.2.1 排列（二）

1.2.1 排列（二）
【学习目标】
熟练掌握排列数公式；熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法；
能运用已学的排列知识，正确地解决简单的实际问题
【复习回顾】
1.排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m n
≤）个元素（这里的被取元素各不相同）
按照一定的顺序
．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
．．．．.
2.排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m n
≤）个元素的所有排列的个数叫做从n个
元素中取出m元素的排列数，用符号m
n
A表示.
3.排列数公式：
!
(1)(2)(1)=
()!
=---+
-
m
n
n
n n n n m
n m
A（,,
m n m n
*
∈≤
N）
4.阶乘：!n表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!1
=．
一、没有限制条件的排列问题
【例1】从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法?
二、有限制条件的排列问题
【例2】用0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的六位数?
三、处理排列问题的典型问题和方法
【例3】三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法?
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法?
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法?
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法?
【变式演练1】5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的
选法?
【变式提升1】某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号?
【变式演练2】某年级开设语文、政治、外语、体育、数学、物理、化学七门课程，依下列条件课程表有多少种不同排法.
(1)一天开设七门不同课程，其中体育不排第一节也不排在第七节；
(2)一天开设四门不同课程，其中体育不排第一节也不排在第四节.
【变式提升2】用0，1，2，…9十个数字可组成多少个没有重复数字的：
(1)五位奇数?
(2)大于30 000的五位偶数?
【变式演练3】从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法?
【变式提升3】信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是( )(用数字作答)
随堂练习
1.某节假日，某校校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表，要求每一位领导值班一天，但校长甲与乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有()种不同的安排方法．
A．240 B．264
C．336 D．408
2.某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()
A．1 205秒B．1 200秒
C．1 195秒D．1 190秒
3.(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？
(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？
4.某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？
参考答案
【例1】解：从甲、乙、丙3名同学中任选2名分别参加上午、下午的活动，对应于从3个
元素中任取2个元素的一个排列，因此共有2
3A =3×2=6种不同的方法. 温馨提示
判断是否是排列问题，关键是看是否与顺序有关.此问题的活动分上午和下午.甲参加上午的活动，乙参加下午的活动与甲参加下午的活动，乙参加上午的活动是不同的选派方法，与顺序有关.因此，此题是排列问题.
【例2】解法一：从特殊元素入手，0只能放在除十万位外的其他五个数位上，故共组成
156
566A A A •+=4 320个没有重复数字的六位数.
解法二：从特殊位置入手，十万位不能排0，可先从其他6个数字中选出一个数字排到该位上，其他位置可随意排列，故共组成1
5
66A A •=4 320(个)没有重复数字的六位数.
解法三：用排除法：先不考虑任何限制条件，共组成6
7A 个六位数，但需去掉0在十万位上的情形，有5
6A 种，故共有6
7A -5
6A =4 320(个)没有重复数字的六位数. 温馨提示
有限制条件的排列问题，往往先考虑有限制条件的特殊元素或特殊位置，这可叫“特殊元素(位置)优先法”.
【例3】解：(1)(捆绑法)因为三个女生必须在一起，所以可以把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排共有6
6A 种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有3
3A 种不同的排法，因此共有6
6A ·33A =4 320种不同的排法.
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间一个空，这样共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，使得每个位置至多有一个女生插入，就能保证任意两个女生都不相邻，因此共有5
5A ·3
6A =14 400种不同的排法.
(3)(位置分析法)：因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2人，有2
5A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余6位都有6
6A 种排法，所以共有2
5A ·6
6A =14 400种不同的排法.
(4)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可以有1
5A ·7
7A 种不同的排法；如果首位是女生，有13A 种排法，这时末位就只能排男生，共有1
3A ·1
5A ·6
6A 种不同的排法，所以共有1
5A ·7
7A +1
3A ·1
5A ·6
6A =36 000种不同的排法.
【变式演练1】解：不同选法的种数有3
5A =5×4×3=60(种).
【变式提升1】解：用1面旗表示的信号有13A 种，用2面旗表示的信号有2
3A 种，用3面旗表示的信号有33A 种，根据分类计数原理，所求的信号数是13A +23A +3
3A
=3+3×2+3×2×1=15(种).
【变式演练2】解：(1)从元素考虑
先满足体育后再安排其他课，从2-6节中任取一节排体育有1
5A 种排法，再从剩下的6 节课中排其它课程有66A 种排法.依乘法原理有15A ·6
6A =3 600(种).
【变式提升2】解：(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有1
5A 种取法.取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的八种不同取法.首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位，百位与千位三个数位选取，共有3
8A 种不同的安排方法.因此由分步计数原理共有5×8×3
8A =13 440个没有重复数字的五位奇数.
(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类： ①末位数字从0，2中选取，则首位可取3、4、5、6、7、8、9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首末两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共3
8A 种取法.所以共有2×7×3
8A 种不同情况.
②末位数字从4、6、8中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有38A 种选法，所以共有3×6×3
8A 种不同情况.
由分类计数原理，共有2×7×38A +3×6×3
8A =10 752个比30 000大的无重复数字的五位偶数. 【变式演练3】解：设全集U ={6人中任取4人参赛的排列}，A ={甲跑第一棒的排列}， B ={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元集个数的公式可得参赛方法共有：
card(U )-card(A )-card(B )+card(A ∩B )=4332
6554A A A A --+=252(种).
【变式提升3】解：5面旗全排列有5
5A 种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只
能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是5
53232
A A A •=10(种).
随堂练习
1.【解析】(用排除法)62525224
62525224A A A A A +A A A 336--=．
【答案】C
2.【解析】由题意知，共有5
5A ＝120个不同的闪烁，而每一个闪烁要完成5个闪亮需用时5秒钟，共有120×5＝600秒，每两个闪烁之间需间隔5秒钟，共有120－1＝119个闪烁间隔，用时119×5＝595秒，故总用时600＋595＝1 195秒． 【答案】C
3.解：由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有3
4A ＝24种． ∵总的排法数为5
5A ＝120种， ∴甲在乙的右边的排法数为5
51A 602
=种． 4. 解：
解法一：依排第一节课的情形进行分类． ∵第一节排数学，第六节排体育的排法有4
4A 种； 第一节排数学，第六节不排体育的排法有1
4
44A A ⨯种； 第一节不排数学，第六节排体育的排法有14
44A A ⨯种； 第一节和第六节都不排数学和体育的排法有24
44A A ⨯种． ∴由分类加法计数原理，所求的不同的排法有
41424
44444A 2A A +A A 504+⨯⨯=种．
解法二：依数学课的排法进行分类．
∵数学排在第一节，体育排在第六节的排法有4
4A 种； 数学排在第一节，体育不排在第六节的排法有1
4
44A A ⨯种； 数学不排第一节，体育排在第六节的排法有14
44A A ⨯种； 数学、体育都不排在第一节和第六节的排法有24
44A A ⨯种． ∴由分类加法计数原理，所求的不同排法有
41424
44444A 2A A +A A 504+⨯⨯=种．
解法三：∵不考虑任何限制条件的排法有66A 种，其中数学在第六节有5
5A 种，体育在第一节有55A 种，但上面两种排法中都含有数学在第六节，体育在第一节的排法有4
4A 种．
∴所求的不同的排法有654
654A 2A +A 504-=种．
答：一共有504种不同的排法．。