黑龙江省绥芬河市高级中学高二数学上学期期中试题 文

绥芬河市高级中学2018-2019学年度第一学期期中考试
高二文科数学
（分值：150分考试时间：120分钟）
第I卷（选择题）
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1．过点，斜率为1的直线方程是( )
A．B．
C．D．
2．已知，则“”是，的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若命题p是假命题，命题q是真命题，则（）
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．￢p是假命题 D．￢q是假命题
4．某单位青年职工、中年职工、老年职工的人数之比为7:5:3，为了
了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若
样本中的青年职工为14人，则样本容量为（）
A．14 B．30 C．35 D．25
5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）
A．3 B．11 C．100 D．123
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
A．3
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
1
7．直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0相切，则
直线l的斜率为( )．
A．－1 B．－2 C．1 D．2
8．若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A．若，，，则B．若，，，则
C ． 若，，，则
D ． 若，，，则
9．的焦点到渐近线的距离为 A ．
B ． 2
C ． 1
D ．
10．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6:00−−−7:00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6:30−7:30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图所示，点F 是抛物线2
4y x =的焦点，点,A B 分别在抛物线2
4y x =及圆
()
2
214x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围
（ ）
A ． ()4,6
B ． []4,6
C ． ()2,4
D ． []
2,4
12．已知点P 是椭圆13
42
2=+y x 上一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，M 为12PF F ∆的内心，若2211MPF F MF MPF S S S ∆∆∆λ-=成立，则λ的值为（ ）
A ．
32 B ．1
2
C ．22
D ．2
第II 卷（非选择题）
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上） 13．经过两点111,33P ⎛⎫
⎪⎝⎭， 210,2P ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的椭圆的标准方程为__________． 14．若命题“x R ∀∈，210x ax ++≥”是真命题，则实数a 的取值范围为 .
15．如图，在三棱柱
中，
底面
，，
，是
的中点，则直线
与
所成角的余弦值为__________．
16．如图，圆O与离心率为的椭圆
相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两
直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P
为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则
的最大值是_________．
三、解答题
17．(满分10分)
（1）已知双曲线C经过点（1，1），它渐近线方程为，求双曲线的标准方程。

（2）已知双曲线过点，一个焦点为，求双曲线的标准方程。

18．(满分12分)某中学组织了一次高二学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有一名男生的概率．
19．(满分12分)如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC ，求三棱锥F ﹣BCD 的体积．
20．(满分12分)如图,在平面直角坐标系中,已知△PAB 的周长为8,且点A ,B 的坐标分别为(-1,0),(1,0).
(1)试求顶点P 的轨迹C 1的方程.
(2)若动点P 1()在曲线C 1上,试求动点Q (,)的轨迹C 2的方程.
21．(满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
x
y
ω
8
1
i =∑
(x i －
x )2
8
1
i =∑ (w i
－ω)2
81i =∑ (x i
－x )(y i
－y )
8
1
i =∑
(w i －ω)(y i －
y )
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中w i ＝i x ,8
1
18i i ωω==∑
(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的
回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距
的最小二乘估计分别为
()()
()
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
u u v v
u u
β=
=
--
=
-
∑
∑，
ˆ
ˆv u
αβ
=-.
22．(满分12分) 已知椭圆的两焦点为，，离心率.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线：，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值；（3）以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.
文科参考答案
1．A 【详解】直线过点，斜率为
则直线的点斜式方程为：
故选【点睛】
本题考查的知识点是直线的点斜式方程，按照计算公式进行求解，属于基础题。

2．A 【解析】 “”是
，的充分不必要条件，故选A ． 3．D
【解析】试题分析：根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断． 解：∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∧q 是假命题，选项A 错误； p ∨q 是真命题，选项B 错误；￢p 是真命题，选项C 错误； ￢q 是假命题，选项D 正确．故选：D ．考点：复合命题的真假． 4．B
【解析】试题分析：根据题意青年职工、中年职工、老年职工的人数之比为7:5:3，那么设样本容量为n ，则可知青年职工的抽取的14人，那么必有14=n ,故可知n=30,选B. 考点：本试题主要考查了分层抽样的方法的运用。

点评：解决该试题的关键是理解分层抽样是等比例抽样，且比例为n:N.
5．D 试题分析：进入循环前1100a =<；第一次循环，2123100a =+=<；第二次循环，23211100a =+=<；第三次循环，2112123100a =+=>，退出循环，此时输出
123a =，故选D. 考点：程序框图.
6．B
【解析】由三视图可知该几何体为如下的底面为边长为1的等腰直角三角形高为2的三棱柱去掉如图上部分的四棱锥后得到的几何体
由图可知，去掉的四棱锥的底面为直角梯形，上，下底边长分别为1,22，四棱
2
则21121212122322V V V +=-=⨯⨯-=三棱柱四棱锥，故选B 7．A 【解析】依题意知圆心C(1,1)，圆C 的半径r 22
11
k k -+2，∴k ＝－1
8．A 【解析】分析：对每个选项逐一分析，利用综合法或举反例的方法进行排除即可得
到结论．
详解：对于选项A，由，可得或，又，所以可得，故A正确．
对于选项B，由条件可得或，故B不正确．
对于选项C，由条件可得或相交或异面，故C不正确．
对于选项D，由题意得，故D不正确．
点睛：点、线、面的位置关系的判断方法
（1）平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，也是判断线面关系的基础．对点、线、面的位置关系的判断，常采用穷举法，即对各种关系都进行考虑，要发挥模型的直观性作用．（2）利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综合进行推理和判断命题是否正确．9．C【分析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．
9. C
【详解】∵双曲线的方程为∴焦点坐标为，渐近线方程为
∴双曲线的焦点到渐近线的距离为故选C.
【点睛】本题考查有关双曲线的基本运算问题，解题的关键是分清双曲线中的各个量的含义及其关系，然后再根据题目的要求求解.
10．D
【解析】试题分析：设送报人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标
系，作图求面积之比即可．
详解：设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，
以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时
间，建立平面直角坐标系（如图）
则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示
∴所求概率P=1﹣，故选：D．
点睛：本题考查几何概型的会面问题，准确作图利用面积作为几何测度是解决问题的关键，属中档题．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点
的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的． 11．A
【解析】由题意知抛物线2
4y x =的准线为1x =-，设A B 、两点的坐标分别为()
1,0A x y ，
()2,0B x y ，则11AF x =+。

由()
22
24{
14
y x
x y =-+= 消去y 整理得2230x x +-=，解得
1x =，
∵B 在图中圆()2
214x y -+=的实线部分上运动，∴213x <<。

∴FAB ∆的周长为()()()12121234,6AF FB BA x x x x ++=+++-=+∈。

选A 。

点睛：解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线定义的运用。

特别是对于焦点弦的问题更是这样，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离（两点间的距离）转化成该点到准线的距离（点到直线的距离），然后再借助几何图形的性质可使问题的解决变得简单。

12．D 【解析】试题分析：设内接圆的半径为r ，因为2211MPF F MF MPF S S S ∆∆∆λ-= ，所以1212MPF MPF MF F S S S λ+=V V V ；又椭圆的定义可知1212|||22|PF PF a
F F c +==， ，X
所以ar cr c λ=，
，∴2λ=
= ．故选A ．
考点：椭圆的简单性质．
【一题多解】设12PF F V 的内切圆的半径为r ∵M 为12PF F ∆的内心，
2211MPF F MF MPF S S S ∆∆∆λ-= ，∴
1122111
||||||222
r PF r F F r PF λ=⨯-∴1122||PF F F PF λ=-∴1212||PF PF F F λ+= ，∵点P 是椭圆上一点，12F F 分别为椭圆的左、右焦点
∴2a λ=⨯
∴
2λ=
=，故选D ．
13．22541x y +=【解析】设方程为22
1mx ny +=，代入11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
得
11
199
m n +=，
1
14
n =，解得5m =， 4n =，故方程为22541x y +=．
14．[2,2]- 试题分析：因为“x R ∀∈，210x ax ++≥”是真命题，所以
24022a a ∆=-≥⇔-≤≤，故实数a 的取值范围是[2,2]-. 考点：全称命题.
15．【解析】分析：记
中点为E ，则
，则直线
与
所成角即为
与
所
成角，设，从而即可计算.
详解：记中点为E ，并连接
， 是的中点，则
，直线
与
所成角即为
与
所成角，设
，
，
.故答案为：
.
点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解． 16．
； 【解析】分析：由题意首先求得椭圆方程，然后结合勾股定理可得
的
数学表达式，结合纵坐标的取值范围和二次函数的性质即可求得最终结果. 详解：由题意知：解得
， 可知：椭圆C 的方程为，圆O 的方程为
.
设，因为,则
,
因为，所以, 因为
，所以当
时，
取得最大值为
,
点睛：本题主要考查椭圆的方程的求解，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．解：（1）;
【解析】分析：（1）根据已知渐近线方程可设双曲线方程为，代入已知
点即可.
解析：设双曲线的方程为，将点代入可得。

故答案为。

点睛：本题考查对抛物线和双曲线方程的理解，特别是已知渐近线如
何设方程值得好好学习，属于基础题. （2）
由已知可得双曲线焦点在轴上且，将点
代入双曲线方程，可求出
，即得双曲线的标准方程
18．（I ）30,45；（II ）
7
10
. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图可分别得到男生，女生优秀的频率，再乘以总人数100，即可得到男、女生优秀人数；（Ⅱ）构建有序实数对，用枚举法列举所有可能的情形和满足题意的情形，再利用古典概型的计算公式求解即可. 试题解析：
解：（Ⅰ）由题可得，男生优秀人数为()1000.010.021030⨯+⨯=人， 女生优秀人数为()1000.0150.031045⨯+⨯=人．
（Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是
51
304515
=+，
所以样本中包含男生人数为130215⨯=人，女生人数为1
45315
⨯=人．
设两名男生为1A ， 2A ，三名女生为1B ， 2B ， 3B ．
则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为： {}12,A A ， {}11,A B ，
{}12,A B ， {}13,A B ， {}21,A B ， {}22,A B ， {}23,A B ， {}12,B B ， {}13,B B ， {}23,B B 共10个，
每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件C ：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C 包含的基本事件有： {}12,A A ，
{}11,A B ， {}12,A B ， {}13,A B ， {}21,A B ， {}22,A B ， {}23,A B 共7个．
所以()710P C =
，即选取的2人中至少有一名男生的概率为7
10
． 19．（1）见解析 （2）
【解析】（1）∵BC=CD=2，∴△BCD 为等腰三角形，再由
，∴BD⊥AC．
再由PA⊥底面ABCD ，可得PA⊥BD．而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC ． （2）∵侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC ，
∴三棱锥F ﹣BCD 的高是三棱锥P ﹣BCD 的高的． △BCD 的面积S △BCD =BC•CD•sin∠BCD=
=
．
∴三棱锥F ﹣BCD 的体积 V=
==
20．（1）+=1(x ≠±3).（2）x 2
+y 2
=1(x ≠±1) 【解析】(1)由题意,可得顶点P 满足PA+PB =6,
故顶点P 的轨迹C 1是以A ,B 为焦点的椭圆,但要除去椭圆的左、右两个顶点. 则a =3,c =1,所以b 2
=a 2
-c 2
=8,故轨迹C 1的方程为+=1(x ≠±3). (2)由题意,知点P 1(x 1,y 1)在曲线C 1上,故+=1(x 1≠±3). 设=x ,
=y ,则x 1=3x ,y 1=2
y .代入+=1(x 1≠±3),得x 2+y 2=1(x ≠±1),
所以动点Q (,)的轨迹C 2的方程为x 2
+y 2
=1(x ≠±1).
21．(1)见解析 (2) ˆy
＝100.6＋x 见解析 【解析】试题分析：(1)根据散点图与y c x =+的图象更接近可得， y c x =+适宜作为回归方程类型；(2) 令w x =
ˆd ＝()()()
8
182
1i i i i i w w y y w w ==---∑∑＝108.61.6 =68 ， ˆc ＝ˆy d
-， w ＝100.6，可先建立y 关于w 的线性回归方程，从而可建立y 关于x 的线性回归方程；(3) ①将49x = 代入所求回归方程即可得结果；②宣传费为
3.620.12z x x =-+ ，换元后，利用二次函数的性质可得结果.
试题解析：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋x y 关于年宣传费x 的回归方程类型．
(2)令w x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于ˆd ＝()()()
8
182
1i i i i i w w y y w w ==---∑∑＝108.61.6＝68，ˆc
＝y －ˆd w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为ˆy ＝100.6＋68w ，
因此y关于x的回归方程为ˆy＝100.6＋68x．
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值ˆy＝100.6＋6849＝576.6，
年利润z的预报值ˆz＝576.6×0.2－49＝66.32．②根据(2)的结果知，年利润z的预报值ˆz＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.
所以当x＝13.6
2
＝6.8，即x＝46.24时，ˆz取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
22．(1);(2);(3)见解析.
【分析】（1）由题设条件椭圆的两焦点为，，离心率，求出，两参数的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据直线与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数的值．首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程，即可求解；（3）先假设能构成等腰直角三角形，其中，由题意可知，直角边，不可能垂直或平行于轴，故可设边所在直线的方程为（不妨设），则边所在直线的方程为，将此两直线方程与椭圆的方程联立，分别解出，两点的坐标，用坐标表示出两线段，的长度，由两者相等建立方程求参数，由解的个数判断三角形的个数即可．
【详解】
（1）设椭圆方程为，则，，
所求椭圆方程为.
（2）由，消去y，得，
则得（*）
设，则，，，
解得.，满足（*）
(3)设能构成等腰直角三角形，其中，由题意可知，直角边，不可能垂直或平行于轴，故可设边所在直线的方程为（不妨设），则边所在直线的方程为.
由，得A
用代替上式中的k，得，由，得
k<0，解得或，故存在三个内接等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关系中的相关的知识，如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用，依据条件进行正确转化，分析出建立方程的依据很关键，如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数，第三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长与相等，由此关系得到斜率所满足的方程，将求解有几个三角形的问题转化为关于的方程有几个根的问题，此类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重．。