2020-2021高一数学上期末一模试卷(附答案)(6)

2020-2021高一数学上期末一模试卷(附答案)(6)
一、选择题
1．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围
是（ ）
A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()
10,10,10骣琪??琪桫
C ．1,1010⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()()0,110,⋃+∞
2．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减
C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称
D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称
3．已知4
2
1
3332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<
4．若函数()2log ,?
0,?
0x
x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛
⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．
1e B ．e
C ．
21e
D ．2e
5．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，
3()f x x =，则212f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．278
-
B ．18
-
C ．
18
D ．
278
6．用二分法求方程的近似解，求得3
()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：
则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6
B ．1.7
C ．1.8
D ．1.9
7．若二次函数()2
4f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
C ．1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
8．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x
f x x =+-，则不等式
()0f x >的解集为
A ．(]2,7
B ．()(]2,02,7-U
C ．()()2,02,-+∞U
D ．[)(]7,22,7--U
9．已知函数()ln f x x =，2
()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln
||
y x = B ．3y x = C ．||2x y =
D ．cos y x =
11．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}
B ．{3，5}
C ．{1，2，4，6}
D ．{1，2，3，4，5}
12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥
B ．2a ≥-
C ．52
a ≥-
D ．3a ≥-
二、填空题
13．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______.
14．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21
()213x
f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(lo
g )f =__________.
15．若函数(),0
21,01
x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m 的取值范围是
__________．
16．已知()|1||1|f x x x =+--，()a
g x x x
=+
，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.
17．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在函数
2log
y x
=，12
y x =，
22x
y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的
坐标为______.
18．已知函数()2131
1log 12
x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩
，()()2ln 21x
g x a x x =+++()a R ∈，若对
任意的均有1x ，{}
2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．
19．若集合{||1|2}A x x =-<，2|
04x B x x -⎧
⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
，则A B =I ______. 20．函数()()()310310x x x f x x -⎧+<⎪
=⎨-+≥⎪⎩
，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共
点，则m 的取值范围是______.
三、解答题
21．已知二次函数()f x 满足:()()22f x f x +=-，()f x 的最小值为1，且在y 轴上的截距为4.
(1)求此二次函数()f x 的解析式；
(2)若存在区间[](),0a b a >，使得函数()f x 的定义域和值域都是区间[],a b ，则称区间
[],a b 为函数()f x 的“不变区间”.试求函数()f x 的不变区间；
(3)若对于任意的[]10,3x ∈，总存在[]210,100x ∈，使得()122
2lg 1lg m
f x x x <+-，求m 的取值范围.
22．王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过
2
3
的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正
在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：
（1）有下列函数模型：①2016x y a b -=⋅；②sin
2016
x
y a b π=+；
③lg()y a x b =+.(0,1)a b >>试从以上函数模型中，选择模型________（填模型序号），近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y （万吨）与年份x 的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式；
（2）若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？（参考数据：lg 20.3010,=lg30.4771=）
23．已知函数()212
x
x
k f x -=+（x ∈R ） （1）若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式()()
2
40f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a
的取值范围.
24．已知函数2()(,)1
ax b
f x a b x +=
∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性;
(2)解不等式(
)(
)
2341x
x
f f +≤+.
25．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的
成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()300301800
29030100x
f x x x x <≤⎧⎪
=⎨+-<<⎪⎩
，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答
下列问题：
（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．
26．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M 、养鸡
的收益N 与投入a （单位：万元）满足25,1536,49,3657,
a M a ⎧⎪=⎨
<⎪⎩剟
…1202N a =+.设甲合作社的投入为x （单位：万元），两个合作社的总收益为()f x （单位：万元）.
（1）若两个合作社的投入相等，求总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()
()lg 1f x f <，再由函数
()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单
调性即可求出结果. 【详解】
由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()
()lg 1f x f <， 又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得110
10
x <<. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2．C
解析：C 【解析】
由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在
(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．
【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2
a b
x +=
；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(
,0)2
a b
+． 3．A
解析：A
【分析】 【详解】
因为42223
3
3
3
2=4,3,5a b c ===，且幂函数23
y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】
因为函数2log ,0(),0x
x x f x e x >⎧=⎨≤⎩
， 因为
102
>，所以211
()log 122f ==-，
又因为10-<，
所以1
1(1)f e
e
--==， 即11
(())2
f f e
=
，故选A. 【点睛】
该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用题意得到，()()f x f x -=-和2421
D k
x k =
+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，
进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322f f 骣骣琪琪=琪琪桫桫1
8
=，331228f f ⎛⎫⎛⎫
-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，最后利用周期性求解即可.
()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；
又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421
D k
x k =
+②； 在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--； 再利用①式，()()()
213f x f x -=+-()()
()134f x f x =--=-()4f x =--
()()()24f x f x f x ∴=-=-③
对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；
当01x ≤≤时，3
()f x x =，得1128
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1
8
=，
331228f f ⎛⎫
⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
， 答案选B 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】
根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知
1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C.
【点睛】
不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
由已知可知，()f x 在()1
，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】
∵二次函数()2
4f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，
∴()f x 在()1
，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a
=
， ∴0
1
12a a
<⎧⎪
⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]
2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．
【详解】
当07x <≤时，()26x
f x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为
2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即
27x <≤，
因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
因为函数()ln f x x =，()2
3g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对
称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C.
【方法点晴】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
10．A
解析：A 【解析】
本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln
||
y x =，||
2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈
0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln
||y x =变形为1ln y x =，可看成1
ln ,y t t x
==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1
(0)t x x
=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数
故选择A
11．C
解析：C 【解析】
试题分析：根据补集的运算得
{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
2
10x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
成立， 则等价为a ⩾21
x x
--对于一切x ∈(0,1 2)成立，
即a ⩾−x −1x 对于一切x ∈(0,1
2)成立， 设y =−x −1x ,则函数在区间(0,1
2
〕上是增函数 ∴−x −
1x <−12−2=52
-， ∴a ⩾52
-
. 故选C.
点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.
二、填空题
13．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析：()0,1
【解析】 【分析】
令()
0f x =，可得1mx x =-，从而将问题转化为y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案. 【详解】
由题意，令()10f x mx x =--=，则1mx x =-， 则y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点， 作出1y x =-的图象，如下图，
y mx =是过点()0,0O 的直线，当直线斜率()0,1m ∈时，y mx =和1y x =-的图象有两
个交点. 故答案为：()
0,1.
【点睛】
本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
14．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）
解析：
23 【解析】 【分析】
由已知可得()2
21x
f x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13
，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得答案． 【详解】
∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()2
21x f x ++]＝13
， ∴()2
21x
f x +
+＝a 恒成立，且f （a ）＝13， 即f （x ）＝﹣
x 221++a ，f （a ）＝﹣x
2
21++a ＝13
， 解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x
2
21
++1， ∴f （log 25）＝23
， 故答案为：23
． 【点睛】
本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x ，都有
()21213x f f x ⎡
⎤+=⎢⎥+⎣
⎦成立是解答的关键，属于中档题．
15．【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根 解析：(0,3]
【解析】 【分析】
由题意根据函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数及分段函数的特征，可求得m 的取值范围． 【详解】
∵函数(),0
21,01
x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),-∞+∞上单调递增，
∴函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数，
∴0
1212m m >⎧⎨-≤+=⎩
，解得03m <≤， ∴实数m 的取值范围是(0,3]．
故答案为(0,3]． 【点睛】
解答此类问题时要注意两点：一是根据函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．
16．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的 解析：(,1]-∞
【解析】 【分析】
通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()a
g x x x
=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】
由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与
()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪
=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩
，
结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,
，
当0a ≥时，可知()a
g x x x
=+
的值域为
()
,⎡-∞-+∞⎣U ，
所以，此时有2≤，解得01a ≤≤， 当0a <时，()a
g x x x
=+
的值域为R ，满足题意， 综上所述，实数a 的范围为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】
本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.
17．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D 的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函
解析：11,24⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标. 【详解】
由图像可知，点(),2A A x
在函数
y x
=
的图像上，所以
2A
x =
，即
2
122A x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
.
因为点(),2B B x 在函数1
2y x =的图像上，所以1
22B
x =，4B x =.
因为点()4,C C y
在函数2x y ⎛= ⎝⎭
的图像上，所以4
1
24C y ⎛== ⎝⎭
. 又因为12D A x x ==
，1
4D C y y ==， 所以点D 的坐标为11,24⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故答案为11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题
解析：3,4⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【解析】 【分析】
若对任意的均有1x ，{}
2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足
max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.
【详解】
当()2
2
1
121()24
x f x x x k x k -<≤=-++=--++
， 1
6()4
k f x k ∴-<≤
+， 当()13
11,log 122x x f x >=-
<-+， ()()2ln 21
x
g x a x x =++
+， 设21
x
y x =
+，当0,0x y ==， 当
2111
0,,01122x x y y x x x
>=
=≤∴<≤++，
当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，1
02
y -
≤<， 211[,]122
x y x ∴=
∈-+， 若对任意的均有1x ，{}
2,2x x x R x ∈∈>-， 均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤， 当2x >-时，ln(2)x R +∈， 若0,2,()a x g x >→-→-∞， 若0,,()a x g x <→+∞→-∞ 所以0a =，min 2
1
(),()12
x g x g x x =
=-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113
,424
k k +≤-≤-，
实数k 的取值范围是3,4
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
.
故答案为;3,4
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
.
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.
19．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式 解析：()1,2-
【解析】 【分析】
先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解
A B I 的结果.
【详解】
因为12x -<，所以13x -<<，所以()1,3A =-； 又因为
2
04x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩
，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A B =-I . 故答案为：()1,2-. 【点睛】
解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.
20．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)()0,11,2⋃
【解析】 【分析】
作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围. 【详解】
作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃，
故答案为：[)()0,11,2⋃.
【点睛】
本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.
三、解答题
21．（1）23
()(2)14
f x x =-+；（2）[1,4]；（3）[2,)+∞． 【解析】 【分析】
（1）由()()22f x f x +=-，得对称轴是2x =，结合最小值可用顶点法设出函数式，再由截距求出解析式；
（2）根据二次函数的单调性确定函数的最大值和最小值，然后求解． （3）求出()f x 在[0,3]的最大值4，对函数()2lg 1lg m
g x x x
=+- 换元lg t x =，得()21m g x y t t ==+-，[1,2]t ∈，由421m
t t
≤+-用分离参数法转化． 【详解】
（1）∵()()22f x f x +=-，∴对称轴是2x =，又函数最小值是1，可设
2()(2)1f x a x =-+（0a >），
∴(0)414f a =+=，34
a =． ∴23
()(2)14
f x x =
-+． （2）若2a b ≤≤，则min ()1f x a ==，7
(1)24
f =
<，∴3b ≥且23
()(2)14
f b b b =-+=，解得4b =．∴1,4a b ==，不变区间是[1,4]；
若02a b <<≤，则()f x 在[,]a b 上是减函数，∴223()(2)144
33()(2)14f a a b a b f b b a
⎧=-+=⎪⎪∴==⎨
⎪=-+=⎪⎩
或4，因为02a b <<≤，所以舍去；
若2a b ≤<，则()f x 在[,]a b 上是增函数，∴2
23()(2)14
3()(2)14f a a a f b b b
⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩
，
∴,a b 是方程()f x x =的两根，
由()f x x =得23(2)14x x -+=，124
,43
x x ==，不合题意． 综上1,4a b ==；
（3）23
()(2)14
f x x =
-+，[0,3]x ∈时，max ()(0)4f x f ==， 设2lg 1lg m
y x x
=+
-，令lg t x =，当[10,100]x ∈时，[1,2]t ∈． 21m
y t t
=+
-， 由题意存在[1,2]t ∈，使421m
t t
≤+
-成立，即225m t t ≥-+， [1,2]t ∈时，22525
252()48
t t t -+=--+的最小值是222522-⨯+⨯=，
所以[2,)m ∈+∞．
【点睛】
本题考查求二次函数解析式，考查二次函数的创新问题，考查不等式恒成立和能成立问题．二次函数的解析式有三种形式：
2()(),f x a x m h =-+12()()(),f x a x x x x =--2()f x ax bx c =++，解题时要根据具体
的条件设相应的解析式．二次函数的值域问题要讨论对称轴与区间的关系，以确定函数的单调性，得最值．难点是不等式问题，对于任意的1[0,3]x ∈，说明不等式恒成立，而存在
[10,100]x ∈，说明不等式“能”成立．一定要注意是转化为求函数的最大值还是最小
值．
22．（1）①，2016
342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
；（2）2022年
【解析】 【分析】
（1）由题意可得函数单调递增，且增长速度越来越快，则选模型①，再结合题设数据求解即可；
（2）由题意有2016
34402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭
，再两边同时取对数求解即可.
【详解】
解：（1）依题意，函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型①符合，
设2016x y a b -=⋅，将2016x =，4y =和2017x =，6y =代入得
2016201620172016
46a b a b --⎧=⋅⎨=⋅⎩；解得4
32a b =⎧⎪
⎨=⎪⎩
. 故函数模型解析式为：2016
342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.
经检验，2018x =和2019x =也符合.
综上：2016
342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；
（2）令2016
34402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，解得2016
3102x -⎛⎫
≥ ⎪
⎝⎭
，两边同时取对数得：
2016
3lg lg102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，3(2016)lg 12x ⎛⎫
-≥ ⎪⎝⎭
，
11
(2016)3lg 3lg 2lg 2x -≥
=
-⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 1
20162021.7lg3lg 2
x ∴≥
+≈-.
综上：从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨. 【点睛】
本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属中档题. 23．（1）1k =（2）30a -≤≤ 【解析】 【分析】
（1）根据()00f =计算得到1k =，再验证得到答案.
（2）化简得到()
()2
4f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立，确定函数单调递减，利用单调
性得到240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立，计算得到答案. 【详解】
（1）因为()f x 为奇函数且定义域为R ，则()00f =，即0
02021
k -=+，所以1k =.
当1k =时因为()f x 为奇函数，
()()1221
2121
x x x x f x f x -----===-++，满足条件()f x 为奇函数.
（2）不等式()()
2
40f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立
即()
()2
4f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立，
因为()f x 为奇函数，所以()
()2
4f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立（*）
在R 上任取1x ，2x ，且12x x <，
则()()()
2112
1212
122221212()()12121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++， 因为21x x >，所以1120x +>，2120x +>，21220x x ->， 所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以函数()f x 在区间(1,)-+∞上单调递减； 所以（*）可化为24x ax -≤-对[]1,2x ∈-恒成立， 即240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立. 令()2
4g x x ax =+-，
因为()g x 的图象是开口向上的抛物线， 所以由()0g x ≤有对[]1,2x ∈-恒成立可得：()()10,20,g g ⎧-≤⎪
⎨≤⎪⎩
即140,4240,a a --≤⎧⎨+-≤⎩
解得：30a -≤≤，
所以实数a 的取值范围是30a -≤≤. 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力. 24．(1)证明见解析;(2){|1}x x ≤. 【解析】 【分析】
（1）根据函数为定义在R 上的奇函数得(0)0f =，结合(1)1f =求得()f x 的解析式，再利用单调性的定义进行证明；
（2）因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+，解指数不等式即可得答案. 【详解】 (1)因为函数2()(,)1
ax b
f x a b x +=
∈+R 为在R 上的奇函数,所以(0)0f = 则有0001
111
b
a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
解得20a b =⎧⎨
=⎩
,即22()1x
f x x =+ 12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <
()()()()()()
2
2122112
122222
12122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()
()()
12212
2
1
22111x x x x x
x --=
++
因为12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <,
所以()()
22
12110x x ++>,1210x x ->,210x x ->
所以()()120f x f x ->即()()12f x f x > , 所以()f x 在(1,)+∞上单调递减 .
(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+ 不等式可化为22220x x x ⋅--≤,即((
)(
)
21220x
x
+-≤ 解得22x ≤,即1x ≤ 所以不等式的解集为{|1}x x ≤ 【点睛】
本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的解集要写成集合的形式.
25．(1) ()45100x ，
∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. 【解析】 【分析】
（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；
（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义． 【详解】
（1）由题意知，当30100x <<时，
()1800
29040f x x x
=+
->， 即2659000x x -+>， 解得20x <或45x >，
∴()45100x ∈，
时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x <≤时，
()()30%401%4010
x
g x x x =⋅+-=-
； 当30100x <<时，
()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫
=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭
；
∴()2401013585010
x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩； 当032.5x <<时，()g x 单调递减；
当32.5100x <<时，()g x 单调递增；
说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．
【点睛】
本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．
26．（1）87万元；（2）甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元
【解析】
【分析】
（1）先求出36x =，再求总收益；（2）（2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元，再对x 分类讨论利用函数求出如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大.
【详解】
（1）两个合作社的投入相等，则36x =，
1(36)253620872
f =++⨯+=（万元） （2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元.
当1536x ≤≤
时，11()25(72)208122f x x x =+
-+=-+，
令t =
6t ≤≤，则总收益2211()481(4)8922
g t t t t =-++=--+， 当4t =即16x =时，总收益取最大值为89；
当3657x <≤时，11()49(72)2010522
f x x x =+-+=-+， ()f x 在(36,57]上单调递减，所以()(36)87f x f <=.
因为8987>，
所以在甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元.
【点睛】
本题主要考查函数的应用和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.。