有理数概念

第一讲 有理数的概念
知识点一、有理数的概念及分类
1、正数与负数：
正数：像1， 1.1，
5
17，2009等大于0的数，叫做正数； 负数：像-1， -1.1，517-，-2009等在正数前面加上“-”负号的数，叫做负数。

正数都大于零，负数都小于零，即正数>0>负数。

“0”既不是正数，也不是负数。

在实际生活中，用正数、负数表示相反意义的量：
向东走100米记作－100米，则向西走五十米记作+50米。

盈利100元记作+100元，则亏损100元记作什么？
水位升高1.2米，下降0.7米，如何用有理数表示？
2、有理数：整数与分数统称为有理数
⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正整数自然数整数零按定义分类： 有理数负整数正分数分数负分数 ⎧⎧
⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩
正整数按符号分类： 有理数零负分数注：（1）任意有限小数和无限循环小数都是分数；
（2）无限不循环小数不是有理数，如π；
（3）正数和零统称为非负数；
（4）0是正数和负数的分界点，但不是最小的有理数。

3、数集：把一些具备同一特征的数放在一起，就组成数的集合，简称数集。

例如：所有的有理数组成的数集叫有理数集；所有的整数组成的数集叫整数集。

4、有理数“0”的作用：
随堂练习
1、气温下降2度记2C
-︒，那么上升3度表示为C︒.
2、用20
+米表示前进20米，那么15
-米表示.
3、如果向北走10m记作10m
+，那么6m
-表示（）.
A、向东走6m
B、向西走6m
C、向南走6m
D、向北走6m
4、有理数包括（）.
A、整数、分数和零
B、正有理数、负有理数和零
C、正数和负数
D、正数和分数
5、下列说法中，正确的是（）.
A、在有理数中，零的意义表示没有
B、一个数不是正数就是负数
C、正有理数和负有理数组成全体有理数
D、零是整数
6、0属于（）.
A、负数集合
B、整数集合
C、正数集合
D、什么也不是
7、既是分数，又是正数的是（）.
A、3+
B、
1
5
3
-C、0D、2.2
8、下列说法中错误的是（）.
A、2-是负有理数
B、零不是整数
C、3
4
是正分数D、0.26
-是负分数
9、已知下列各数：8-，2.1，1
9
，3，0， 2.5
-，10，1
-，其中非负数的个数
有（）.
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
10、把下列各数填入相应的括号里.
171
5,,0.62,4,0,1,1,, 6.4,7.
-+---
363
正整数集合{}
分数集合{}
整数集合{}
负数集合{}
数轴
1、概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可。

数轴的画法：
▪画一条水平的直线；
▪在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
▪确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
▪选取适当的长度作为单位长度，用细短线画出，并对应标出各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.
2、有理数与数轴的关系
▪一切有理数都可以用数轴上的点表示出来；
▪正有理数在原点的右边，负有理数在原点的左边，原点表示0；
▪在数轴上，右边的点所对应的数总是比左边的点所对应的数大。

☞注意：数轴上的点不都是有理数，如π。

相反数
1、相反数定义：
如果两个数只有符号不同，则称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

注意：0的相反数是0.
几何意义：在数轴上到原点的距离相等，并且分别位于原点两侧的两个数，是一对相反数，这两点必须关于原点对称。

2、相反数的性质：
互为相反数的两个数的和为零。

若a 与b 互为相反数，则a + b=0；若a + b=0，则a 与b 互为相反数.。

3、求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可.
一般地，数a 的相反数是-a ；这里以a 表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式，注意-a 不一定是负数.
☞ 注意：当a > 0时，-a < 0 （正数的相反数是负数）；
当a =0时，-a = 0 （0的相反数是0）；
当a < 0时，-a > 0 （负数的相反数是正数）.
4、多重符号的化简：“奇负偶正”
一个有理数前面不管有多少个“+”号，都可以去掉；
一个有理数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉；有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”，即“奇负偶正”。

☞ 注意：负负得正，正负得负。

（最常用）
绝对值
1、绝对值的几何意义及代数意义：
绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距
离. 数a 的绝对值记做|a|.
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的
相反数；0的绝对值是0；
2、倒数，负倒数
乘积为1的两个数互为倒数。

特别的，0没有倒数
,a b 互为倒数，则有1ab =，反之亦成立；
倒数是它本身的数是1±
乘积为－1的两个数互为负倒数，特别的，0没有负倒数，
(0) 0(0) (0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
,a b互为负倒数，则有1
ab=-，反之亦成立；
随堂练习
1、判断下列各图中，没出现错误的是（）.
2、如图所示，数轴上的点M和N分别表示有理数m和n，那么以下结论正确的
是（）.
A、0,0
m n
>>B、0,0
m n
><
C、0,0
m n
<>D、0,0
m n
<<
3、如图所示，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，比较a，b，c的大小，
有（）.
A、a b c
<<B、a c b
<<C、b a c
<<D、b c a
<< 4、如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含的整数
为 .
5、一个数从数轴上的原点出发，向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长
度到达点P，则点P表示的数是（）.
A、2
B、2-
C、1
D、1-
6、在数轴上距离原点4个单位长度的点所表示的数是（）.
A、4
B、4-
C、4或4-
D、2或2-
7、
3
4
-的相反数是，4与互为相反数；0的相反数是；
8、如果一个数的相反数是它本身，则这个数是 .
9、一个数的相反数是非负数，这个数一定是（ ）.
A 、正数与零
B 、非零有理数
C 、负数或零
D 、零
10、化简下列各数的符号
（1）(6)++= ；（1）(11)--= ；
（1）(8)-+= ；（1）(9)+-= ；
（1）[(6)]+-+= ；（1）[(7)]-+-= 。

11、3
1-的绝对值是 . 12、2--等于（ ）
A 、2
B 、
21 C 、 2
1- D 、 -2 13、绝对值最小的数是 .
14、绝对值是9的数是 .
15、若5x =，则x = .
16、5的倒数是 ；35
-的倒数是 ； 213
的负倒数是 。