高二数学导数大题练习及详细答案

高二数学导数大题练习及详细答案
一、解答题
1．已知函数()()e ,R x f x x a a =+∈．
(1)若函数()f x 在区间[3,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． (2)若2()e f x ≥在[]0,2x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围． 2．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈． (1)讨论函数()f x 在区间()1,e 的极值；
(2)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数
b 的取值范围．
3．求下列函数的导数： (1)221()(31)y x x =-+； (2)2321
x
y x -=
+； (3)e cos x y x =
4．已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈ (1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，
()2e .f x >-
5．已知()2e
x x a
f x -=．
(1)若()f x 在3x =处取得极值，求()f x 的最小值； (2)若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围． 6．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；
(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．
7．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2x
g x x x x x x =-++-，)2
e ,x -∈+∞⎡⎣．
(1)试讨论函数()f x 的单调性；
(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．
8．求下列函数的导数： (1)2
cos x x
y x -=
；
(2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-． 9．已知函数()ln x
f x x
=
， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；
(2)若2
e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．
10．设函数()22
3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．
(1)求()f x 的单调区间；
(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．
【参考答案】
一、解答题
1．(1)[2,)+∞ (2)2[e ,)+∞ 【解析】 【分析】
（1）求出导函数，由题意可得()0f x '≥在[3,)-+∞上恒成立，从而可求出a 的取值范围，
（2）将问题转化为2e x a x -≥-在[]0,2x ∈时恒成立，构造函数2()e x g x x -=-，利用导数求出其最大值即可 (1)
由()()e ,R x f x x a a =+∈，得()(1)e x f x x a '=++， 因为()f x 在区间[3,)-+∞上是增函数， 所()0f x '≥在[3,)-+∞上恒成立， 所以10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立， 因为1y x a =++在[3,)-+∞上为增函数， 所以满足题意只需310a -++≥，得2a ≥， 所以a 的取值范围为[2,)+∞ (2)
因为()()e ,R x f x x a a =+∈
所以2()e e x x a +≥ 即2e x a x -≥-在[]0,2x ∈时恒成
立， 令2()e x g x x -=- ，[]0,2x ∈，则22()e 1(e 1)0x x g x --'=--=-+<， 所以2()e x g x x -=-在[]0,2x ∈上递减，
所以2
max ()(0)e g x g ==，
所以2e a ≥，
所以a 的取值范围为2[e ,)+∞ 2．(1)答案见解析 (2)2
11e b ≤-
【解析】 【分析】
（1）先讨论()f x 的单调性再确定()f x 在()1,e 上的极值（2）利用极值点处的导数为求出1a =，代入恒成立的不等式中，用分离参数法求b 的取值范围 (1)
在区间()0,∞+上， ()11
ax f x a x
x
-'=-=
， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()1,e 上单调递减， 则()f x 在区间()1,e 上无极值； 当0a >时，令()0f x '=得1x a
=
， 在区间10,a
⎛⎫ ⎪⎝⎭
上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
在区间1,a
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上，()0f x '>，函数()f x 单调递增.
若11e a <<，即1
1e a
<
<，则()f x 在区间()1,e 上极小值1ln f a a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
若1a ≥或10e
a <≤，即11a
≤或1e a
≥，则()f x 在区间()1,e 上无极值 (2)
因为函数()f x 在1x =处取得极值，
所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意 由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1+x
b x
x
-
≥对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令()1ln 1x g x x
x =+-
，则()22211ln ln 2x x g x x x x
-='---=， 当()20,e x ∈时，()0g x '<；当()2
e ,x ∈+∞时，()0g x '>
所以()g x 在()20,e 上单调递减，在()2
e ,+∞上单调递增，
所以()()22
min 1e 1e g x g ==-， 即2
11e b ≤-
. 3．(1)21843x x +-；
(2)222
262(1)x x x --+；
(3)e (cos sin )x x x -. 【解析】 【分析】
（1）（2）（3）由基本初等函数的导数公式，结合求导的乘除法则求各函数的导函数. (1)
2222(21)(31)(21)(31)4(31)3(21)1843y x x x x x x x x x '''=-++-+=++-=+-.
(2)
2222222222
(32)(1)(32)(1)2(1)2(32)262(1)(1)(1)x x x x x x x x x y x x x ''-+--+-+----'===+++.
(3)
(e )cos e (cos )e (cos sin )x x x y x x x x '''=+=-.
4．(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据导函数在()1,e 上存在零点，则()0f x '=在()1,e 上有解，则有1e 2
a
<<，即22e a <<，得到函数
()f x 的最小值，构造函数2
()ln (1ln 2)4
x g x x x x =-
-+，22e <<x ，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．
(1)
函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(2)(1)
()2(2)a x a x f x x a x x
'
--=+-+=
， ①0a 时，20x a ->，令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<， 解得：01x <<，故()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增；
②02a <<时，令()0f x '>，解得：1x >或02
a
x <<，
令()0f x '<，解得：12
a
x <<，
故()f x 在0,2a ⎛⎫
⎪⎝
⎭
递增，在,12
⎛⎫ ⎪⎝⎭
a 递减，在()1,+∞递增；
③2a =时，()
0f x '，()f x 在(0,)+∞递增；
④2a >时，令()0f x '>，解得：2
a
x >或01x <<，
令()0f x '<，解得：12
a
x <<，
故()f x 在(0,1)递增，在1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭a 递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
a
递增；
综上：0a 时，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，
02a <<时，()f x 在0,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭递增，在,12
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
a 递减，在(1,)+∞递增； 2a =时，()f x 在(0,)+∞递增；
2a >时，()f x 在(0,1)递增，在1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭a 递减，在,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
a 递增；
(2)
因为(2)(1)
()2(2)a x a x f x x a x x
'
--=+-+=
， 又因为导函数()'f x 在(1,)e 上存在零点，所以()0f x '=在(1,e)上有解， 则有1e 2
a <<，即22e a <<，
且当12
a x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，
当e 2
a
x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以22()ln (2)ln (1ln 2)22424⎛⎫
=+-+=--+ ⎪⎝⎭
a a a a a f x f a a a a a ，
设2
()ln (1ln 2)4
x g x x x x =--+，22e x <<，则
()ln 1(1ln 2)ln ln 222
x x
g x x x '=+-
-+=--，则11()02g x x ''=-<，
所以()g x '在(2,2e)上单调递减，所以()g x 在(2,2e)上单调递减，
则()()()22
2e 22e e 2e 1ln 2e 2g eln g =--+=-<，
所以()2
e g x >-，则根据不等式的传递性可得，
当()1,e x ∈时，()2
e .
f x >-
【点睛】
本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查函数的单调性，考查导数的综合应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题． 5．(1)2e - (2)[)1,+∞ 【解析】 【分析】
（1）先求得函数的导函数，然后利用极值的必要条件求得a 的值，进而判定导数的正负区间，得到函数的单调性，然后结合左右两端的极限值与极小值，求得函数的最小值；
（2）分离参数得到2(1)e x a x x ≥--对于任意[)1,x ∞∈+恒成立.构造函数，利用导数求得不等号右侧的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数a 的取值范围. (1)
∵()2
e
x x a
f x -=，∴()()()
222
2e e 2e e x x
x
x x x a x x a f x ⋅--⋅--'=
=-， ∵()f x 在3x =处取得极值，()2332330e a
f -⨯-'=-
=，∴3a =， ∴()23e x x f x -=，()223(1)(3)
e e x x
x x x x f x --+-'=-=-，
当1x <-时，()’0f x <；当13x 时，()’0f x >；当3x >时，()’0f x <. ∴()f x 在(],1-∞-上单调递减，在[]1,3-上单调递增，在[)3,+∞上单调递减. 又∵当3x >时，()0f x >，()12e 0f -=-<， ∴()f x 的最小值为2e -. (2)
由已知得221(1)e e
x x x a
x a x x -≤-⇔≥--对于任意[)1,x ∞∈+恒成立.
令2()(1)e x g x x x =--，则()2e (2e )x x g x x x x '=-=-，
在1≥x 时，()(2e )0x g x x '=-<，所以函数()g x 在1≥x 时上单调递减， 所以max ()(1)1g x g ==， 所以a 的取值范围是[)1,+∞． 6．(1)详见解析； (2)详见解析； 【解析】 【分析】
（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2
()2f x x x
'=-求解； （2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()
21()--'=
x a x g x x
，分0a ≤，
012a <
<，12a =，122
a
<<讨论求解. (1)
解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-， 所以2()2f x x x
'=-，令()0f x '=，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以1x =是函数()f x 的极小值点； (2)
当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，
则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x
， 当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，
当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；
当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；
当()()110
22ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+≥⎪⎩，即21ln 2-
≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；
当()()
11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图
象有1个公共点； 当012a <
<，即02a <<时，02a
x <<或1x >时，()0g x '>，12
a x <<时，()0g x '<，
所以当2
a
x =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，
()g x →-∞，
因为()110g a =+>恒成立，
所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当12
a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，
所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当122a <
<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12
a
x <<时，()0g x '<，
所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2
a
x =时，()g x 取得极小值，且0x →，
()g x →-∞，
因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛⎫=-+++>
⎪
⎝⎭
a a a g a a 恒成立， 所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.
综上： 当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；
当1a =-或 2
ln 2
a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当2
1ln 2
-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.
7．(1)答案见解析； (2)12
a =. 【解析】 【分析】
（1）由题可得()1
1
ax f x a x
x
+'=+=
，讨论0a ≥，0a <即得； （2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得
()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()000011
1ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭，利用导数可得
00
1
e x x =
，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)
()11ax f x a x x
+'=
+=，0x >， 当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数的单调性如表格所示：
由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x x
g x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，
则()g x '是一个单调递增的函数， 当2e x -=时，()()2
242e e e e e 30g ----'=+-<，
当1x =时，()12e 10g '=->，
故()2
e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且
所以0x t =，0
0000e ln 10g x x x x '=++-=，整理该式有
()020
00e 1ln x x
x x +=-，()00000
1111e ln x
x x x x +=
+， ∴()0
00111ln e
e
1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭
令()()2
1ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，
所以函数在()2
e ,-+∞上单调递增，
故()0
00111ln e
e
1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭的解满足001e x
x =；
又()2
ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，
所以00ln 20x ax +=，
由0
1
e x
x =知，0020x ax -+=，
故12
a =． 8．(1)'y ()3
1sin 2cos x x x
x --=
；
(2)'y ()e 1cos sin 2ln 2x x
x x =+--；
(3)'y ()5
51ln 3x =
-⋅.
【解析】 【分析】
根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果. (1)
因为2
cos x x y x -=，故'
y ()()()243
sin 12cos 1sin 2cos x x x x x x x x x x ------==. (2)
因为()e 1cos 2x x y x =+-，故'y ()e 1cos sin 2ln 2x x
x x =+--.
(3)
因为()3log 51y x =-，故'y ()()15
5?
51ln 351ln 3x x =⨯=--⋅.
9．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫
+∞⎪⎢
-⎣⎭
【解析】 【分析】
（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；
（2）由2
e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max
ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l x
x x x ϕ-=在2
e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.
(1)
由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞，
由()ln x f x x
=，得
()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0， 若直线y
g x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫
>≠ ⎪⎝⎭
且，则
()
00
2
000
ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1
=10h x x
'+>，
所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=，
从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾.
所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线.
(2)
由()()f x g x ≤，得()1ln x x
k x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n x
k x x -∴≥
若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦
， 令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x
'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；
所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x
()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；
当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ=
=--，即e e 1
k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢
-⎣⎭ 【点睛】 解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，
对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.
10．(1)在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增 (2)1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间； （2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解.
(1)
函数()f x 的定义域为()0+∞，
，
()()()222
231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x +-+-=+-== 由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1
x a
=， 当10x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1
x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫
⎪⎝⎭，上单调递减，在1
a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增．
(2)
要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111
()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭， 解得1e >a ，即a 的取值范围为1
(,)e +∞。