「精品」高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4(1)比较法综合法与分析法课后练习北师大版选修4_5

2016-2017学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.4(1)
比较法 综合法与分析法课后练习 北师大版选修4-5
一、选择题
1．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝1
1－x 中最大的一个是( ) A ．a B ．b C ．c
D ．不能确定
解析： ∵0<x <1，∴1＋x >2x ＝4x >2x ， ∴只需比较1＋x 与1
1－x 的大小．
∵1＋x －11－x ＝1－x 2
－11－x ＝－x
2
1－x <0，
∴1＋x <1
1－x .
答案： C
2．已知a ，b ，c ，d ∈{正实数}且a b <c d
，则( ) A ．a b <
a ＋c
b ＋d <c
d B ．
a ＋c
b ＋d <a b <c
d
C ．a b <c d <a ＋c
b ＋d
D ．以上均可能
解析： ∵a 、b 、c 、d 为正数， ∴要比较a b 与
a ＋c
b ＋d
的大小，
只要比较a (b ＋d )与b (a ＋c )的大小， 即ab ＋ad 与ab ＋bc 的大小， 即：ad 与bc 的大小． 又∵a b <c d
，∴ad <bc ， ∴a b <
a ＋c
b ＋d
. 同理可得
a ＋c
b ＋d <c
d
. 故选A ． 答案： A
3．已知a >2，x ∈R ，P ＝a ＋1a －2，Q ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2
－2，则P 、Q 的大小关系为( ) A ．P ≥Q B ．P >Q C ．P <Q
D ．P ≤Q
解析： ∵a >2，∴a －2>0，
P ＝a ＋
1a －2＝a －2＋1
a －2
＋2≥2＋2＝4. 又Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－2
＝4.∴P ≥Q .
答案： A
4．已知a 、b ∈R ，则“a ＋b >2，ab >1”是“a >1，b >1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析： ∵a >1，b >1⇒a ＋b >2，ab >1
a ＋
b >2，ab >1⇒/ a >1，b >1
举例说明a ＝4，b ＝13.
答案： B 二、填空题
5．设a >b >0，x ＝a ＋b －a ，y ＝a －a －b ，则x 、y 的大小关系是x ________y . 解析： ∵a >b >0，
∴x －y ＝a ＋b －a －(a －a －b ) ＝
b a ＋b ＋a －b
a ＋a －b
＝
b
a －
b －a ＋b
a ＋
b ＋a a ＋a －b <0.
答案： <
6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若∠C ＝90°，则a ＋b
c
的取值范围是________．
解析： 由题意知c 2
＝a 2
＋b 2
≥2ab ，
即ab c 2≤12. ∴a ＋b c
＝
a 2＋
b 2＋2ab
c 2
＝1＋2ab
c
2＝ 2.
(当且仅当a ＝b 时取等号)．
又三角形中a ＋b >c .∴1<a ＋b
c
≤ 2. 答案： (1，2] 三、解答题
7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2
.
证明： 3a 3
＋2b 3
－(3a 2
b ＋2ab 2
)＝3a 2
(a －b )＋2b 2
(b －a )＝(3a 2
－2b 2
)(a －b )．因为
a ≥
b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.
8．(选修4－5：不等式选讲)设a ，b ，c 为正实数， 求证：1a 3＋1b 3＋1
c
3＋abc ≥2 3.
证明： 因为a ，b ，c 为正实数，由平均值不等式可得 1
a
3
＋1
b 3＋1
c 3≥331
a 3
·1b 3·1c
3，
即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc
，当且仅当1a 3＝1b 3＝1
c
3即a ＝b ＝c 时，等号成立．
所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3
abc
＋abc .
而
3
abc ＋abc ≥2
3
abc
·abc ＝23，当且仅当
3
abc
＝abc ，即abc ＝3时，等号成立．
所以1a
3＋1b 3＋1
c
3＋abc ≥2 3.
9．已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≥3； (2)
a bc ＋
b a
c ＋c
ab
≥3(a ＋b ＋c )． 证明： (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c ∈R ＋，因此只需证(a ＋b ＋c )2
≥3，即证
a 2＋
b 2＋
c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，根据条件，只需证a 2＋b 2＋c 2≥1＝ab ＋bc ＋ca .
而这是可以由ab ＋bc ＋ca ≥a 2＋b 22
＋
b 2＋
c 22
＋
c 2＋a 2
2
＝a 2＋b 2＋c 2
(当且仅当a ＝b ＝c ＝
33
时取等号)证得的．
∴原不等式成立． (2)∵
a bc ＋
b ac
＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc
， 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3， ∴原不等式只需证
1
abc
≥a ＋b ＋c ，
也就是只要证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca . 而a bc ＝ab ·ac ≤
ab ＋ac
2
，b ac ≤
ab ＋bc
2
，
c ab ≤ac ＋bc
2
，
∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ＝
b ＝
c ＝33时取等号成立．
∴原不等式成立．。