2020学年高二数学下学期期中试题新版目标版

2019学年度第二学期高二数学期中考试卷
试卷总分：150分；考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）
A ．1sin ,:≥∈∃⌝x R x p
B ．1sin ,:≥∈∀⌝x R x p
C ．1sin ,:>∈∃⌝x R x p
D ．1sin ,:>∈∀⌝x R x p 2．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件 3．抛物线的焦点坐标是( ) A. B. C. D.
4．椭圆116
252
2=+y x 的离心率为（ ）
A ．
35 B ．34 C ．45 D ．925
5．下列命题中错误的是（ ）
A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“()p q ∨⌝”为真命题
B ．命题“若7a b +≠，则2a ≠或5b ≠”为真命题
C ．命题:0,sin 21x
p x x ∃>>-，则p ⌝为0,sin 21x
x x ∀>≤-
D ．命题“若20x x -=，则0x =或1x =”的否命题为“若20x x -=，则0x ≠且1x ≠”
6．抛物线y ＝ax 2
的准线方程为y ＝2，则实数a 的值为 A ．－
81 B ．8
1
C ．8
D ．－8
7．已知12,F F 是椭圆22
1169
x y +=的两个交点，过的直线与椭圆交于,M N 两点，则2
MNF 的周长为（ ）
A ．16
B ．8
C ．25
D ．32
8．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的焦距与短轴长之比为（ ）
A ．
1
3
B C ．3 D
9．设F 1（－4，0），F 2 （4，0）为定点，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是
A ．椭圆
B ．直线
C ．圆
D ．线段
10．经过双曲线14
22=-y x 右焦点的直线与双曲线交于B A ,两点，若4=AB ，则这样的
直线的条数为（ ）
A ．4条
B ．3条
C ．2条
D ．1条
11．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则
21cos AF F ∠= （ ）
A ．
14 B ．1
3
C D
12．直线()1y kx k R =+∈与椭圆22
15x y m
+=恒有两个公共点，则m 的取值范围为（ ）
A ．()1,+∞
B ．[)1,+∞
C ．()()1,55,⋃+∞
D ．[)()1,55,⋃+∞
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知双曲线
14
22
2=+-m y m x 的一条渐近线方程为x y 3=，则实数m 的值为______. 14．抛物线x y 122
=上与焦点的距离等于6的点的坐标是．
15．设1F 、2F 分别是椭圆
116
252
2=+y x 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为)4,6(，则||||1PF PM -|的最小值为________．
16．有下列四个命题 ①“若0=+y
x ，则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若，则022=++q x x 有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题为_______________.
三、解答题（共70分） 17．（本题满分10分）斜率为1
2
的直线l 经过抛物线24x y =的焦点，且与抛物线相交于A B ，两点，求线段AB 的长.
18．（本题满分12分）已知2
:8200P x x --≤；22
:11q m x m -≤≤+.
（1）若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围；
（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.
19．（本题满分12分）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程． （Ⅰ）焦点在y 轴上，焦距是16，离心率43
e =； （Ⅱ）一个焦点为()6,0F -的等轴双曲线．
20．（本题满分12分）已知双曲线
22
1916
x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线上一点P 使得1290F PF ∠=︒，求△12F PF 的面积．
21．（本题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 经过点)22
1(，M ，其离心率为
2
2
，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知直线l 与圆3
2
22=+y x 相切，求证：OB OA ⊥（O 为坐标原点）；
22．（本题满分12分）双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与
双曲线交于A 、B 两点．
（1）若l 的倾斜角为2
π
，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2
）设b =，若l 的斜率存在，且|AB|=4，求l 的斜率．
参考答案
1．C2．A 3．C4．A 5．D 6．A 7．A 8．D 9．D 10．B 11．A 12．C 13．
5
4
14．)6,3(或)6,3(- 15．5-16．①③
17．5 【解析】
由已知可知，抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，（2分） 所以直线l 的方程为1
12
y x =
+. （5分） 由211,24,y x x y ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩ 得2(22)4y y -=，即2310y y -+=．（7分） 设1122(,),(,)A x y B x y ，则123y y +=， 所以12||325AB y y p =++=+=. （10分）
18．（1）[；（2）(,3][3,)-∞-+∞ 【解析】
由28200x x --≤得210x -≤≤，即:210P x -≤≤，（3分） 又22
:11q m x m -≤≤+. （1）若p 是q 的必要条件，
则2212110m m ⎧-≥-⎪⎨+≤⎪⎩，即2
2
39
m m ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即23m ≤，解得m ≤≤，（5分）
即m 的取值范围是[。

（6分） （2）∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件.（8分）
即22
12110
m m ⎧-≤-⎪⎨+≥⎪⎩，即29m ≥，解得3m ≥或 3m ≤- （11分）
即m 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞.（12分）
19．（Ⅰ）2213628
y x -=；
（Ⅱ）2211818x y -=． 【解析】
（Ⅰ）由条件可知8c =，又43
e =
， 所以6a =，22228b c a =-=，（4分）
故双曲线的标准方程为2213628y x -=．
（6分） （Ⅱ）设所求等轴双曲线：22
221x y a a
-=，
则22236c a ==，218a ∴=，(10分)
故双曲线的标准方程为2211818
x y -=．（12分）
20．16．
【解析】
由双曲线方程22
1916
x y -=，可知3a =，4b =，5c ==，(1分)
由双曲线的定义，得12||||26PF PF a -=±=±，(3分) 将此式两边平方，得221212||||2||||36PF PF PF PF +-⋅=， ∴221212||||362||||PF PF PF PF +=+⋅，(6分)
又∵1290F PF ∠=︒，∴221212||||100362||||PF PF PF PF +==+⋅，(8分) ∴12||||32PF PF ⋅=，(10分) ∴12121||||2F PF S PF PF ∆=⋅1
32162
=⨯=．(12分)
21．（Ⅰ）12
22
=+y x ；
（Ⅱ）详见解析. 【解析】
（Ⅰ）222c e a b c a =
==+离心率，222a b ∴=,(2分) 22
2212x y b b
∴+=椭圆方程为，
将点(1M 代入，得21b =，22a =,(4分) ∴所求椭圆方程为2
212
x y +=． (5分)
（Ⅱ）因为直线l 与圆222
3
x y +=
相切，
=
，即22
2(1)3
m k =+,(7分) 由，22
,
22
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩
得222
(12)4220k x kmx m +++-=(8分)
设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ， 则122
412km
x x k +=-+，21222212m x x k -=+，
所以1212()()y y kx m kx m =++=2
2
1212()k x x km x x m +++=22
2
212m k k -+，(10分)
所以1212OA OB x x y y =+=222212m k -++222212m k k -+=222
322
12m k k --+=0，
故OA OB ⊥。

(12分)
22．（1
）y =．（2
）． 【解析】
（1）设(),x y A A A ．
由题意，()2F ,0c
，c =，()
22241y b c b A =-=，(2分)
因为1F ∆AB
是等边三角形，所以2c =(4分) 即()
24413b b +=，解得22b =．(5分)
故双曲线的渐近线方程为y =．(6分)
（2）由已知，()2F 2,0．
设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．(7分)
由()2
213
2y x y k x ⎧-
=⎪⎨⎪=-⎩
，得()222234430k x k x k --++=．(8分) 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()
23610k ∆=+>．
由
2
122
4
3
k
x x
k
+=
-
，
2
122
43
3
k
x x
k
+
=
-
，得()
()
()
2
2
122
2
361
3
k
x x
k
+
-=
-
，
故
()
2
22
61
4
3
k
x
k
+
AB==-==
-
，(11分)
解得23 5
k=
，故l的斜率为．(12分)。