2017秋人教A版高中数学必修四练习：2-4平面向量的数量积2-4-1 含解析 精品

第二章 2.4 2.4.1
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →
＝b ，若a ·b <0，则△ABC 是导学号 14434813( A ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形
D ．任意三角形
[解析] 由a ·b <0易知〈a ，b 〉为钝角．
2．若|a |＝4，|b |＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为导学号 14434814( C )
A ．2
B ． 3
C ．2 3
D ．4
[解析] a 在b 方向上的投影为|a |cos a ，b ＝4×cos30°＝23，故选C ． 3．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是导学号 14434815( B ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c
[解析] A 中，若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故A 错；C 中，若a 2＝b 2，则|a |＝|b |，C 错；D 中，若a ·b ＝a ·c ，则可能有a ⊥b ，a ⊥c ，但b ≠c ，故只有选项B 正确，故选B ．
4．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则|a |＝导学号 14434816( C )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12
[解析] ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝－72， ∴a 2－a·b －6b 2＝－72.
∴|a |2－|a ||b |cos60°－6|b |2＝－72. ∴|a |2－2|a |－24＝0.又∵|a |≥0，∴|a |＝6.
5．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为导学号 14435190( C )
A ．π3
B ．π2
C ．2π3
D ．5π6
[解析] 由题意，得a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0，即a ·b ＝－2a 2，所以cos a ，b ＝
a ·b
|a |·|b |＝－2a 24a 2＝－12，所以 a ，b ＝2π
3
，故选C ． 6．P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的导学号 14434817( D )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
[解析] 由P A →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ． 同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心． 二、填空题
7．(江苏高考)已知e 1、e 2是夹角为2π
3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b
＝0，则实数k 的值为 5
4
.导学号 14434818
[解析] 由a ·b ＝0得(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0.整理，得k －2＋(1－2k )cos 2π3＝0，解得k ＝5
4.
8．已知向量a 、b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |导学号 14434819 [解析] |2a －b |＝10⇔(2a －b )2＝10⇔4＋|b |2－4|b |cos45°＝10⇔|b |＝3 2. 三、解答题
9．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：导学号 14434820
(1)a ·b ；(2)(3a )·⎝⎛⎭
⎫15b ； (3)(3b －2a )·(4a ＋b )．
[解析] (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos120°＝－60. (2)(3a )·⎝⎛⎭⎫15b ＝35(a ·b )＝35
×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122
－8×102＝－968.
10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.导学号 14434821 (1)求|a ＋b |；
(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影．
[解析] (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6， ∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13.
(2)∵a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝42－6＝10， ∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为 a ·(a ＋b )|a ＋b |＝1013
＝1013
13.
B 级 素养提升
一、选择题
1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是3
2，则a ·b 为导学号 14434822( B )
A ．3
B ．9
2
C ．2
D ．12
[解析] a ·b ＝|a ||b |cos θ＝|b ||a |cos θ ＝3×32＝92
.
2．定义：|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于导学号 14434823( B )
A ．－8
B ．8
C ．－8或8
D ．6 [解析] 由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45，∴|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ＝2×5×
4
5＝8.
3．若非零向量a 、b 满足|a |＝22
3
|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为导学号 14434824( A )
A ．π
4
B ．π2
C ．3π4
D ．π
[解析] 由条件，得(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－2b 2－a ·b ＝0，即a ·b ＝3a 2－2b 2.又|a |＝
22
3
|b |，
所以a ·b ＝3·(223|b |)2－2b 2＝23b 2，所以cos a ，b ＝a ·b |a |·|b|＝23b 2223b 2＝22
，所以 a ，b ＝π
4，
故选A ．
4．已知△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →
，则△ABC 是导学号 14434825( C )
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
[解析] 由AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →， 得AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，
即AB →·CB →＝BC →·BC →，∴AB →·BC →＋BC →·BC →＝0， ∴BC →·(AB →＋BC →)＝0，则BC →·AC →＝0，即BC →⊥AC →， 所以△ABC 是直角三角形，故选C ． 二、填空题
5．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为 －1
3
.导学号 14434826 [解析] ∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，
∴|a |2＝9|b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ， ∴a ·b ＝－|b |2，
∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－|b |23|b |·|b |＝－13
.
6．已知向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为 1
2
；|2a －
b |导学号 14434827
[解析] 由于a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －1＝2， 则a ·b ＝3.
设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，
又θ∈[0，π]，所以θ＝π
3
.
因为|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝28， 所以|2a －b |＝27. 三、解答题
7．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，试问：当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？导学号 14434828
[解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )， ∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0， 即k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，
即k ×52＋(2k －1)×5×4×cos60°－2×42＝0， ∴k ＝1415.∴当k ＝14
15
时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．
8．设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1
＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.导学号 14434829
[解析] 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得 cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，
∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，
化简得2t 2＋15t ＋7＝0.解得－7<t <－12
.
当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则 ⎩⎪⎨⎪
⎧
2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
λ＝－14t ＝－142.
∴所求实数t 的取值范围是(－7，－
142)∪(－142，－1
2
)． C 级 能力拔高
若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a|≠|b|，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是导学号 14434830( A )
A ．一次函数且是奇函数
B ．一次函数但不是奇函数
C ．二次函数且是偶函数
D ．二次函数但不是偶函数
[解析] f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝(a·b )x 2＋(|b 2|－|a|2)x －a·b ，由a ⊥b ，得a·b ＝0，所以f (x )＝(|b |2－|a |2)x .由于|a |≠|b |，所以|b |2－|a |2≠0，即f (x )＝(|b |2－|a |2)x 是一次函数，显然也是奇函数．。