安徽省寿县一中高三数学第四次月考试题 理 新人教A版【会员独享】

安徽寿县一中2012年高三第四次月考试卷
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案填在答题卡的相应位置. 1.已知集合{|1},{|}M x x P x x t =≤=>，若∅()M P ⋂，则实数t 应满足的条件是
（ ）
A.1t >
B.1t ≥
C.1t <
D.1t ≤ 2.如果,,a b c 满足c b a <<且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A.ab ac > B.()0c b a -> C.()0ac a c -< D.2
2
cb ab < 3.设p ：01x <<，q ：()[(2)]0x a x a --+≤，若p 是q 的充分而不必要条件，则实数
a 的取值范围是（ ）
A.[1,0]-
B.(1,0)-
C.(,0][1,)-∞⋃+∞
D.(,1)(0,)-∞-⋃+∞ 4.已知向量a 、b 满足||1,||2,|2|2==+=a b a b ，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ） A.12-
B.1-
C.1
2
D.1
5.求由曲线y x =2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误的为（ ） A.
4
(2)x x dx -+⎰
B.0
xdx ⎰
C.2
2
2
(2)y y dy ---⎰ D.0
22
(4)y dy --⎰
6.已知函数()f x 是可导函数，且满足0
(1)(1)
lim
1x f f x x
→--=-，则曲线()y f x =在点
(1,(1))A f 处的切线斜率是（ ）
A.1-
B.2
C.1
D.2-
7.右图为函数2(2)()m x
f x x m
-=
+的图象,则实数m 的范围是（ ）
A.(,1)-∞-
B.(1,2)-
C.(0,2)
D.(1,2)
O
1
y
1-
x
8.已知()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53
x π=， 则()sin cos g x a x x =+的初相是（ ） A.
6π B.3
π
C.56π
D.23π
9.如图:已知12l l ∥，点A 是1l 、2l 之间的一个定点，且A 到1l 、2l 的距离分别是4、3，点
B 是直线1l 上的动点，若0A
C AB ⋅=，AC 与直线2l 交于点C
，则ABC ∆
面积的最小值为（ ）
A.3
B.6
C.12
D.18
10.已知()f x 是定义在[,]a b 上的函数，其图象是一条连续的曲线且满足下列条件： ①()f x 的值域为M ，且[,]M a b ⊆；②对任意不相等的,[,]x y a b ∈，都有
|()()|||f x f y x y -<-.那么，关于x 的方程()f x x =在区间[,]a b 上根的情况是（ ）
A.没有实数根
B.有且仅有一个实数根
C.恰有两个不等的实数根
D.有无数个不同的实数根
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请把答案填在答题卡的相应位置. 11.在ABC ∆中，已知60,A b ==a 的取值范围
为 .
12.对于数列{}n a ，定义数列1{}n n a a +-为{}n a 的“差数列”，若12,a ={}n a 的“差数列”
的通项为2n
，则数列{}n a 的前n 项和n S = ．
13.设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[0,1]上的值域为
[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为 .
14.当直线y kx =与曲线|||2|y x x =--有3个公共点时，实数k 的取值范围
是 .
15.关于非零平面向量,,a b c .有下列命题：
①若(1,),(2,6)k ==-a b ,∥a b ,则3k =-； ②若||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60；
1l
A
B
C
2l
③||||||+=+a b a b ⇔a 与b 的方向相同； ④||||||+>-a b a b ⇔a 与b 的夹角为锐角；
⑤若(1,3),(2,4),(4,6)---a =b =c =,则表示向量4,32,-a b a c 的有向线段首尾连接能
构成三角形.
其中真命题的序号是 （将所有真命题的序号都填上）.
三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题卡的相应位置． 16.（本小题12分）
已知向量2
(2cos ,sin cos ),(,),()2
x x x a b f x ===⋅-
a b a b ，函数()f x 的图象关
于直线12
x π
=
对称，且(0)2
f =
. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）函数的图象经过怎样的平移变换能使所得图象对应的函数为偶函数？
17.（本小题12分）
（Ⅰ）已知,a b R ∈且0,0a b >>，求证：b a a b b a +≥+2
2； （Ⅱ）求函数x
x x x y -+-=1)1(2
2（10<<x ）的最小值.
18.（本小题12分） 已知数列{}n a 满足
12*
22111
().22
2
n n
a a a n n n N ---+++
=+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和.n S
19.（本小题13分）
设ABC ∆的外心为O ，重心为G ，取点H ，使OH OA OB OC =++.求证： （Ⅰ）点H 为ABC ∆的垂心；
（Ⅱ）ABC ∆的外心O 、重心G 、垂心H 在同一条直线上.
20.（本小题13分）
下图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski ）三角形.这些三角形中的着色与未着色的三角形的个数具有一定的规律.按图（1）、（2）、（3）、（4）四个三角形的规律继续构建三角形，设第n 个三角形中包含()f n 个未着色．．．三角形.
（Ⅰ）求出(5)f 的值；
（Ⅱ）写出(1)f n +与()f n 之间的关系式，并由此求出()f n 的表达式；
（Ⅲ）设2(1)1()(1)(2)n f n a n N f n f n *++=∈+⋅+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证:3
14
n S ≤<.
21.（本小题13分）
已知奇函数d cx bx ax x f +++=2
3
)(满足:0)1(='f ,3
2
)1(-=f . （Ⅰ）求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）当[1,1]x ∈-时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直；
（1）
（2）
（4）
（3）
（Ⅲ）若对于任意实数α和β，不等式|(2sin )(2sin )|f f m αβ-≤恒成立，求m 的最小值．
参考答案及评分标准
一、选择题
二、填空题
11、{|6a a =或a ≥； 12
、122n +
-； 13、[
2,7]-； 14、0
1k <<； 15、①③⑤ 三、解答题 16、【解】：（Ⅰ）
2()2cos sin cos f x a x b x x =⋅=+a
b sin 2(cos 21)2x a x b =++- cos
2sin 222
b a x x a =++-，
(0)2222
f a a a =
∴+-=⇒= 又函数()f x 的图象关于直线12
x π
=
对称，有(0)()6
f f π
=，即
cos sin 122323b b ππ
=+⇒= 1()2sin 2sin(2)223
f x x x x π
∴=
+=+，故周期T π= 当()f x 单调递增时，
2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+()k Z ∈5()1212
k x k k Z ππ
ππ⇒-
+≤≤+∈ ()f x ∴的单调递增区间是5[,]()1212
k k k Z ππ
ππ-
++∈ （Ⅱ）()sin(2)cos[(2)]cos 2()32312
f x x x x π
πππ
=+
=-+=-
()f x ∴的图象向左平移
12π个单位，所对应的函数为偶函数。

（答案不唯一：,122
k k Z ππ+∈） 17、（Ⅰ）【证法1】：
223322
()a b a b a b ab a b b a ab
+--+-+= 3223222()()()()()
a a
b ab b a a b b a b a b a b ab ab ab
-------+===
2()()0,0,a b a b a b ab -+>>∴，当且仅当a b =时等号成立. 22
a b a b b a
∴
+≥+ 【
证
法
2
】
：
0,0
a b >>，
223322
222()()2()a b a b a b a b a b ab a b b a b a
∴++=+++≥++=+
22
a b a b b a
∴+≥+，当且仅当a b =时等号成立. （Ⅱ）
01,10x x <<∴->，由（Ⅰ）的结论
函数x x x x y -+-=1)1(22(1)1x x ≥-+=，当且仅当1x x -=即1
2x =时等号成立， ∴函数22
(1)(01)1x x y x x x
-=+<<-的最小值为1.
18.【解】：（Ⅰ）
12*
22111()222
n n
a a a n n n N ---+++
=+∈ …………………………① 122*1221
11
1(1)1(2,)22
2
n n a a a n n n n n n N -----∴++
+
=-+-=-≥∈ ………………② 由①-②得：
1*
12,21(2,)2
n n n n
a n a n n n N +-=∴=⋅+≥∈…………………………③ 在①中令1n =得15a =，适合③，故1*
21()n n a n n N +=⋅+∈ （Ⅱ）设1
2n n b n +=⋅，其前n 项和为n T ，则
23112222n n T n +=⋅+⋅++⋅，342212222n n T n +=⋅+⋅+
+⋅
两式相减得23
1222222(1)24n n n n T n n +++=---
-+⋅=-+
2(1)24n n n S T n n n +∴=+=-++.
19、【证明】：（Ⅰ）
O 为ABC ∆的外心，||||||OA OB OC ∴==，
OH OA OB OC =++，AH OH OA OB OC ∴=-=+, 22()()||||0AH BC OB OC OC OB OC OB ∴⋅=+⋅-=-=
AH BC ∴⊥,即AH BC ⊥，同理,BH AC CH AB ⊥⊥,H ∴为ABC ∆的垂心；
（Ⅱ）延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，1
()2
AD AB AC ∴=
+， G 为ABC ∆之重心，211
()(2)333AG AD AB AC OB OC OA ∴==+=+-
11
(2)()33
OG OA AG OA OB OC OA OA OB OC =+=++-=++，3OH OG ∴=，
//OH OG ∴,,,O G H ∴三点共线.
20、【解】：（Ⅰ）由图知(1)0,(2)1,(3)4,(4)13(5)40f f f f f ====⇒= （Ⅱ）方法1：由(2)(1)1,(3)(2)3,(4)(3)9,(5)(4)27f f f f f f f f -=-=-=-= 归纳得：1
(1)()3
()n f n f n n N -*+-=∈
()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n ∴=+-+-+
+--
12
3101393
31n n ---=++++
+=-，131
()()2
n f n n N -*-=∈ 方法2：(2)3(1)1,(3)3(2)1,(4)3(3)1,(5)3(4)1f f f f f f f f =+=+=+=+ 归纳得：(1)3()1()f n f n n N *
+=+∈ 由(1)3()1f n f n +=+11(1)3[()]22
f n f n ⇒++
=+ ∴数列1{()}2f n +是首项为1
2
，公比为3的等比数列
1
11()322
n f n -∴+=⋅，即131()()2n f n n N -*-=∈ （Ⅲ）由2(1)1()(1)(2)
n f n a n N f n f n *
++=∈+⋅+得11
43112()(31)(31)3131n n n n n n a ++⋅==----- 122311
1111
112
2[(
)()(
)]1()31313131
313131
n n n n S n N *++∴=-+-++-=-∈-------.
112139,031
4n n ++≥∴<
≤
+，132
11431
n n S +∴≤=-<+.
21、【解】：（Ⅰ）因为)(x f 为奇函数，所以：0==d b ，
由0)1(='f ，得03=+c a ，
由32)1(-
=f ，得32
-=+c a 解之得：1,31-==c a 从而，函数解析式为：x x x f -=33
1
)(
（Ⅱ）由于1)(2
-='x x f ，设任意两数]1,1[,21-∈x x 是函数)(x f 图像上两点的横坐标，
则这两点的切线的斜率分别是：1)(,1)(2
2222111-='=-='=x x f k x x f k 又因为11,1121≤≤-≤≤-x x ，所以0,021≤≤k k ，得：021≥k k ，知121-≠k k
故当]1,1[-∈x 时函数)(x f 图像上任意两点的切线不可能垂直 （Ⅲ）由于22sin 2,22sin 2αβ-≤≤-≤≤ |(2sin )(2sin )|f f m αβ∴-≤恒成立max min |()||()|f x f x m ⇔-≤
故只需求出x x x f -=
3
3
1)(在[2,2]-上的最值 而1)(2
-='x x f ，由()0f x '=解得1x =±
max min max min 224(),(),|()||()|333f x f x f x f x m ∴==-∴-=≤，m ∴的最小值为4
3
.。